Este documento resume las principales teorías sobre el universo desde la antigüedad hasta Kepler. Comienza con las concepciones geocéntricas de Pitágoras, Platón y Aristóteles, donde la Tierra estaba en el centro. Luego presenta teorías heliocéntricas de Aristarco de Samos y Copérnico, apoyadas por Galileo. Finalmente, expone las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario basadas en los datos de Tycho Brahe.

1. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
UNIDAD 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA.
1.Concepciones del universo. Desde la antigüedad hasta Kepler.
El estudio del universo interesó a las personas desde la más remota antigüedad. Los
egipcios dividían en 36 grupos las estrellas. En Mesopotamia se introdujeron los meses
y la semana bautizando los días por el Sol, La luna y los cinco planetas conocidos. Para
los chinos, los cuerpos celestes más importantes eran la estrella polar y las estrellas
circumpolares, que nunca salen ni se ponen.
1.1 Teorías geocéntricas
Pitágoras, (siglo VI a.C.) explicó la estructura del universo en términos
matemáticos. El gran fuego central, origen de todo se relacionaba con el uno, origen de
los números. A su alrededor giraban la Tierra, La Luna, El Sol y los planetas conocidos.
El periodo de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas. También se conocían
los periodos de la Luna (un mes) y del Sol (1 año). El universo concluía en una esfera
celeste de estrellas fijas y más allá estaba el Olimpo.
Filolao de Tarento (siglo V a.C.) formuló la idea de una tierra esférica. Esta idea
fue fácilmente aceptada ya que era el único modelo capaz de aceptar fenómenos como
la desaparición gradual del casco y velamen de los barcos en el horizonte o que la
sombra que la tierra proyecta sobre la Luna en los eclipses es circular.
En el siglo IV a. C. Platón elabora una teoría del universo basada en que la tierra
esférica, ocupa el centro del universo, y los cuerpos celestes son de carácter divino y se
mueven en torno a la tierra con movimientos circulares uniformes.
Aristóteles, discípulo de Platón, añade que
el Cosmos está dividido en dos partes, el
mundo sublunar y el mundo supralunar. El
mundo sublunar está compuesto por los cuatro
elementos de la región terrestre (tierra, aire,
agua y fuego). El mundo supralunar es el
mundo de la armonía perfecta, donde todos los
planetas se mueven con movimiento circular
uniforme y está compuesto por la quinta
esencia el éter.
Esta concepción tenía una cierta
consistencia al explicar los movimientos
observados en la superficie terrestre. En esta
época no se tenía en cuenta la medición y la experimentación, y era comúnmente
admitido que los objetos más pesados caen más deprisa que los más ligeros. La razón es
que al contener más cantidad del elemento tierra, su tendencia a situarse en su lugar
natural era más acusada. Igualmente el vapor tendía a ascender por encima de la tierra
hacia su lugar natural, el aire.
Esta teoría no daba una explicación satisfactoria del movimiento retrogrado que a
veces parecían experimentar los planetas (estrellas errantes) ni de las variaciones de
brillo observadas para esos planetas y que se asociaban, con variaciones de distancia.
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2. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) considerado el mejor astrónomo de la antigüedad,
estudió el movimiento del Sol y observó que no tiene siempre la misma velocidad.
Propuso un modelo en el cual es Sol se mueve en un círculo que llamo epiciclo: el
centro del epiciclo a su vez se mueve en torno a la tierra describiendo otro círculo
llamado deferente.
En el siglo II de nuestra era, Ptolomeo, en su
obra Almagesto siguiendo con los trabajos de
Hiparco, sugirió un esquema geocéntrico según
el cual la Tierra seguía estando inmóvil en el
centro del universo y los astros, en orden de
proximidad la Luna, Mercurio, Venus, El Sol,
Marte, Júpiter , Saturno y las estrellas efectuaban
dos tipos de movimientos: Un movimiento
orbital en el llamado epiciclo del planeta, y otro
movimiento que llevaba a cabo el centro del
epiciclo alrededor de la tierra y que se llamaba
deferente.
Ajustando adecuadamente las velocidades del movimiento del planeta y en su
epiciclo y de su centro en la deferente se podía dar una explicación bastante precisa de
todos los problemas, como el movimiento retrogrado de los planetas.
Tuvo una gran aceptación y se mantuvo en vigor durante muchos siglos. Mantenía
el movimiento circular uniforme como movimiento natural de los cielos. El artificio de
