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1. PROBABILIDADES
ASIGNATURA DE PROFUNDIZACIÓN
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
Profesor: Enrique Valdivia Martínez.

2. INTRODUCCIÓN
La teoría de probabilidad estudia aquellos experimentos cuyos resultados son aleatorios
Entenderemos por probabilidad a un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse
eventos aleatorios. Uno de los objetivos de la estadística es tomar decisiones con base
en una evidencia muestral (Inferencia estadística).
La toma de decisión estará íntimamente ligada con la probabilidad. Introduciremos los
principios elementales de la teoría de probabilidades, comenzando con definiciones
básicas y el desarrollo axiomático de la medida de probabilidad.

3. CONCEPTOS BÁSICOS
Experimentos determinísticos: Un experimento es determinístico cuando se tiene certeza
del resultado que se obtendrá al realizarlo varias veces bajo las mismas condiciones, es
decir, no depende del azar. Por ejemplo, al exponer un recipiente con agua a una
temperatura de más de 100°C, se tiene certeza que esta hervirá.
Experimentos aleatorios Un experimento es aleatorio si al repetirlo una cierta cantidad
de veces, bajo las mismas condiciones, no se tiene certeza de resultado que se obtendrá,
es decir, depende del azar. Por ejemplo, al extraer, sin mirar, una bolita de una caja con
bolitas de color azul, amarillo y verde, se sabe que la bolita será de uno de los tres
colores, pero no hay certeza de cuál se obtendrá.

4. EXPERIMENTO
Un experimento es un proceso o actividad que conduce a un resultado u
observación, el cual puede variar entre una ejecución y otra.
Para que un experimento sea aleatorio debe presentar dos características:
características: la primera tiene que ver con la posibilidad de determinar un
un conjunto, llamado espacio muestral, que reúna todos los posibles
resultados que éste pueda tener; la segunda, tiene que ver con la
imposibilidad de que los resultados de repeticiones tengan un
comportamiento igual o predecible.
Es decir, un experimento aleatorio es un proceso que puede concretarse en al
menos dos resultados posibles, con incertidumbre en cuanto a cuál de ellos
tendrá lugar.

5. EJEMPLO
¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)?
I) Encender una vela y observar si alumbra.
II) Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco.
III) Preguntarle a un desconocido si fuma.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

6. ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se
Se representa por Ω donde cada uno de estos resultados (elementos de él) es llamado
evento o suceso elemental o punto muestral.
De este modo el espacio muestral es el conjunto no vacío, de todos los posibles resultados
resultados de un experimento aleatorio..
Por ejemplo, al lanzar un dado no cargado el espacio muestral asociado a este
experimento es el conjunto Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } .
Para el experimento de lanzar dos monedas al aire, el espacio muestral es:
Ω = { (C, C) , (C, S) , (S, C) , (S, S) }

7. EVENTO-SUCESO
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se anotan por A; B; C etc.
etc. Es común encontrar diferentes conceptos acerca de lo que es probabilidad,
examinaremos en primer lugar el enfoque frecuentista, enfoque subjetivo y
finalmente, desarrollaremos el modelo axiomático; ya que, este es el orden del
desarrollo histórico de la teoría.

8. TIPOS DE EVENTOS
Suceso o evento seguro: Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del
experimento, es decir, coincide con el espacio muestral, por lo tanto, siempre ocurre al
al realizar el experimento; y se dice que un suceso es imposible si nunca ocurre o no se
presenta al realizar un experimento aleatorio.
Sucesos o eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes
si no pueden suceder u ocurrir simultáneamente es decir, si y sólo si su intersección es
vacía.
Es decir, dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos
ellos impide la ocurrencia del otro (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras
palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes.

