Este documento presenta un estudio sobre la aplicación de matrices para resolver problemas de circulación vehicular. Se describen conceptos como sistemas lineales, matriz aumentada, eliminación gaussiana, determinantes y regla de Cramer. Luego, se presentan tres problemas de tráfico vehicular resueltos usando métodos de matrices como matriz aumentada. Finalmente, se concluye que los métodos de matrices son útiles para resolver problemas de tráfico de manera rápida.

1. UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA<br />La Universidad Católica de Loja<br />TEMA:<br />APLICACIÓN DE MATRICES EN UN PROBLEMA DE CIRCULACIÓN VEHICULAR<br />AUTORES: <br />Estuardo Puglla<br />Erick Muñoz<br />Rommel Gaona<br />Loja-Ecuador<br />2008-2009<br />OBJETIVOS<br />OBJETIVO GENERAL<br />Conocer todo lo referente a matrices para poder resolver un ejemplo práctico de la vida diaria en cuanto a lo que se refiere circulación vehicular.<br />.<br />OBJETIVOS ESPECÍFICOS:<br />Aplicar en forma correcta todo lo enseñado en clase.<br />Resolver los ejercicios que nosotros plantearemos. <br />Poder representar varios ejemplos de circulación vehicular.<br />Dominar a cabalidad este tema con el propósito de poder desarrollar problemas prácticos de las aplicaciones de las matrices a la ingeniería.<br />JUSTIFICACIÓN<br />E<br />l presente tema de proyecto trata de desarrollar la habilidad para dar soluciones rápidas y claras a problemas de las matrices, creemos que este tema es viable y estamos seguros que nosotros los estudiantes en formación, tendremos un mejor desenvolvimiento en estos temas ya que es una de las temas más importantes y una de las más aplicables a la ingeniería civil ya que servirá de base para los ciclos posteriores de la universidad en cuanto a lo académico.<br />Debido a la falta de conocimientos prácticos nos hemos visto en la obligación de realizar este trabajo para conocer la forma de estos tipos de ejercicios ya que nos servirán de mucha ayuda para el desarrollo del presente módulo<br />El estudio de las matrices es indispensable en muchas ocasiones ya que nos sirven para resolver problemas como es el tráfico vehicular, alcantarillado, agua potable, hidrología, etc de una ciudad.<br />En cuanto a lo personal es de interés propio adquirir conocimientos del siguiente proyecto porque esto nos servirá para realizar diferentes trabajos en cuanto al tema propuesto, ya que esto involucra a nuestra carrera.<br />FUNDAMENTOS TEORICOS<br />SISTEMAS LINEALES <br />Existen tres métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:<br />El método de sustitución, que consiste en despejar de una de las dos ecuaciones una de las incógnitas, expresándola en función de la otra, y sustituirla en la otra ecuación;<br />El método de igualación, que consiste en despejar una de las dos incógnitas, la misma, en cada una de las dos ecuaciones, expresándola en función de la otra incógnita, e igualar las expresiones obtenidas;<br />El método de reducción, que consiste en combinar las dos ecuaciones en una sola ecuación con una única incógnita. Resolviendo esta ecuación obtendremos el valor de dicha incógnita, y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales, obtendremos el valor de la otra incógnita.<br />Este es un sistema de la forma:<br /> Ecuación 1<br />Matriz<br /> Es una disposición de elementos distribuidos en filas y columnas<br />Fig 1<br />El Orden de una matriz esta dado por el orden de filas y columnas el tamaño de una matriz, como un bloque, en este caso, la siguiente matriz tiene cuatro filas y tres columnas.<br />La matriz es de 4x3.<br /> <br /> Fig 2 Fig 3<br />Propiedades de las matrices: <br /> Ecuación 2<br />MATRIZ AUMENTADA<br />Este sistema puede escribirse abreviadamente mediante un arreglo rectangular de números llamada matriz aumentada de la siguiente forma:<br /> <br /> Fig 4<br />MATRIZ ESCALONADA <br />Sea una matriz con filas y columnas. Se dice que es escalonada por filas si para cada índice de fila entre 1 y m-1 , o bien la fila i+1 es nula, o bien el primer termino no-nulo de la fila i viene antes'' que el primer termino no-nulo de la fila i+1 .Es decir: si el primer termino no-nulo de la fila i esta en la columna j , entonces los términos en columnas,1,2,.. j de la fila i+1 son todos nulos. <br />Los primeros coeficientes no-nulos de cada fila se llaman los pivotes de la matriz escalonada. <br />Por ejemplo, la matriz siguiente es escalonada por filas: <br /> Fig 5<br />ELIMINACIÓN GAUSSIANA<br />Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: <br /> Ecuación 3<br />El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema: <br /> Fig 6<br />Para obtener un sistema equivalente: <br /> Fig 7<br />Donde la notación se usa simplemente para denotar que el elemento cambió. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás<br />LA MATRIZ INVERSA <br />La inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz,A-1 , de orden n que verifica: <br /> Ecuación 4<br />Donde I es la matriz identidad de orden n. <br />Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares. <br />Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa: <br /> Ecuación 5<br />ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN<br />En la matemática, la eliminación Gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuacionesse resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: \"
