UNIDAD 6 MATRICES SIMÉTRICAS Y FORMAS CUADRÁTICAS .pdf

UNIDAD VI
Matrices Simétricas Y
Formas Cuadráticas
MSc. Ing. Jorge David Andrew Durandal

Frases
Unidad VI
Matrices Simétricas Y Formas Cuadráticas

Mapa Mental
Matrices Simétricas Y Formas Cuadráticas Unidad VI
UNIDAD 6 MATRICES
SIMÉTRICAS Y FORMAS
CUADRÁTICAS
Introducción
Diagonalización de
matrices simétricas
Formas cuadráticas
Optimización
restringida
Descomposición en
valores singulares

Introducción
Matrices Simétricas: Son matrices iguales a sus
transpuestas. Esta característica no solo simplifica el
análisis matemático, sino que también las hace
fundamentales en aplicaciones que van desde la
resolución de ecuaciones lineales hasta su papel en la
física y la ingeniería.
Formas Cuadráticas: Permiten examinar las
propiedades de funciones cuadráticas en dimensiones
superiores, proporcionando una visión crucial para
entender las estructuras geométricas y los espacios
vectoriales. Son esenciales para desentrañar complejas
relaciones en matemáticas y encontrar soluciones
óptimas en problemas multidimensionales.
𝑆3×3
𝑒 𝑎 𝑖
𝑎 𝑒 𝑟
𝑖 𝑟 𝑒
𝑆𝑡
3𝑥3 =
𝑒 𝑎 𝑖
𝑎 𝑒 𝑟
𝑖 𝑟 𝑒

6.1 Diagonalización de matrices simétricas
Unidad VI
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada A tal que 𝐴𝑡
= 𝐴.
- Sus entradas en la diagonal principal son arbitrarias.
- Sus otras entradas se presentan por pares, en lados opuestos de la diagonal principal
EJEMPLO 1
¿De las siguientes matrices, Cuales son simétricas?
Simétricas
No simétricas

Unidad VI
En los siguientes ejercicios, determine cuáles matrices son simétricas:
Simétrica
No es simétrica
No es simétrica
Simétrica
No es simétrica
No es simétrica

Unidad VI
Si es posible, diagonalice la matriz A
La ecuación característica de A es:
Los cálculos estándar producen una base para cada espacio propio:
Normalizando los vectores propios:
Entonces 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
, como es usual. Pero esta vez,
como P es cuadrada y tiene columnas ortonormales,
resulta que P es una matriz ortogonal, y:
𝑃−1 es simplemente 𝑃𝑡

Unidad VI
Diagonalice ortogonalmente la matriz A, cuya ecuación característica es:

Unidad VI
Diagonalice ortogonalmente la matriz A, cuya
ecuación característica es:
SOLUCIÓN
Los cálculos usuales producen bases para los espacios propios:
Normalizando para 𝜆 = 7
Normalizando para 𝜆 = −2
Considerando que 𝑢3 es ortogonal a los VP 𝑢1 y 𝑢2. Decimos
que {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3} es un conjunto ortonormal.
−2
−1
2
−1
4
1

Unidad VI
Entonces P diagonaliza ortogonalmente a 𝐴, y a 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
Donde: 𝑃𝑡 = 𝑃−1
Considerando que 𝑢3 es ortogonal a los vectores propios 𝑢1 y 𝑢2.
Decimos que {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3} es un conjunto ortonormal.

Unidad VI
Diagonalice ortogonalmente las matrices, dando una matriz
ortonormal P y una matriz diagonal D.

6.2 Formas cuadráticas
Unidad VI
Una forma cuadrática en 𝑅𝑛 es una función 𝑄 definida sobre 𝑅𝑛 cuyo valor en un
vector 𝒙 de 𝑅𝑛
se puede calcular mediante una expresión de la forma 𝑸(𝒙) = 𝒙𝒕
𝑨𝒙,
donde A es una matriz simétrica de 𝑛 × 𝑛.
La matriz A se denomina matriz de la forma cuadrática.
EJEMPLO 1

Unidad VI
En 𝐴 existen dos entradas con valor -2.
No tiene el producto cruzado 𝑥1𝑥2.
La presencia de −4𝑥1𝑥2
se debe a las entradas -2
fuera de la diagonal en la
matriz A.

