Este documento explica conceptos básicos de geometría analítica como el plano cartesiano, coordenadas de puntos, y fórmulas para calcular la distancia entre puntos y encontrar el punto medio. También incluye ejemplos de ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas.

1. Estudiantes:
Maricarmen González C.I 21.396.673 PNFDL 0302
Angelis González C.I 27.210.718 PNFDL 0302
Rafael Goyo C.I 14.648.594 PNFDL 0302
Prof. María E. Ramírez
Matemáticas Trayecto Inicial

2. PLANO NUMÉRICO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y
otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de
las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan
recibe el nombre de origen .
El plano cartesiano tiene como finalidad
describir la posición de puntos, los cuales
se representan por sus coordenadas o pares
ordenados. Las coordenadas se forman
asociando un valor del eje de las equis (x) a
uno de las yes (y), respectivamente, esto
indica que un punto (P) se puede ubicar en
el plano cartesiano tomando como base sus
coordenadas, lo cual se representa como: P
(x, y)

3. Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a
cabo el siguiente procedimiento:
 Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes
hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del
punto de origen, en este caso el cero.
 Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en
el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas
y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La fórmula para hallar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano es:
A continuación, veremos cómo deducir esta fórmula y las variantes en la fórmula.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA HALLAR LA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Para deducir la expresión matemática que nos permita hallar la distancia entre dos puntos, nos
apoyaremos en el plano cartesiano y aplicaremos el teorema de Pitágoras. Para esto,
sean A y B dos puntos en el plano cartesiano cuyas coordenadas son ( 𝒙𝟏 ,
𝒚𝟏) y (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) respectivamente.

5. La siguiente imagen muestra una posible ubicación de estos puntos en el plano.
Si unimos estos puntos con una línea recta desde el punto
A hasta el punto B, la longitud de esta recta representará
la distancia entre estos puntos. La distancia entre el punto
A y el punto B, se escribe como: d(A,B). Para hallar la
longitud de esta recta, primero trazamos una línea recta
paralela al eje X, cuya longitud es: 𝒙𝟐− 𝒙𝟏 (diferencia de
abscisas) y luego trazamos una línea recta paralela al
eje Y cuya longitud es: 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 (diferencia de ordenadas),
esto con el objetivo de formar un triángulo rectángulo y
poder aplicar el teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es
igual a la suma de los cuadrados de la longitud de sus
catetos. Aplicando este teorema al triángulo rectángulo
de la imagen, obtenemos:

6. Continuación…
Para obtener d (A,B), simplemente debemos aplicar raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:
Por lo tanto, la fórmula para hallar la distancia entre dos puntos es:

7. EJERCICIOS RESUELTOS

8. PUNTO MEDIO
El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea que une a dos puntos.
Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la
mitad de ese segmento y será equidistante a ambos puntos.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los
cuales están unidos por un segmento. El punto C es el
punto medio, ya que está exactamente en la mitad del
segmento. Para calcular la ubicación del punto medio,
simplemente tenemos que medir la longitud del
segmento y dividir por 2.

9. Como determinar el Punto Medio
El punto medio de los puntos (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) está dado por la siguiente fórmula:
𝒙𝟏+ 𝒙𝟐
𝟐
,
𝒚𝟏+ 𝒚𝟐
𝟐
Derivación de la Fórmula del Punto Medio
Principalmente, se comienza por graficar los puntos (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

10. El punto medio es el punto que está a la mitad entre
cada uno de los puntos:
Una expresión para la coordenada en x del punto
medio es
𝒙𝟏+ 𝒙𝟐
𝟐

11. Asimismo, una expresión para la coordenada en y
del punto medio es
𝒚𝟏+ 𝒚𝟐
𝟐
Obteniendo de esta manera la formula del
Punto Medio
PM: (𝑿𝒎, 𝒀𝒎)
𝑋𝑚 =
𝑿𝟏+ 𝑿𝟐
𝟐
𝑌𝑚 =
𝒀𝟏+ 𝒀𝟐
𝟐