forma escalonada\"
<br />Encontrando la inversa de una matriz <br />Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:<br /> Fig 8<br />DETERMINANTES <br />Es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.<br /> Propiedad 1<br />SI A ES MATRIZ CUADRADA SE CUMPLE:<br />Si B es matriz que obtuvo cuando un solo renglón o columna de A se multiplica por un escalar K entonces: det(B)=k(det(A). <br />Si B es matriz obtenida cuando se han intercambiado dos renglones (columna) de A, entonces el det(B) =-det(A). <br />Si B se obtiene cuando un múltiplo de un renglón (columna) de A se suma otro renglón, el determinante: det (B) = det (A) <br />Si A es matriz triangular cuadrada (triangular superior diagonal o triangular inferior) entonces el determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Det(A)=a11*a22*a33*…ann <br />Si A nxn con dos columnas o renglones proporcionales el determinante de A=0 <br />COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ CUADRADA<br />El cofactor de un elemento es igual al menor complementario de dicho elemento o a su opuesto de acuerdo a que la suma de los subíndices sea par o impar<br />REGLA DE CRAMER<br /> Ecuación 6<br />La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).<br />Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:<br /> <br /> Propiedad 2 <br />Un buen ejemplo es la resolución de un sistema de ecuaciones 2x2, de la forma:<br /> Fig 9<br />METODOLOGÍA<br />Para encaminar el estudio en conocimientos y procesos estudiados para el trabajo investigativo hemos recurrido al internet, el libro de Algebra lineal de Barnett (sexta edición), Encarta 2008 los mismos que nos van a servir como referencia para poder resolver los problemas que nosotros plantearemos , esto es con la finalidad de poseer conocimientos claros para poder realizar los ejercicios anteriormente dichos y con el método investigativo nos va a permitir profundizarnos más, adentrarnos más en el tema a realizar para un mejor desenvolvimiento del proyecto.<br />En el siguiente trabajo investigativo vamos a resolver un problema sobre aplicación de matrices en un problema de circulación vehicular mediante datos que obtengamos nosotros en el transcurso de este segundo bimestre en las calles de nuestra ciudad.<br /> Para poder obtener los datos vamos a necesitar de la ayuda de nuestros compañeros del grupo por lo que nos trasladaremos a las calles en una hora pico donde la influencia de vehículos es muy grande.<br />DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN <br />Datos de vehículos que transitaron por las calles de nuestra ciudad Loja el día 5 de enero del 2009 a las 12h00. Estos son datos que con los compañeros de grupo hemos obtenido en un tiempo de 10min en la fecha antes indicada con los cuales vamos a resolver simplemente como método de matriz aumentada. <br />Fig 10<br />1 = 78+45=x1+69 = x1= 54<br />2 = x1+56=x2+52 = x1-x2= -4<br />3 = x2+55=x3+59 = x2-x3= 4<br />1001-1001-154-44=10001001-154584=100010001545854<br /> R2=R1-R2R3=R2-R3<br />X3=54 X2=58 X1=54<br />Datos de vehículos que transitaron por las calles de nuestra ciudad Loja el día 27 de Diciembre del 2008 a las 12h00. Estos son datos que con los compañeros de grupo hemos obtenido en un tiempo de 10min en la fecha antes indicada con los cuales vamos a encontrar las incógnitas en este caso con el método de matriz aumentada. <br />Fig 11<br /> V entra = V sale<br />A = 514+197=X1+X2 = X1+X2=711<br />B = X2+544=X3+210 = X3-X2=334<br />C = X1+280=130+560 = X1=410<br />1100-11100711334410=1001100-11410711334=1000100-11410301334=100010001410301635<br /> R2= -R1+R2 R3=R2+R3<br />X3= 635 X2=301 X1=410<br />Datos de vehículos que transitaron por las calles de nuestra ciudad Loja el día 27 de Diciembre del 2008 a las 12h00. Estos son datos que con los compañeros de grupo hemos obtenido en un tiempo de 10min en la fecha antes indicada con los cuales vamos a encontrar las incógnitas en este caso con el método de matriz aumentada<br />Fig 12<br /> V entra = V sale<br />1 = X1+90=X2+65 = -X1+X2=25<br />2 = X2+54=X3+73 = X2-X3=19<br />3 = X3+63=97+57 = X1=91<br />-11001-1001251991=10-101-1001-61991=10-1010001-611091=1000100018511091=<br /> R1=R2-R1 R2=R3+R2 R1=R3+R1<br />X3=91 X2=110 X3=85<br />CONCLUCIONES<br />Podemos concluir que Los métodos de las matrices son muy útiles, y muy aplicables en lo que se refiere a problemas de circulación vehicular ya que con estos métodos podemos resolver ejercicios de esta magnitud y de una manera muy rápida. <br />Queda comprobado que dominando este tema de matrices podemos resolver cualquier tipo de problemas en este caso referente a la circulación vehicular.<br />la matriz aumentada en este caso en la resolución de los problemas que hemos planteado puede ser el más aplicado ya que nos permite resolver los problemas de una forma rápida.<br />REFERENCIAS<br />Algebra lineal de Barnett (sexta edición)<br />G:\Regla_de_Cramer.html<br />G:\cramer.html<br />webmaster@jaimemontoya.com<br /> http://docentes.uacj.mx/flopez/Cursos_bak/Algebra/Unidades/Unidad_1/1.4%20Matriz%20aumentada.htm<br />http://emmanuel.jean.briand.free.fr/MMF1/operaciones/node9.html<br />http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad3/Gaussian/GAUSSIAN.htm<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan<br />Microsoft, Encarta, 2008<br />