Unidad VI
EJEMPLO 2
Para 𝑥 en 𝑅3
, sea 𝑄(𝑥) = 5𝑥1
2
+ 3𝑥2
2
+ 2𝑥3
2
− 𝑥1𝑥2 + 8𝑥2𝑥3.
Escriba esta forma cuadrática como 𝑥𝑡𝐴𝑥.
Los coeficientes de 𝑥1
2
, 𝑥2
2
, 𝑥3
2
están en la diagonal de A
Los coeficientes de−𝑥1𝑥2
Los coeficientes de 8𝑥2𝑥3
Los coeficientes de 0𝑥1𝑥3
Para que A sea simétrica:

Unidad VI
EJEMPLO 3
Sea 𝑄(𝑥) = 𝑥1
2
− 8𝑥1𝑥2 −5𝑥2
2
. Calcule el valor de 𝑄(𝑥) para:
𝑥 =
−3
1
𝑥 =
2
−2
𝑥 =
1
−3

Unidad VI
Calcule la forma cuadrática 𝑥𝑡
𝐴𝑥, para: hallar:

Unidad VI
Encuentre la matriz de la forma cuadrática.
Suponga que 𝑥 está en 𝑅2
.

6.2 Formas cuadráticas (Cambio de variable)
Unidad VI
Realice un cambio de variable que transforme la forma
cuadrática en una forma cuadrática sin productos cruzados.
SOLUCIÓN
El primer paso es que A se diagonalice ortogonalmente.
Sus valores propios resultan ser 𝜆 = 3 y 𝜆 = 7. Los vectores
propios unitarios asociados son:
Esos vectores son automáticamente ortogonales
(porque corresponden a diferentes valores propios),
de manera que brindan una base ortonormal para
𝑅2
. Sean:
Un cambio de variable conveniente es:
Si A es simétrica:
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 Considerando que 𝑃−1 = 𝑃𝑡
𝑥1
2
− 8𝑥1𝑥2 − 5𝑥2
2
= 3𝑦1
2
− 7𝑦2
2

Unidad VI
SOLUCIÓN
Un cambio de variable conveniente es
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
D = 𝑃−1
𝐴𝑃
Como A es simétrica decimos
D = 𝑃𝑇
𝐴𝑃
calcular Q(x) para x= (2,-2)
𝑥1
2
− 8𝑥1𝑥2 − 5𝑥2
2
= 3𝑦1
2
− 7𝑦2
2
Cambio de variable
𝑃−1
𝑥1
𝑥2
𝑦1
𝑦2

Unidad VI
SOLUCIÓN
calcular Q(x) para x= (2,-2)
Cambio de variable
𝑃−1 𝑥1
𝑥2
𝑦1
𝑦2

Unidad VI
Encuentre el cambio de variable 𝑥 = 𝑃𝑦 que transforme la forma cuadrática 𝑥𝑡𝐴𝑥
en 𝑦𝑡
𝐷𝑦 como se muestra. (Encontrar P y el cambio de variable a Y)
𝑄 𝑥 = 5𝑥1
2
+ 6𝑥2
2
+ 7𝑥3
2
+ 4𝑥1𝑥2 − 4𝑥2𝑥3

6.2 Formas cuadráticas Clasificación
Unidad VI
𝐿𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛: (𝑥1, 𝑥3, 𝑧)
donde:
𝑧 = 𝑄(𝑥)
Nota:
Positiva semidefinida si Q(x) ≥ 0 para toda x,
Negativa semidefinida si Q(x) ≤ 0 para toda x

6.2 Formas cuadráticas Clasificación
Unidad VI
Nota:
Positiva semidefinida si Q(x) ≥ 0 para toda x,
Negativa semidefinida si Q(x) ≤ 0 para toda x
Valores propios de A resultan ser
5, 2 y -1. Así, Q es una forma
cuadrática indefinida.

