LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD

NOMBRE: Nancy Lucia Paz G
Séptimo semestre paralelo 03
TUTOR: Lucia Elena Hidalgo
Almeida
AUTOR: Jhon Patricio Acosta
Bonilla

LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD EN FUNCIÓN DE CADA UNO DE ELLOS, -IDENTIFICA LOS ENFOQUES DE PROBABILIDAD DE ACUERDO A LOS
DIFERENTES EXPERIMENTOS ALEATORIOS, -COMPRENDE LA RELACIÓN ENTRE SUCESOS SUS CARACTERÍSTICAS Y TIPOS, -RELACIONA EL CÁLCULO DE
PROBABILIDAD, LA REGLA DE LAPLACE, Y LOS DIFERENTES EJERCICIOS QUE SE DESARROLLAN.
• 1- Elementos de Probabilidades
• Los primeros estudios fueron motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en los juegos de azar. La
probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, es decir,
operaciones cuyo resultado no puede ser predicho de antemano con seguridad. Por ejemplo, el lanzamiento
de una moneda o de un dado.
• 1.1- Enfoques de probabilidad
• a- Experimento aleatorio o experimento: Cualquiera operación cuyo resultado no puede ser predicho con
anterioridad con seguridad.
• Ejemplo:
• - Lanzamiento de una moneda.
• - Lanzamiento de un dado.
• - Extracción de una carta de una baraja de 52 cartas.
• b- Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. Su símbolo
es la letra griega Ω (omega). Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos o infinito
numerable, entonces se dice que éste es discreto y si el espacio muestral tiene como elemento todos los
puntos de algún intervalo real, entonces se dice que éste es continuo.

• Ejemplos:
• - Experimento: lanzamiento de un dado
• Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 3- Evento o suceso: es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un evento, en
particular Ω mismo es un evento llamado suceso seguro y el conjunto vacío, Ø, también es un evento, llamado suceso
imposible. Denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc.
• 4- Cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.
• Ejemplos:
• A= {obtener un número impar al lanzar un dado}
• A= {1, 3, 5}
• B= {obtener al menos una cara al lanzar una moneda dos veces}
• B= {cs, sc, cc}
• Como los eventos son subconjuntos de Ω, entonces es posible aplicar la teoría de conjuntos para obtener nuevos eventos.
• El complemento de un conjunto A se denota por Ac y se define como la colección de aquellos elementos de Ω que no
pertenecen a A.
• Si A y B son eventos, entonces también lo son A ∪ B, A ∩ B, Ac
• A ∪ B ocurre sí, y solo si ocurre A o solo ocurre B u ocurren A y B a la vez.
• A ∩ B ocurre si, y solo si ocurre A y ocurre B a la vez.
• Ac ocurre si, y solo si no ocurre A
• En todo experimento aleatorio Ω se considera el conjunto universal, por lo tanto, todos los complementos son tomados
respecto a Ω.

Ejemplo
Considere el experimento lanzamiento de dados.
a) determine el espacio muestral.
b) Obtenga los siguientes eventos:
A= {La suma de los números es un múltiplo de dos}
B= {Ambos dados muestran la misma cara}
C= {Los dos números son primos}
D= {La resta de los dos números es divisible por tres}
c) Encuentre, si es posible, A ∪ B; BC; BC ∩ CC
Desarrollo:
a) determine el espacio muestral.
b) Obtenga los siguientes eventos:
- A= {La suma de los números es un múltiplo de dos}
- B= {Ambos dados muestran la misma cara}
B = {(1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6)}
- C= {Los dos números son primos}
- D= {La resta de los dos números es divisible por tres}
D = {(1, 4) (2, 5) (3, 6) (4, 1) (5, 2) (6, 3)}
c) Encuentre, si es posible, A ∪ B; BC; BC ∩ CC
A ∪ B = A
BC = {(x, y) / x ≠ y} → El conjunto complemento de B es igual al evento (x, y) tal que x sea distinto a y.

• 2- Probabilidad en espacio finito o equiprobable
• Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados
posibles y no existe razón que privilegie un resultado sobre otro, es decir todos
los resultados son equiprobables (todos poseen la misma capacidad de ocurrir),
se puede calcular la probabilidad de un evento aleatorio según la regla de
Laplace.
• Regla de Laplace: La probabilidad de que un suceso A ocurra se puede calcular
utilizando:
• Ejemplo:
• Evento A: que al lanzar un dado salga un múltiplo de 3
• Ω = {Lanzamiento de un dado} ⇒ Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ casos totales 6
• A= {aparece un múltiplo de tres} ⇒ A= {3, 6} ⇒ casos favorables 2
• ó 0,33 ó 33%