los epiciclos no satisfacía a los que abogaban por un modelo simplista como el
aristotélico.
1.2 Teorías heliocéntricas
La primera teoría heliocéntrica la formula Aristarco de Samos (siglo III a.C.)
Sugiere que el esquema más simple del movimiento de los astros se obtiene si se sitúa el
Sol en el centro del Universo. La Tierra tendría dos movimientos, rotación diaria y
traslación anual. Esta teoría fue desechada frente a la aristotélica, porque la Tierra debía
ser el centro del universo. Además se le hacía un reproche: si la teoría fuese acertada la
Tierra estaría unas veces más cerca y otras más lejos de ciertas estrellas del fondo
estelar, lo que haría que se vieran como si hubieran sufrido un desplazamiento sobre el
fondo de las estrellas más lejanas. Nadie había observado este desplazamiento. A esto se
le conoce como paralaje estelar.
Galileo fue quién apuntó, en el siglo
XVII, la clave de la dificultad para medir
el paralaje: las estrellas estaban mucho
más lejos de lo que se pensaban. En 1838,
un astrónomo alemán, Bessel, midió el
primer paralaje de una estrella. El
resultado que obtuvo equivaldría al
tamaño del ángulo de una peseta medido
desde 5 km de distancia.
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3. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
Teoría heliocéntrica de Copérnico
Nicolás Copérnico (1473-1543) expone una teoría heliocéntrica que desecha la
teoría Ptolomeica y retorna a la simplicidad de los movimientos planetarios. Sitúa al Sol
en el centro del Sistema y todos los planetas, incluida la Tierra se moverían en
circunferencias concéntricas. La Tierra tendría un doble movimiento de traslación y
rotación.
Esta concepción del Universo es contraria a la Biblia y a las teorías de Aristóteles,
por lo que no fueron aceptadas por sus contemporáneos. De hecho, Copérnico nunca
publicó su obra De revolutionibus orbius caelestium ( Revoluciones de las esferas
celestes) que se publicó póstumamente en 1543.
Uno de los mayores aciertos de la teoría de Copérnico fue el establecimiento de
los periodos orbitales de los planetas alrededor del Sol y las distancias relativas de los
planetas al Sol.
También ofrecía una sencilla explicación del
movimiento retrogrado de los planetas. Si se observa el
dibujo, la retrogradación del planeta tiene lugar cuando
la Tierra lo adelanta, debido a que su periodo de
revolución alrededor del Sol es más corto.
Justificó también correctamente la no observación del
paralaje. Las Estrellas estaban tan lejos que la diferencia
era inapreciable.
Galileo
Galileo Galilei (1564-1642) apoyó y desarrolló la teoría heliocéntrica de Copérnico.
En 1610 publica el Mensajero celestial donde dice:
· Júpiter tiene cuatro planetas ( Kepler los llamaría después satélites)
girando en torno a él. Esto venía a decir que la Tierra no era el centro de rotación
de todos los cuerpos celestes y rompía con el dogma de los siete cuerpos
celestes, aparte de las estrellas fijas, que se suponía constituían el universo.
· La superficie lunar no era lisa ni perfectamente esférica sino que tenía
rugosidades , cadenas montañosas y valles . Esto supone atentar contra la idea de
que salvo la Tierra los demás cuerpos celestes eran esféricos y uniformes
· Las estrellas fijas no parecían aumentar a través del telescopio .Esto
implicaba que estaban increíblemente lejos, lo que permite explicar la ausencia
de paralajes observadas.
· La Vía Láctea, cuyo nombre se deber al aspecto lechoso que presenta su
rastro en el cielo, estaba compuesto por una infinidad de estrellas indistinguibles
a simple vista.
En 1632 publica Diálogos sobre los dos grandes sistemas del mundo, obra en la que
hace una defensa del sistema Coperniciano (sigue creyendo que las orbitas son
circulares) y expone el principio de la inercia y la idea de la caída libre de los cuerpos
independientemente de la masa, en contra de Aristóteles.
Sus ideas le acarrearon problemas con la inquisición y abjuró de ellas.
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4. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
2. Momento cinético o angular
Momento cinético o angular de una partícula de masa m, que se mueve con

velocidad vp  , con respecto a un punto O es el producto vectorial de su posición, r
por su cantidad de movimiento, .  L = rxp   =
rxmv 
L = rpsen =
pd
a
d rsen
r
sen d
a = =
a
;
Tª del momento angular
Derivando la ecuación anterior se obtiene:
 dL = dr


xmv  + rxm 
dv
= rxma   = rxF   
=
M
dt
dt
dt
Ya que la derivada del vector de posición respecto del tiempo es la velocidad y el
producto vectorial de esta por la cantidad de movimiento es cero, pues son vectores
paralelos.