6.3 Optimización restringida
Unidad VI
El requisito de que un vector 𝑥 en 𝑅𝑛
sea
unitario se puede establecer en varias
formas equivalentes:
La optimización restringida, también conocida como optimización con restricciones,
es un área de la optimización matemática en la que se buscan los valores óptimos
(mínimos o máximos) de una función objetivo sujeta a una serie de restricciones o
limitaciones. Estas restricciones suelen ser igualdades o desigualdades que deben
cumplir las variables involucradas en la función objetivo.
NOTA:
Cuando una forma cuadrática 𝑄 no tiene productos cruzados, es fácil encontrar el máximo y el mínimo de 𝑄(𝑥)
para 𝑥𝑡
𝑥 = 1.

Unidad VI
EJEMPLO 1
Obtenga los valores máximo y mínimo de 𝑄(𝑥) = 9𝑥1
2
+ 4𝑥2
2
+ 3𝑥3
2
con la restricción 𝑥𝑡
𝑥 = 1.
SOLUCIÓN (Valor máximo)
Como 𝑥2
2
y 𝑥3
2
son no negativos, observe que:
y por lo tanto:
Siempre que 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥3
2
= 1 . Así, el valor
máximo de 𝑄(𝑥) no puede exceder 9 cuando 𝑥
es un vector unitario.
Además, 𝑄(𝑥) = 9 cuando 𝑥 = 1 0 0 . Por
consiguiente, 9 es el valor máximo de 𝑄(𝑥) para
𝑥𝑡𝑥 = 1.

Unidad VI
EJEMPLO 1
Obtenga los valores máximo y mínimo de 𝑄(𝑥) = 9𝑥1
2
+ 4𝑥2
2
+ 3𝑥3
2
con la restricción 𝑥𝑡𝑥 = 1.
SOLUCIÓN (Valor Mínimo)
Para encontrar el valor mínimo, observe que:
y por lo tanto:
Siempre que 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥3
2
= 1, 𝑄(𝑥) = 3
cuando 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 y 𝑥3 = 1.
Asi, 3 es el valor mínimo de 𝑄(𝑥) para 𝑥𝑡
𝑥 = 1.
Nota:
Los valores propios de A son 9,4 y 3.

Unidad VI
Sean
Las “alturas” de esos puntos son los valores restringidos de
Q(x). Geométricamente, el problema de optimización
restringido es localizar los puntos más alto y más bajo en la
curva de intersección.

Unidad VI
Ejercicio 1
Sea 𝐴 =
3 2 1
2 3 1
1 1 4
. Encuentre el valor máximo de la forma cuadrática 𝑥𝑡𝐴𝑥 sujeta a la restricción 𝑥𝑡𝑥=1,
y obtenga un vector unitario en el que se alcance dicho valor máximo.
SOLUCIÓN
El valor máximo deseado es el valor propio más
grande de A. La ecuación característica resulta ser:
El valor propio más grande es 6.
El máximo restringido de 𝑥𝑡
𝐴𝑥 se obtiene cuando 𝑥 es un
vector propio unitario para 𝜆 = 6.
Resolviendo 𝐴 − 6𝜆 x = 0
Se encuentra que el vector propio
1
1
1
.
Y normalizado es 𝑢1 =
1/ 3
1/ 3
1/ 3

Unidad VI
Encuentre:
a) El valor máximo de 𝑄(𝑥) con la restricción 𝑥𝑡
𝑥 = 1
b) Un vector unitario u donde se logre este máximo
c) El máximo de 𝑄(𝑥) con las condiciones 𝑥𝑡𝑥 = 1 y 𝑥𝑡𝑢 = 0.

6.4 Descomposición en valores singulares
Unidad VI
Si 𝐴 =
4 11 14
8 7 −2
, entonces la transformación lineal 𝑥 → 𝐴𝑥 mapea la esfera unitaria 𝑥: 𝑥 = 1 en 𝑅3
sobre una elipse en 𝑅2
. Encuentre un vector unitario 𝑥 en el que la longitud 𝐴𝑥 se maximiza, y calcule esa
longitud máxima.
Una transformación de 𝑅3
a 𝑅2