• Ejemplo:
• Evento B: que al lanzar un dado salga un número primo.
• B= {aparece un número primo} ⇒ B= {2, 3, 5} ⇒ casos favorables 3 ó 0,5 ó 50%
• Ejemplo 2:
• Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos, con los experimentos asociados. Para hacerlo determina espacio muestral e identifica los casos
favorables.
• a) Lanzar un dado, y obtener un cinco.
• A = {obtener un cinco} ⇒ A = {5} ⇒ casos favorables 1
• b) Escoger un número entre 1 y 20, y que salga el 9.
• Ω = {Escoger un número entre 1 y 20} ⇒ Ω= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
• B= {que salga el número 9} ⇒ B = {9} ⇒ casos favorables 1

• Ejemplo 3:
• Se considera el experimento aleatorio "sacar una bolita de una urna" cuyo espacio muestral es:
• Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas}
• a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja?
• Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas} ⇒ casos totales 42
• S= {extraer una bolita roja} ⇒ casos favorables 6
• Respuesta: 6 / 42 → simplificamos por 6 = 1 / 7
• b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita amarilla?
• S= {extraer una bolita amarilla} ⇒ casos favorables 24
• Respuesta: 24 / 42 → simplificamos por 6 = 4 / 7
• c) Si extrae una bolita verde sin reponerla, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja?
• En este caso debemos sacar una bolita verde del total dado anteriormente:
• S= {extraer una bolita roja} ⇒ casos favorables 6
• Respuesta: 6/41

Conjuntos y probabilidades.
• Como los eventos son subconjuntos de Ω, entonces es posible aplicar la teoría de conjuntos para obtener nuevos eventos.
• Podemos utilizar conjuntos para definir distintos sucesos de un experimento aleatorio, y plantear las relaciones existentes
entre ellos que nos permitan deducir sus probabilidades. En general, dado un experimento aleatorio con dos sucesos A y
B, podemos definir las siguientes operaciones:
•

• Si A y B son eventos, entonces también lo son A ∪ B, A ∩ B, Ac
• A ∪ B ocurre sí, y solo si ocurre A o solo ocurre B u ocurren A y B a la vez.
• A ∩ B ocurre si, y solo si ocurre A y ocurre B a la vez.
• Ac ocurre si, y solo si no ocurre A
• El complemento de un conjunto A se denota por Ac y se define como la colección de aquellos elementos de Ω que no pertenecen a A.
• Dado un experimento aleatorio y sus dos sucesos A y B, se tiene que:
• P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B)
• P (AC) = 1 - P(A)
• P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
• A y B son mutuamente excluyentes si ambos sucesos no pueden ocurrir de manera simultánea A ∩ B = Ø :
• P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Veamos algunos ejemplos resueltos:
• Calcula en cada caso la probabilidad pedida:
• a) Si, P(A) =0,78; P(B)= 0,65; P(A ∪ B) = 0,8; Calcula : P(A - B)
• * Solución:
• Paso 1: Se tiene que : P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B)
• Paso 2: Como no conocemos el valor de P (A ∩ B) utilizaremos la ecuación:
• P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
• Paso 3: Reemplazamos los valores dados en la ecuación:
• P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
• 0,8 = 0,78 + 0,65 - P (A ∩ B)
• 0,8 = 1,43 - P (A ∩ B)
• 0,8 - 1,43 = - P (A ∩ B)
• - 0,63 = - P (A ∩ B) / • -1
• P (A ∩ B) = 0,63

• Paso 4: ahora podemos reemplazar en la ecuación para obtener el resultado que me piden:
• P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B)
• P(A-B) = 0,78 - 0,63
• P(A-B) = 0,15
• b) Si, P(A) = 0,24; Calcula P(Ac)
• Paso 1: Se tiene que → P (AC) = 1 - P(A)
• Paso 2: Entonces reemplazando:
• P (AC) = 1 - P(A)
• P (AC) = 1 - 0,24
• P (AC) = 0,76
• c) Si, P(A) = 0,49; P(B) 0,45; P (A ∪ B) =0,71; Calcula P (A ∩ B)
• Paso 1: Se tiene que → P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
• Paso 2: reemplazamos los valores dados en la ecuación:
• P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
• 0,71 = 0,49 + 0,45 - P (A ∩ B)
• 0,71 = 0,94 - P (A ∩ B)
• 0,71 - 0,94 = - P (A ∩ B)
• - 0,23 = - P (A ∩ B) / • -1
• P (A ∩ B) = 0,23

Explicar los enfoques de la probabilidad de acuerdo a los diferentes
experimentos aleatorios.
Definición clásica de probabilidad
• La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones
para creer que éste se realizará.
• La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles
igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de
dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
• La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1. Cuando el evento es
imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene
que ocurrir su probabilidad es 1.
• La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde: q=1-
Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad
de que no ocurra, entonces p + q = 1
• Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por es el
espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados,
que se denota por, etcétera, son elementos del espacio

