El documento trata sobre matrices y determinantes. Define matrices, sus tipos y operaciones. Explica cómo calcular determinantes de primer, segundo y tercer orden usando reglas como la de Sarrus. También cubre el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales y propiedades de determinantes.

1. Matrices
definición, tipos especiales
de matrices, operaciones,
ejercicios y aplicaciones.
•Define e identifica los tipos
de matriz y realiza
operaciones.
•Usa las matrices para
resolver problemas
referentes a la ingeniería.
•Muestra habilidad para
identificar los tipos de
matrices y realizar
operaciones.
•Usa los conocimiento de
matrices para resolver los
problemas de matrices
referidos a la ingeniería.
Semana 10
Determinantes
•Determinantes:
definición, matriz inversa y
ejercicios.
•Resolución de sistemas de
ecuaciones usando
el método de cramer y
sarrus.
•Define, ejemplifica y calcula
determinantes.
•Resuelve sistemas de
ecuaciones usando el
método de cramer, muchas
veces estos sistemas son la
formulación matemática de
un problema referido a la
ingeniería.
•Observa que muchos
problemas del mundo real
se pueden formular en
lenguaje matemático para
luego hallar su solución.

2. Determinante de 1er. Orden:
Llamamos así una determinante de una matriz de orden 1.
El valor del determinante coincide con el valor de único elemento que
posee la matriz.
Para la matriz : A= [𝛼] , 𝑆𝑢 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝐴 = 𝐴
EJEMPLO.- Dada la matriz: A=[-2], su determinante:
Se denota así: |A|=|-2|, y su valor correspondiente es |A|=-2

3. Sea la matriz cuadrada :
A=
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐
𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐
Su determinante se denota así :
|A|=
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐
𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐
El valor de este determinante se calcula según el siguiente
algoritmo:
|A|= 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔
𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍
.
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔
𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒔𝒆𝒄𝒖𝒏𝒅𝒂𝒓𝒊𝒂
=
𝑨 = 𝐚𝟏𝟏. 𝐚𝟐𝟐. 𝐚𝟐𝟏. 𝐚𝟏𝟐
DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN

4. DETERMINANTE DE 3ER ORDEN
Sea la matriz: A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
, su determinante se denota así:
|A| =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
El valor de esta determinante se calcula según “La Regla de Sarrus”

5. REGLA DE CRAMER
Sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
1. El primer paso es hallar la s, para eso extraemos los coeficientes
de las ecuaciones lineales y lo colocamos en una matriz.
2. Luego en la parte inferior de la matriz agregamos las dos primeras
filas, y aplicamos el método de Sarrus y asi hallaremos la s.
3. Luego tendremos que hallar la x, y, z .
4. Para hallar la x colocamos el Termino Independiente y lo
reemplazamos en la columna “x” y en la parte de la derecha
colocamos las dos primeras columnas y nuevamente usamos el
método de Sarrus.
5. Para la y se aplica lo mismo.
6. Y en la z se aplica lo mismo que para hallar la s.

6. PROPIEDADES
1) |A + B|  |A| + |B|
2) |A . B| = |A| . |B|
3) |A| = |AT|
4) |An| = |A|n ;  n  ℕ
5) Si B = 𝑘. A = 𝑘. 𝑎1  |B| = |k . A| = kn . |A| ; donde k es
un escalar y n el orden de la matriz A
6) Si los elementos de dos filas, o, columnas son
proporcionales entre si, entonces el determinante de la
matriz es igual a cero.
7) Si todos los elementos de una fila, o, columna son ceros,
el determinante de la matriz es igual a cero.

7. 8) Si todos los elementos de una fila, o, columna se multiplican
por un mismo número “k”; el
9) Si se cambia dos filas, (o dos columnas) el determinante
cambia de signo
10) El determinante no varia si todos los elementos de una de sus
filas, (o columnas), se le suma el múltiplo de otra fila, o,
columna.
Observaciones
1ra. El determinante de las siguiente matrices : triangular superior,
triangular inferior y diagonal; es igual a producto que se obtiene
al multiplicar todos los elementos de su diagonal principal.
2da. Teniendo en cuenta la definición de una determinada, se

8. a) Matriz Singular. Es aquella, cuyo determinante es igual a cero, es
decir:
Si |A| = 0  A es singular
b) Matriz No Singular. También llamada : Matriz Regular; es aquella
cuyo
determinante es diferente de cero, es decir:
Si |A|  0  A es no singular

9. 1. Si: A+B=C, calcula << x.y >>, donde:
A=
4 4
5 𝑥
, B=
7 −1
𝑦 4
, C=
𝑦 − 1 3
𝑦 + 5 𝑦 + 1
Resolución
La matriz A+B viene dad por:
A+B= =
4 4
5 𝑥
+
7 −1
𝑦 4
=
4 + 7 4 + (−1)
5 + 𝑦 𝑥 + 4
A+B =
11 3
5 + 𝑦 𝑥 + 4

10. Por condición A+B=C, es
decir:
11 3
5 + 𝑦 𝑥 + 4
=
𝑦 − 1 3
5 + 𝑦 𝑦 + 1
De donde tenemos:
y-1= 11 → y=12
Asi mismo se cumple:
y+1 = x+4 → x=9
Por lo tanto
x.y = 108

11. 2._ Dado las siguientes matrices resolver:
2 1 3 -1 0 -2
A= 0 3 B= -2 0 C= 3 -5
AB-C
resolver el factor AB puesto que es una multiplicación lo que hacemos
después es:

12. Resolverlo de esta manera:
AB= (2*3)+(1*(-2)) (2*(-1))+(1*0)
(0*3)+(3*(-2)) (0*(-1))+(3*0)

13. AB= 4 -1
-6 0
Una vez obtenido este resultado procedemos a
resolver toda la expresión inicial. AB-C
AB-C = 4+0 -1+2 = 4 1
-6-3 0+5 -9 5

14. EXPRESA Y RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE FORMA
MATRICIAL:









42
1
022
yx
zyx
zyx
3.-Expresa y resuelve el siguiente sistema de forma matricial:

15. Solución:
Utilizando determinantes:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Si llamamos:
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA 







































































4
1
0
012
111
221
4
1
0
;;
012
111
221

16. Para resolverlo, despejamos X multiplicando por la izquierda por A -1:
CAXCAAXACAX 111 

:hallamosy01quesComprobamo 1
 AA
     


























153
142
021
110
542
321
t
AAdjAAdj

17. Obtenemos X:






























 
 
1
0
2
4
1
0
153
142
021
1
CAX
Por tanto, la solución del sistema es:
x =  2, y = 0, z = 1

18. 1
A







41
53
A
4._Encontrar
SOLUCION:
Primero encuentro el determinante de A:
          75121543 A

19. 






41
53
A
411 A
112 A
521 A
322 A
Segundo calculo la adj A
Cofactores de A

20. T
B adjA









35
14
B adjABT









31
54
Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
que es la
.

21. 








2212
21111 1
AA
AA
A
A





















7
3
7
1
7
5
7
4
31
54
7
11
A
Cuarto aplicas el teorema

22. AAIAA 1
2
1 
 
























10
01
7
3
7
1
7
5
7
4
41
53
    1
7
7
7
5
7
12
7
1
5
7
4
311 











a
    0
7
0
7
15
7
15
7
3
5
7
5
312 











a
    0
7
0
7
4
7
4
7
1
4
7
4
121 











a
    1
7
7
7
12
7
5
7
3
4
7
5
122 













a
Comprobamos la respuesta:

23. 5._

26. 6._

29. 7._