9. Eventos o sucesos complementarios: Son aquellos eventos que no
tienen puntos o elementos en común y la unión de ellos es el espacio
muestral.
La cantidad de elementos que componen un suceso A se denomina
cardinalidad de A y se nota como #A análogamente, # Ω es la cantidad
de resultados posibles de un experimento aleatorio.
TIPOS DE EVENTOS

10. EJEMPLOS
1.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es un suceso cierto.
II) “Lanzar un dado y que salga un número menor que tres” y “lanzar un dado y que salga
un múltiplo de 3” son sucesos mutuamente excluyentes.
III) “Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un evento imposible.
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

11. EJEMPLOS
2. Dado el espacio Muestral E = {a,e,i,o,u} y los eventos A = {i,o,u}, B= {o,u}, C= {a},
D={a,e}. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A) A y B no son mutuamente excluyentes.
B) A y D son complementarios.
C) B y C son mutuamente excluyentes.
D) B y D son complementarios.
E) A y C son mutuamente excluyentes.

12. CONCEPTOS DE PROBABILIDAD
En este enfoque la probabilidad se determina en base a la razón entre el número de veces que
ocurre un resultado favorable respecto a un determinado número de observaciones o
experimentos, en este caso, no hay implícita ninguna suposición previa de igualdad de
probabilidades.
Dado que, es un hecho empíricamente comprobado que, la frecuencia relativa de un suceso
tiende a estabilizarse cuando la frecuencia total aumenta, surge la siguiente definición de
probabilidad.
Es común encontrar diferentes conceptos acerca de lo que es probabilidad, examinaremos en
primer lugar el enfoque frecuentista, luego el enfoque subjetivo y finalmente,
desarrollaremos el modelo clásico o axiomático; dado que, este es el orden del desarrollo
histórico de la teoría.
Concepto Frecuentista

13. Sea A un evento de interés, entonces, la probabilidad de A denotada por 𝑃 𝐴 , bajo el enfoque
frecuentista es el número al que converge la frecuencia relativa del suceso cuando la frecuencia
total tiende al infinito. Es decir: 𝑃 𝐴 = lim
𝑛→∞
𝑓𝐴
𝑛
Para esta definición, se hace usualmente la salvedad que dadas ciertas imposibilidades prácticas
para repetir un experimento infinitas veces, la probabilidad de un suceso ha de ser aproximada
por su frecuencia relativa para un n suficientemente grande, suponiendo que las condiciones
que se realizó cada experimento sean repetidas idénticamente.
Pero ¿Cuán grande es un n?, o ¿qué hacer con aquellas experiencias que solo pueden ocurrir una
vez?. No obstante, el problema de esta definición es el no poder repetir la experiencia infinitas
veces.
Concepto Frecuentista

14. A cada valor de una de estas variables se les pueden asignar probabilidades, que son una
cuantificación de la certeza que se tiene de su ocurrencia. Son números, que convencionalmente
toman valores entre 0 y 1, y además la suma total es 1.
Recordando que las tablas de frecuencia relativa, mostraban la proporción de cada uno de los
valores o clases de una variable, existentes en una muestra. La muestra es la parte observada de
una población, que es la que realmente interesa, aunque, por razones de recursos, no se observa
completa.
Concepto Frecuentista

15. Asociada a la población, también se podría construir una tabla de frecuencias relativas, si se
conocieran todos los valores. Como generalmente no se conocen, sólo se puede postular una
tabla de frecuencias relativas asociadas a la población.
En tal caso, en lugar de tabla de frecuencias relativas, se denomina “función de probabilidad“.
Si la variable es discreta, cada valor tiene asociado una probabilidad a nivel poblacional,
equivalente a una frecuencia relativa a nivel muestral. También se puede representar mediante un
gráfico de barras, como se muestra en la figura 1:
Concepto Frecuentista

16. Concepto Frecuentista
Figura 1: Función de Probabilidad

17. Si la variable es continua, en el caso muestral se divide la tabla en intervalos, que pueden
representarse mediante un histograma. En el caso poblacional, en cambio, se consideran
intervalos infinitamente angostos, de modo que el perfil del histograma toma la forma de una
curva, como en la figura 2:
Concepto Frecuentista
Figura 2: Función de distribución