=M 
dL
dt
A esta expresión se le conoce como Tª del momento angular: “ La
variación del momento angular de una partícula con respecto a un punto en la unidad de
tiempo, es igual al momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula con
respecto a dicho punto.”
Conservación del momento angular. Consecuencias
Si el momento angular M =0 entonces L = cte. Es
decir, si la suma de los momentos de las fuerzas
exteriores que actúan sobre un sistema es cero, el
momento angular del sistema permanece cte.
Por ejemplo esto ocurre en el caso de las fuerzas
centrales ya que al tener r y F la misma dirección el
momento es cero
3. Leyes de Kepler
A finales del siglo XVI, un astrónomo danés, Brahe, calculó numerosos datos
sobre el movimiento de los planetas con muchísima precisión.
Johanes Kepler fue su discípulo, pero era un Coperniciano convencido. A la
muerte de Brahe, Kepler decidió interpretar esos datos adaptándolos a las órbitas
circulares de Copérnico. Los cálculos cuadraban hasta Marte. Según los datos de Brahe
la orbita de Marte estaba a 8`de arco ( 0,13º) fuera del esquema de Copérnico. Al
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5. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
estudiar esta discrepancia Kepler se dio cuenta de que si las órbitas son elípticas en las
que en uno de los focos se situaba el Sol se solucionaba el problema.
Con esto y el resto de los datos Kepler enunció tres leyes que describían el
movimiento planetario:
1ª ley : Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el
Sol.
2º ley: Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol, son
directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
S1
S2
=
=. . .. .. .=cte
t1
t2
Velocidad areolar: Es el cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en
barrerla. Va=s/t m/s. Por esto a esta propiedad también se conoce como Tª de las áreas.
Esta propiedad es consecuencia del Tª de conservación del momento angular. Como
el sistema solar es un sistema aislado Σ M=0 y por tanto L = cte. Como las fuerzas
de atracción son centrales son paralelos y por tanto M =0. Las órbitas son planas ya
que si L =cte lo es en dirección y sentido , L es perpendicular a r y a v y por tanto
deben estar en un mismo plano.
Relacionándolo geométricamente podemos ver que el radio r barre un área dA en
un tiempo dt. Esta area es igual a la mitad del área del paralelogramo formado por los
vectores r y dr ( || r x dr || ) .
Como el desplazamiento del planeta en un tiempo dt es dr = vdt , obtenemos:
dA = 1/2 || r x dr || = 1/2 || r x vdt || = ||L||/2m dt Por lo tanto,
es una constante. Es decir, en tiempos iguales, se barren
áreas iguales.
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6. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
t1=t2 ®
S1
t 1
=
S2
t2
®S1=S2
Nota: Perihelio Posición de un planeta en su órbita más próxima al Sol. Afelio: Posición más alejada. Si hablamos de órbita
alrededor de la Tierra se llama apogeo y perigeo
Esto quiere decir que en los puntos próximos al perihelio la v es mayor que en el
afelio ya que recorre más arco en el mismo t.
3º ley : Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los
cubos de los semiejes mayores ( distancia media ) de las elipses.
T1 2
r1 3
=
T2 2
r2 3
=
T3 2
r3 3
=. .. . .. .=cte
Periodo es el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa.
Las leyes de Kepler son validas para el movimiento de los planetas alrededor del
Sol y de los satélites alrededor del planeta..
Ejemplos:
Calcula el periodo de revolución de Marte sabiendo que la distancia media de Marte al Sol es de 228 millones
de km, la distancia media de la Tierra al Sol de 149,6 millones de km y el periodo de revolución de la tierra de 365,26
días.
2
rM 3
TM
=
TT 2
rT 3
;TM=TT 2
rM 3
rT 3
;TM =TT rM
rT 3
;TM=365 ,26228
149,6 3
=687,23días
El periodo de traslación de un planeta es 12 veces mayor que el periodo de traslación de la Tierra alrededor del
Sol. Halla la distancia del Sol a ese planeta si la distancia Tierra –Sol es de 149.500.000 km
2
r p
Tp
3 =
TT 2
rT 3
; 12TT 2
3 =
r p
TT 2
1495000002 ;144
r p
2 = 1
1495·105 2 ;r p=
31495· 105 3 ·144 ;r p=7,836·108km
Si el radio de la orbita circular de un planeta A es cuatro veces mayor que el de otro B¿ En qué relación están su
periodos y sus velocidades medias?
r A=4rB ;
2
r A
TA
3 =
TB 2
rB 3
®
2
64rB 3
TA
=
TB 2 rB ·TA
2 =64TB 2
T A=8TB La velocidad v=st
=2πr
T
vA=
2πrA
T A