Unidad VI
El valor máximo es el valor propio más grande 𝜆1 de
𝐴𝑡𝐴. Además, el valor máximo se alcanza en un vector
propio unitario de 𝐴𝑡
𝐴 correspondiente a 𝜆1.
Los valores propios de 𝐴𝑡𝐴 son 𝜆1 = 360, 𝜆2 = 90 y
𝜆3 = 0. Los vectores propios unitarios correspondientes
son, respectivamente:
El valor máximo de es 360, que se alcanza
cuando x es el vector unitario 𝑣1. El vector
𝐴𝑣1 es el punto sobre la elipse de la más
alejado del origen:
𝜆1 = 360 𝜆2 = 90 𝜆3 = 0
𝐴𝑣1 = 182 + 62 = 360

Unidad VI
Los valores propios de 𝐴𝑡𝐴 son 360, 90 y 0, entonces los valores singulares de A
son:
𝐴𝑣1está sobre el eje mayor de la elipse 𝐴𝑣2está sobre el eje menor de la elipse

Unidad VI
𝐴𝑣1está sobre el eje mayor de la elipse 𝐴𝑣2 está sobre el eje menor de la elipse
18,6
3, −9

Unidad VI
Obtenga los valores singulares de las matrices.
𝜆1 = 9 𝜆2 = 1
𝜎1 = 3 𝜎2 = 1
𝜆1 = 9 𝜆2 = 4
𝜎1 = 3 𝜎2 = 2

Unidad VI
Encuentre la DVS de:

Unidad VI
Paso 1. Encuentre una diagonalización ortogonal de 𝐴𝑡𝐴
𝜆1 = 360 𝜆2 = 90 𝜆3 = 0
Paso 2. Obtenga 𝑉 𝑦 Σ. (Orden decreciente)
Las raíces cuadradas de los valores
propios son los valores singulares:
Los valores singulares diferentes de cero son las entradas
diagonales de D. La matriz Σ tiene el mismo tamaño que
A, con D en su esquina superior izquierda y ceros en las
entradas restantes.
Paso 3. Construya U.

Unidad VI

Unidad VI
Paso 1. Encuentre una diagonalización ortogonal de 𝐴𝑡
𝐴
𝜆1 = 18 𝜆2 = 0
Paso 2. Obtenga 𝑉 𝑦 Σ. (Orden decreciente)
Las raíces cuadradas de los valores
propios son los valores singulares:
Los valores singulares diferentes de cero son las entradas
diagonales de D. La matriz Σ tiene el mismo tamaño que
A, con D en su esquina superior izquierda y ceros en las
entradas restantes.

Unidad VI
Las raíces cuadradas de los valores propios
son los valores singulares:
Los valores singulares diferentes de cero son las
entradas diagonales de D. La matriz Σ tiene el
mismo tamaño que A, con D en su esquina
superior izquierda y ceros en las entradas
restantes.

Conclusiones
Diagonalización de Matrices Simétricas: La diagonalización de matrices
simétricas revela propiedades fundamentales de la matriz, como sus
valores propios y vectores propios, facilitando cálculos y análisis más
complejos.
Formas Cuadráticas: Las formas cuadráticas son esenciales en el estudio de
superficies y curvas en geometría, proporcionando una herramienta poderosa para
describir y clasificar estas estructuras.
Optimización Restringida: En la optimización restringida, las técnicas como los
multiplicadores de Lagrange permiten encontrar máximos y mínimos de funciones
sujetas a restricciones, aplicable en diversos campos como economía y ingeniería.
Descomposición en Valores Singulares: La descomposición en valores singulares
(SVD) es una herramienta crucial en el análisis de datos y la reducción de
dimensionalidad, permitiendo descomponer una matriz en componentes que
capturan sus características más significativas.

UNIDAD 6 MATRICES SIMÉTRICAS Y FORMAS CUADRÁTICAS .pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a UNIDAD 6 MATRICES SIMÉTRICAS Y FORMAS CUADRÁTICAS .pdf

Similar a UNIDAD 6 MATRICES SIMÉTRICAS Y FORMAS CUADRÁTICAS .pdf (20)

Último

Último (20)

UNIDAD 6 MATRICES SIMÉTRICAS Y FORMAS CUADRÁTICAS .pdf