Definición axiomática
Axiomas de probabilidad
• Como se ha adelantado anteriormente la definición axiomática de
probabilidad es una extensión de la teoría de la medida, en la que se
introducen la noción de independencia relativa. Este enfoque permite
reproducir los resultados de la teoría clásica de la probabilidad además de
resultados nuevos referidos a la convergencia de variables aleatorias.
Además de los procesos estocásticos, el cálculo de Ato y las ecuaciones
diferenciales estocásticas.
• Dentro del enfoque axiomático es posible demostrar que la ley débil de los
grandes números implica que se cumplirá que:
• Esto permite justificar rigurosamente la ecuación (1) suponiendo que:
• Donde se interpreta con probabilidad p y que con probabilidad 1- p

• Variables aleatorias
• Una variable aleatoria es una función medible que da un valor numérico a cada suceso elemental
• Probabilidad discreta
• Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna
característica de interés. Más exactamente, un problema de probabilidad discreta es un problema definido por un conjunto de
variables aleatorias que sólo pueden tomar un conjunto finito o infinito numerable de valores diferentes:
• donde: designa el cardinal o "número de elementos" de un conjunto.
• es el conjunto de todos los posibles valores que toma la variable aleatoria.
• Probabilidad continua
• Un problema de probabilidad continua es uno en el que aparecen variables aleatorias capaces de tomar valores en algún intervalo de
números reales (y por tanto asumir un conjunto no numerable de valores), por lo que continuando con la notación anterior:
• Función de distribución de probabilidad
• La distribución de probabilidad se puede definir para cualquier variable aleatoria X, ya sea de tipo continuo o discreto, mediante la
siguiente relación
• Para una variable aleatoria discreta esta función no es continua sin constante a tramos (siendo continua por la derecha, pero no por
la izquierda). Para una variable aleatoria general la función de distribución puede descomponerse en una parte continua y una parte
discreta:
• es una función absolutamente continua y es una función constante a tramos.
• Función de densidad de probabilidad
• La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria absolutamente continua, es una función a partir de la
cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable definida como:
• Es decir, su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias
discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad. La noción puede generalizarse a
varias variables aleatorias

Analizar la relación entre sucesos y características de probabilidad.
Probabilidad: Relación entre sucesos
• Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones.
• Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además
otras soluciones suyas propias.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el
suceso b).
Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el a).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos, se cumple obligatoriamente el otro, y viceversa.
• Probabilidad de la unión e intersección de sucesos
• Probabilidad de la unión de sucesos
• Para calcular la probabilidad de la unión de sucesos, debemos mirar si son compatibles o incompatibles.
• La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es:
• P(A U B)= P(A)+P(B)
• La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es:
• P(A U B)= P(A)+P(B)-P(A∩ B)
• Fijémonos que cuando los sucesos son incompatibles, P(A∩ B)=0, por lo que la segunda fórmula siempre es cierta.
• Probabilidad de la intersección de sucesos
• Para calcular la probabilidad de la intersección de sucesos, debemos primero comprobar si son dependientes o independientes.
• La probabilidad de la intersección de sucesos independientes es:
• P (A∩ B) =P(A). P(B)
• La probabilidad de la intersección de sucesos dependientes es:
• P (A∩ B) = P(A/B). P(B)
• Fijémonos que cuando los sucesos son independientes, P(A/B) = P(A), por lo que la segunda fórmula en realidad siempre es cierta.

conclusión crítica y objetiva sobre la Probabilidad,
la Regla de Laplace y el aprendizaje de
probabilidades
• Para definir la probabilidad vamos a dar varias definiciones o conceptos de probabilidad. Con estas definiciones se
pretende expresar de manera objetiva y precisa el grado de ocurrencia de ciertos resultados de un fenómeno aleatorio.
• Definición de Laplace. - La probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el número de resultados
favorables o resultados que integran el suceso A y el número total de elementos o posibles resultados del espacio
muestral E.
• Como hemos venido observando los sucesos los consideremos como conjuntos, siendo válido para los sucesos todo lo
estudiado en la teoría de conjuntos. Para llegar a la construcción axiomática del Cálculo de Probabilidades, necesitamos
dar unas estructuras algebraicas básicas construidas sobre los sucesos de la misma manera que con construían sobre los
conjuntos. Todo fenómeno aleatorio lleva asociado un espacio muestral. Para medir el grado de ocurrencia de los sucesos,
definimos el Álgebra de Boole, álgebra de sucesos o sigma álgebra,
• Bibliografía
• P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada (1997): Teoría de la Probabilidad, Ed. Síntesis, ISBN 84-7738-516-5.
• Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, México.
• Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-
25115-4
• Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-
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