2π4rB
8TB
=
8πrB
8TB
=π
r B
TB
vB=
2ρrB
TB
v A
vB
=
r π
B
T B
2π
r B
TB
=
12
v B=2vA
4. Nociones actuales sobre el sistema solar.
La idea que tenemos hoy acerca del sistema solar no coincide con mucho de lo
visto hasta ahora. Para empezar, tampoco el Sol es centro de nada. Nuestro sistema
planetario no es más que uno de los muchos que posiblemente acompañan a numerosas
estrellas de la galaxia en que habitamos, la Vía Láctea. A su vez nuestra galaxia no es
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7. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
más que una de los billones o trillones de galaxias que posiblemente componen el
Universo.
Características de nuestro sistema solar:
· Todos los planetas efectúan dos movimientos distintos: uno de traslación alrededor del Sol y
otro de rotación en torno a su propio eje.
· Todos los planetas describen orbitas planas alrededor del Sol.-
· Casi todas las órbitas planetarias están aproximadamente en el mismo plano.
· Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol ( en sentido
antihorario ). La mayoría de los satélites hacen lo mismo alrededor de los planetas
· El eje de rotación de la mayor parte de los planetas ( salvo Urano) es prácticamente
perpendicular al plano orbital.
· La mayoría de los satélites describen órbitas en el plano ecuatorial de los planetas. ( Salvo
los de Urano)
· Todos los planetas rotan en sentido antihorario excepto Venus, Urano.
· La fuerza que gobierna el movimiento planetario es de tipo central y actúa en la dirección
que une planeta y Sol.
· Las órbitas planetarias son estables. Asumiendo que la masa del planeta apenas varía, su
distancia media al Sol permanece constante.
· Las orbitas de los satélites en torno a los planetas son planas y estables
· La fuerza que gobierna el movimiento de los satélites en torno a los planetas es de tipo
central, dirigida a lo largo de la línea que une satélite y planeta.
5. Ley de la gravitación universal
Newton desarrolló lo que conocemos como la ley de la gravitación universal:
“ La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante
una fuerza central directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
F G mm  
= - ` G es la cte de gravitación universal 6,67 ·10-11 Nm2/kg2. El
r u
r
2
valor de esta constante es tan pequeña que a menos que
una de las masas sea muy grande la fuerza de atracción es
inapreciable.
El signo negativo de la expresión vectorial indica el
carácter atractivo de la fuerza y el vector ur la dirección
radial, su dirección siempre es la recta que une las dos
masas.
Son fuerzas a distancia, no necesitan un medio material para existir.
Siempre se presentan a pares. Si un cuerpo m atrae a otro m` con una fuerza F, el m`
atrae al m con una fuerza que es igual en modulo y dirección pero sentido contrario. Por
ejemplo, la fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna es igual que la que la Luna ejerce
sobre la Tierra. En el caso de una piedra y la Tierra, la fuerza con que la Tierra atrae a la
piedra es la misma con la que la piedra atrae a la Tierra.
La distancia r debe entenderse como la distancia entre los centros de los cuerpos.
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8. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
Si G = 6,67 ·10-11 N m2/kg2 , la MT = 6 · 1024 kg y el radio de la Tierra = 6370 km, determina
Magnitud con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g
24
F G m · mT 6,67·10 · 0,1·6·10
0,98
2 = - = - =
( ) N
r
6370·10
3 2
11
2 Magnitud con la que la piedra atrae a la Tierra.
Igual pero de sentido contrario
3 El valor de la aceleración que adquiere la piedra
a = F = = 9,8 / 2 =
m s g
m
0,98
0,1
4 Aceleración de la Tierra
a = F = 0,98 = 1,63·10 - 25 m /
s
2
m
24 Es imperceptible
6·10
5 Fuerza con la que la Tierra atraerá a otra piedra de m=10 kg y aceleración que adquiere
24
F G m · mT 6,67·10 · 10·6·10
98
a = F = 98 = m s
La aceleración es
2 = = - = ® 9,8 / 2
( ) N
r
6370·10
3 2
11
10
m
independiente de la masa
5.1 Fuerzas gravitatorias en un conjunto de masas ( Principio de superposición)
La fuerza que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de masas es igual
a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella consideradas
individualmente.
Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado.
Determina el módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta debido a la presencia de las otras tres.
   