18. Este enfoque se basa en la idea de que la probabilidad que una persona asigna a un suceso va a
depender de su juicio y experiencia personal, pudiendo dos personas dar distintas
probabilidades para un mismo suceso.
Indica el grado de certeza que se posee sobre un suceso. Esto es una cuestión de opinión, es
decir, no existe un sustento teórico ni formal, porque se basa en apreciaciones personales que se
obtienen después de un largo proceso de meditación.
Estas ideas pueden formalizarse, y si las opiniones de una persona satisfacen ciertas relaciones
de consistencia, puede llegar a definirse una probabilidad para los sucesos. Se puede calcular la
probabilidad de que una empresa en particular quiebre mañana.
Concepto Subjetivo

19. En este enfoque la probabilidad tiende a verse como el grado de credibilidad que es
razonable asignarle a una proposición, que describe un evento de acuerdo a una evidencia
dada, tiene un carácter que no es empírico, pues en ésta se busca conocer el grado de
certidumbre que uno puede asignarle a una hipótesis acorde a una evidencia; para hacer esto
uno debe pensar en el problema a la luz de las evidencias; si éstas cambian, también podría
hacerlo la probabilidad asignada.
Podemos relacionar este enfoque con el teorema de Bayes, el cual es válido en todas las
aplicaciones de la teoría de la probabilidad aunque, sin embargo, ha existido mucha controversia
sobre el tipo de probabilidades que emplea..
Concepto Subjetivo

20. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional también denominada objetivista o
frecuentista sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan
confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten y
la utilidad de las probabilidades subjetivas.
El teorema, que ha resurgido con gran popularidad desde hace ya algunos años, puede servir
entonces, para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando
recibimos información adicional de un experimento.
Este enfoque que propugna la estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas
estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permite revisar esas estimaciones
en función de la evidencia , lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
Concepto Subjetivo

21. Concepto Clásico
Este enfoque tiene la característica esencial, que asigna la medida de ocurrencia para un
resultado sobre los antecedentes que aporta un experimento que se realiza de la manera más
regular y metódica posible, en donde los posibles resultados del mismo son igualmente
probables. A este tipo de experimentos se les conoce como eventos equiprobables.
Es decir, este concepto se basa en el de los resultados igualmente verosímiles y motivado por el
denominado: “Principio de la razón Insuficiente“. El cual postula que si no existe un fundamento
fundamento para preferir una entre varias posibilidades, todas deben ser consideradas
equiprobables.
Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda perfecta(aquella que no posee dos caras o bien
dos sellos) la probabilidad de obtener cara debe ser igual a la probabilidad de obtener un sello,
por tanto, ambas iguales a
1
2
.

22. De la misma manera, la probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales asociados
al experimento de lanzar un dado es
1
6
. Laplace recogió esta idea y formuló la regla clásica
del cociente entre casos favorables y casos posibles, bajo el supuesto de que estos sean
equiprobables.
No obstante, el problema de esta definición es que en definitiva igualmente verosímiles es
lo mismo que igualmente probable, es decir, se justifica la premisa con el resultado. Pero, ¿
Qué hacer cuando no se da esa simetría?, o ¿ Qué hacer cuando el número de resultados
posibles es infinito?.
Concepto Clásico

23. El sustento disciplinar para la definición axiomática de la probabilidad se apoya en argumentos
que hacen necesarias algunas definiciones que pasaremos a recordar.
Experimento: Es una acción que puede realizarse de una o más formas distintas, y variar su
resultado entre una u otra ejecución.
Experimento aleatorio: Es un experimento que al realizarse en igualdad de condiciones, debe
presentar dos características fundamentales:
• No se puede determinar el resultado de las repeticiones del experimento.
• Se pueden determinar todos los posibles resultados tras la acción.
Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Además, se dice que un espacio muestral es discreto si corresponde a un conjunto contable.
Concepto Clásico-Axiomático

