ecuaciones teoria

1. Mg. Billy Toribio Aranda
Facultad de Ingeniería
MATEMÁTICA I
ECUACIÓN DE LA RECTA

2.  Aplica la teoría de matrices a la solución de
problemas reales.
Logro de la sesión
 Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al
estudio de la ecuación de la recta.
 Determinar e interpretar la pendiente de una recta.
 Determinar y graficar la ecuación de la recta.
 Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos
rectas en el plano.

3. Contenidos:
 Caso aplicativo
 Conocimientos previos
 Pendiente de una recta
 Formas de la ecuación de la recta
 Posición relativa de dos rectas

4. Caso aplicativo
Un pequeño fabricante de enseres electrodomésticos
encuentra que si se producen 𝑥 hornos tostadores por
mes, su costo de producción está dado por la ecuación
𝐶 = 6𝑥 + 3000
donde 𝐶 se mide en dólares.
a) Trace una grafica de esta ecuación lineal.
b) ¿Qué representa la pendiente y el punto de
intersección 𝐶 de la gráfica?

5. Conocimientos previos
PLANO CARTESIANO
I C
(𝒙, 𝒚)
III C
(−𝒙, −𝒚)
II C
(−𝒙, 𝒚)
IV C
(𝒙, −𝒚)
𝑥
𝑦
Eje de las abscisas
Eje
de
las
ordenadas
Origen
𝑃(𝑥, 𝑦)

6. 𝒅𝑨𝑩 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐+(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐
𝑷𝑴 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
,
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏)
𝑷𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐)
𝑷𝑴
𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏)
𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐)
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS PUNTO MEDIO

7. Pendiente de una recta

8. 𝜽
𝒚𝟏
𝑩
𝒚𝟐
𝒙𝟐
𝒙𝟏
𝑨
𝒙
𝒚
∆𝒙
∆𝒚
𝒎𝑨𝑩 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
=
𝚫𝒚
𝚫𝒙
= 𝐭𝐚𝐧 𝜽
Definición:
La pendiente, 𝑚𝐴𝐵 , de un segmento no vertical con
extremos 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y 𝑩 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 es:
Sea:

9. La recta
 La recta es el lugar geométrico de todos los puntos
que tomados de dos en dos poseen la misma pendiente.
 Una recta inclinada a la derecha tiene pendiente
positiva, mientras que una recta inclinada a la
izquierda tiene pendiente negativa.
 Las rectas horizontales tienen pendiente 𝑚 = 0 ,
mientras que las rectas verticales no tiene pendiente.
 La pendiente de una recta, es independiente de los
puntos que se elijan sobre ella.

10. Formas de la ecuación de la recta
Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por
el punto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), con una pendiente 𝑚 dada.
𝑳
𝑷(𝒙, 𝒚)
𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏)
𝜽
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜽
𝒙
𝒚
Forma punto – pendiente
L: 𝑦 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝑥 − 𝒙𝟏)

11. La coordenada 𝑏 se define como la ordenada al origen o
coeficiente de posición, y es el punto donde la recta
corta el eje 𝑦.
𝑳
𝑷(𝒙, 𝒚)
𝑷𝟏(𝟎, 𝒃)
𝒙
𝒚
Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por
el punto 𝑃1(0, 𝑏), con una pendiente 𝑚 dada.
𝐿: 𝑦 = 𝒎𝑥 + 𝒃
Forma pendiente – Ordenada en el origen

12. 𝑳
𝒙
𝒚
(𝟎, 𝒃)
(𝒂, 𝟎)
Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por
los puntos (𝑎, 0) y (0, 𝑏).
𝐿:
𝑥
𝒂
+
𝑦
𝒃
= 1
Forma simétrica

13. 0


 C
By
Ax
además de esta ecuación es factible obtener las
siguientes relaciones:
B
A
m 

B
C
b 

m es la
pendiente de la
recta.
b es la ordenada
en el origen
(coeficiente de
posición)
Forma general

14. Ejemplo 1
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos
𝑃 2,1 y 𝑄 8,5 .

15. Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta que pasa por 𝑃 1, −3
con pendiente −
1
2
.

16. Ejemplo 3
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos
−1,2 y 3, −4 .

17. Ejemplo 4
Una recta pasa por los puntos −2,2 y 1,1 . Hallar el
punto sobre la recta que tiene como abscisa 2.

18. Ejemplo 5
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de
extremos 𝐴 2,5 y 𝐵 4, −7 .

19. Ejemplo 6
Trace la grafica de la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0.

20. 1
L
2
L
Dadas dos rectas en el plano entonces se tiene sólo uno
de los siguientes casos
1
L
2
L
1
L
2
L
Intersección de rectas

21. Rectas Paralelas:
2
1
2
1 // m
m
L
L 

Se dice que dos rectas, 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas si tienen
igual pendiente y distinto coeficiente de posición.
1
2
1
2
1 



 m
m
L
L
Rectas Perpendiculares:
Se dice que dos rectas, 𝐿1 y 𝐿2 son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es igual a −1.

22. Ejemplo 7
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto
𝑄 2,4 y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 𝑥 −
5𝑦 + 10 = 0.

23. Ejemplo 8
Si las rectas 𝐿1: 3𝑥 + 6𝑘𝑦 = 7 y 𝐿2: 9𝑘𝑥 + 8𝑦 = 15 son
paralelas. Determine el valor 𝑘.

24. Ejemplo 9
Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones
𝐿1: 3𝑥 + 2𝑦 + 8 = 0 y𝐿2: 2𝑥 − 9𝑦 − 5 = 0. Determine la ecuación
de esa recta sabiendo que es paralela a la recta cuya ecuación
es 6𝑥 − 2𝑦 + 11 = 0.

25. ¡Ojo! Recuerda que
debes resolver los
ejercicios de la hoja de
trabajo de la sesión 7;
esto te ayudará a
enriquecer los temas
vistos en clase.