= + +
Módulos
21 31 41 F F F F
N
F G m m 10
| |= = 6,67·10- ·2·2 = -
1 2
2,67·10
21 r
2
11
2
1
1

N
m m
| |= = 6,67·10- · 2·2 = -
F G 10
1 3
1,33·10
31 r
2
11
2
2
2

12 12 2
2 r = + =
N
F G m m 10
| |= = 6,67·10- ·2·2 = -
1 4
2,67·10
41 r
2
11
2
3
1

  F =2,67·10-
10
i
21 F j
  10
41 =2,67·10-
F F i F sen j i j i j
       = cosa + a =1,33·10- 10 2 - 1,33·10 - 10 2
= 9,4·10 - 11 - 9,4·10
-
11
31 31 31 2
2
  
=3,61·10-10 -3,61·10-10
F i j
8
F
1 m
F21
F31
F41

9. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
F = (3,61·10-10 )2 +(3,61·10-10 )2 =5,1·10-10 N
6. Consecuencias de la ley de gravitación universal
1º Avala matemáticamente las ideas de Galileo sobre la caída libre de los cuerpos
2º Da significado físico a la cte de la 3ª ley de Kepler
6.1 Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias
Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se
mm
G m ·
m
hallará sometido a F = G . Como F = m·a entonces m a
(r h)2
T
T
+
r h
T
T ·
( )
2 =
+ y por
a Gm
tanto ( )2 r h
T
T
+
=
La aceleración con que cae a tierra un objeto de masa m depende de la masa de la
Tierra y no de la del objeto. Por tanto una piedra de 100 g cae con la misma
aceleración que una de 10 kg.
La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la
Tierra . Si h es muy pequeña en comparación al rT ( h <<<< rT ) se puede escribir
a Gm = T
( )2
Si sustituimos G = 6,67 · 10-11Nm2/kg2 ; mT= 6 · 1024 kg y rT = 6370 km
r
T
obtenemos a = 9,8 m/s2
6.2 Significado de la cte en la 3ª ley de Kepler
Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol ( masa ms) a una
distancia r. La fuerza gravitacional es centrípeta y por tanto G mms mw 2
r
r
2 = . Sabemos
w = 2p
que T
r
T
m
G mms
r
2
2
2
= 4p . Según la 3ª ley de Kepler T2=Kr3
r
kr
m
G mms
r
2
3
2
= 4p . Y despejando K
Gm 2
s
s
Gm
K
r Kr
2
2
2
= 4p ® = 4p
Esto quiere decir que Kepler tenía razón cuando atribuía al Sol el movimiento
planetario pues K es la misma para el movimiento de todos los planetas y solo depende
de la masa del sol, no de los planetas.
Lo mismo ocurre con la K de un satélite en torno a un planeta. Solo depende de
la masa del planeta.De esta forma se podría hallar la masa del planeta:
T = p ® = p 3
Si no te acuerdas de la fórmula se puede deducir
2
2
3
2
2 4 4 r
GT
r m
Gm
G MPm 2
mw r
r
2 = ;
2 3 4p 2 3 = ® =
M w r p p 2
M r
T G
G
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10. Fisica 2º bachillerato Unidad 1
Determina la masa de Marte sabiendo que uno de sus dos satélites, Fobos, describe una
orbita circular de 9,27 · 106 m de radio alrededor del planeta de 7,5 horas
( ) kg
2 3
M r p
p p
= 4 = 4 9,27·10 = -
T G
23
2 6 3
11 4 2
2
6,47·10
6,67·10 ·(2,7·10 )
G representa la fuerza con la que se atraen dos masas de 1 kg al situarlas a una distancia de 1 m una
de la otra. En este caso se atraen con 6,67 · 10-11 N.
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