24. Suceso o evento: Es un subconjunto del espacio muestral, al que más adelante se le querrá
calcular su probabilidad de ocurrencia.
Continuando con la definición axiomática de probabilidad, consideraremos elementos de la
teoríaa de la medida. Sabemos que 2Ω
= P(Ω) representa el conjunto potencia o de las partes de
Ω, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de Ω.
Para formalizar la definición de probabilidad, a través de un conjunto de axiomas, se repasará
brevemente los conceptos básicos de teoría de conjunto, sobre los cuales se fundamenta la
definición formal de probabilidad.
Concepto Clásico-Axiomático

25. EL Complemento:
complemento de un
evento A es el
conjunto de todos
los resultados que
no están incluidos
en A, se denota por
𝐴𝑐
Unión: La unión de
los eventos A con B
es el conjunto de
todos los
resultados que
están incluidos en
A o B; se denota
por A ∪ B.
Intersección: La
intersección de los
eventos A y B es el
conjunto de todos
los resultados que
están incluidos
tanto en A como
en B; se denota con
A ∩ B.
Eventos mutuamente
excluyentes: Dos eventos A y B
son mutuamente excluyentes
(disjuntos) si no tienen
resultados en común. Es decir, A
∩ B = φ .
Concepto Clásico-Axiomático

26. Concepto Clásico-Axiomático
𝑨 − 𝑩 es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B

27. Ejemplo: Si se lanza un dado (experimento), hay seis resultados posibles. Entonces el espacio muestral sería
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Estos seis resultados son mutuamente excluyentes, ya que no pueden aparecer dos o más caras
simultáneamente.
Si además suponemos que el dado está bien construido, los seis resultados son igualmente verosímiles
(probable).
Se desea conocer la probabilidad de que el resultado de un lanzamiento sea un número par. Esto es, el
suceso E = {2, 4, 6}. Observamos que tres de los seis resultados posibles tienen tal atributo. Es decir, # E = 3
Luego, la probabilidad del evento E sería P(E) =
3
6
=
1
2
.
Concepto Clásico-Axiomático
Ejemplo: Si se lanza un dado (experimento), hay seis resultados posibles. Entonces el espacio
muestral sería Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Estos seis resultados son mutuamente excluyentes, ya que no pueden aparecer dos o más caras
simultáneamente.
Si además suponemos que el dado está bien construido, los seis resultados son igualmente
verosímiles (probable).
Se desea conocer la probabilidad de que el resultado de un lanzamiento sea un número par.
Esto es, el suceso E = {2, 4, 6}. Observamos que tres de los seis resultados posibles tienen tal
atributo. Es decir, # E = 3 .
Luego, la probabilidad del evento E sería P(E) =
3
6
=
1
2

28. AXIOMAS DE PROBABILIDADES
Consideremos el espacio muestral Ω, para cada suceso A asociamos un número real, designado
por P(A) y llamado la probabilidad de A, que satisface las siguientes propiedades:
1) Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(Ω) = 1
3) Si A y B son eventos excluyentes, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

29. La elección de la lista de propiedades de las probabilidades está motivada por las características
correspondientes de la frecuencia relativa. De este modo, en cierto sentido los valores de P(A) y
𝑓𝐴 están próximos uno al otro; cuando 𝑓𝐴 se basa en un gran número de repeticiones.
Este hecho es el que justifica el empleo de P(A) para medir la probabilidad de que ocurra A. Por
el momento, no sabemos como calcular P(A), solamente hemos anotado algunas propiedades
generales que posee P(A).
A continuación se indican consecuencias relativas a P(A) que se deducen de las condiciones, y
que no dependen de como calculamos P(A).
Concepto Clásico-Axiomático

30. AXIOMAS DE PROBABILIDADES
Consideremos el espacio muestral Ω, para cada suceso A asociamos un número real,
designado por P(A) y llamado la probabilidad de A, que satisface las siguientes
propiedades:
1) Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(Ω) = 1
3) Si A y B son eventos excluyentes, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

31. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS
Para cualquier eventos A, B asociados a un mismo espacio muestral Ω (finito) tenemos que::
1) Si 𝐴𝑐 es el suceso complementario de A, entonces para cualquier evento A, se tiene que P(𝐴𝑐)
= 1 − P(A).
2) Si φ es el conjunto vacío, entonces P(φ) = 0
3) Si A ⊂ B, entonces, P(A) ≤ P(B).
4) Si A y B son eventos cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
P(A − B) = P(A ∩ 𝐵𝑐 ) = P(A) − P(A ∩ B).

32. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
A cada uno de los eventos elementales 𝐸𝑖 = 𝜔𝑖 , para i = 1, 2, ...., n se le asignará un número real
P(𝐸𝑖), que cumple las siguientes condiciones:
a) 0 < P(𝐸𝑖) < 1, para i = 1, 2, ...., n. b) la sumatoria de todas las probabilidades de 1.
Un espacio muestral finito Ω = {𝜔1, 𝜔2, 𝜔3 ,..., 𝜔𝑛}, se dice equiprobable si P( 𝜔𝑖 ) = P(𝐸𝑖) = c, ∀ i = 1,
2, ...., n y 0 < c < 1, así según lo planteado tenemos que:
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐸𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑐 = 𝑐𝑛 = 1 ⟹ 𝑐 =
1
𝑛
Es decir, un espacio muestral finito se dice equiprobable si, 𝑃 𝐸𝑖 =
1
𝑛
, ∀ i = 1, 2,...,n.

33. Ahora, si A= {𝜔1, 𝜔2, 𝜔3 ,..., 𝜔𝑘}, donde k < n , entonces, la probabilidad de que ocurra A es:
𝑃 𝐴 =
𝑘
𝑛
=
#𝐴
#Ω
Esta última expresión es conocida como la fórmula de Laplace.
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

34. EJEMPLOS
Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una moneda al aire una sola vez. Dicho
experimento puede concluir en uno de los dos posibles resultados: la aparición de una cara o
bien la aparición de un sello.
De lo anterior identificamos lo siguiente:
- El espacio muestral es discreto
- El suceso elemental consistió en lanzar una moneda al aire.
- Ω = 𝜔1, 𝜔2 = {cara, sello}, donde {𝜔1}, {𝜔2} son los sucesos o eventos elementales.
- Entonces, P(φ) = 0, P({𝜔1})=
1
2
, P({𝜔2}) =
1
2
y P({𝜔1, 𝜔2) = 1

35. EJEMPLOS
A continuación, se presenta la distribución del ingreso de 457 empleados según su género.
¿Cuál es la probabilidad de que un individuo tenga un “ingreso superior a 800” (A)?
Resp: P(A) = 54/457 = 0,118.

36. EJEMPLOS
¿Cuál es la probabilidad de tener un “ingreso superior a 800” (A) o “inferior a 400” (B)?
Resp: Como los sucesos son excluyentes, P(A ∪ B) = 54/457 + 143/457 = 0,431.
¿Cuál es la probabilidad de tener un “ingreso superior a 800” (A) y “ser hombre” (B)? Resp: P(A ∩
B) = 48/457 = 0,105.
¿Cuál es la probabilidad de tener un “ingreso superior a 800” (A) o “ser hombre” (B)?
Resp: Como los sucesos no son excluyentes, P(A ∪ B) =
54
457
+
241
457
−
48
457
= 0, 540
¿Cuál es la probabilidad de que un individuo no tenga un “ingreso superior a 800” (A)?
Resp: P(𝐴𝑐) = 1 −
54
457
= 0, 882.

37. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo “sea hombre” (A) y no tenga un “ingreso superior a
800” (B)?
Resp: P(A ∩ 𝐵𝑐) =
241
457
−
48
457
=
193
457
= 0, 422.
EJEMPLOS