12. Ecuación Canónica de una Circunferencia. Para 𝑟2
> 0
(𝒙 − 𝒉)𝟐
+ (𝒚 − 𝒌)𝟐
= 𝒓𝟐
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación:
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒓𝟐
Es decir, una circunferencia con centro O (0,0), el origen:

13. EJERCICIOS RESUELTOS

14. Parábola
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos P(x, y) tal que su distancia al
punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir:
𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂 = 𝑷 𝒙, 𝒚 / 𝒅 𝑷, 𝑭 = 𝒅(𝒑, 𝒍)
Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le denomina directriz de la parábola.
Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta l tiene ecuación y = -p con p > 0.
Observe la grafica:
Ecuación Canónica de la Parábola

15. Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0) . A la recta perpendicular a
la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la parábola anterior el
eje focal es el eje y.
Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba.
Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos puntos de
la parábola, se denomina lado recto y tiene una medida de 4 p.

16. Suponga ahora que el vértice no es el origen,
que tenemos V (h, k), entonces su ecuación
sería:
Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo.
Para otros casos, tenemos:

17. Si la parábola tiene ecuación ( y - k)² = 4p (x - h) Su
eje focal será horizontal y además será cóncava
hacia la derecha:
Si la parábola tiene ecuación ( y - k)² = -4p (x - h) Su eje
focal será horizontal , pero ahora será cóncava hacia la
izquierda:

18. EJERCICIOS RESUELTOS

19. Sean 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define como el conjunto
de puntos P (x, y) tales que la suma de su distancia a 𝑭𝟏 con su distancia a 𝑭𝟐 es igual a 2a. Es decir:
Elipse = 𝑷 𝒙, 𝒚 / 𝒅 𝑷, 𝑭𝟏 + 𝒅 𝑷, 𝑭𝟐 = 𝟐𝒂
A 𝐹1 y 𝐹2 se les denomina focos de la elipse y “a” representa la medida del semieje mayor de la elipse.
Sean 𝑭𝟏(-c,0) y 𝑭𝟐 (c,0), observe el gráfico:
De la definición tenemos:
Elipse

20. Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo
términos semejantes.
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo
términos semejantes:
Dividiendo para:
Finalmente, llamado 𝒃𝟐
= 𝒂𝟐
- 𝒄𝟐
tenemos:
Ecuación cónica de la
elipse con centro O (0,0) y
eje focal horizontal.
“b” representa la longitud del semieje menor.
Aquí el lado recto tiene dimensión
𝟐𝒃𝟐
𝒂

21. Continuación…
Para los casos generales tenemos:
Suponga que el vértice es el punto V(h, k), y que
el eje focal sea horizontal entonces su ecuación
sería:
Y su gráfica sería:
Observación: La dirección del eje focal está indicada por el
término que tiene el mayor denominador, es este caso ese sería
el valor de “𝒂𝟐”. Observe también que a > b
Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería:
Y su gráfica sería :

22. Ejercicios Resueltos…

23. Hipérbola
Sean 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Hipérbola se define como el conjunto de
puntos P(x, y) del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su distancia a 𝑭𝟏 con su distancia a 𝑭𝟐 es
igual a 2a. Es decir:
Elipse = 𝑷 𝒙, 𝒚 / ‫𝒅׀‬ 𝑷, 𝑭𝟏 − 𝒅 𝑷, 𝑭𝟐 ‫׀‬ = 𝟐𝒂
A 𝐹1 y 𝐹2 se les denomina focos de la hipérbola
Sean 𝐹1 (-c,0) y 𝐹2 (c,0), observe el gráfico:
De la definición tenemos:
Despejando un radical, elevando al cuadrado y
reduciendo términos semejantes

24. Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo
términos semejantes:
Dividiendo para
Finamente, llamando 𝒃𝟐
= 𝒂𝟐
- 𝒄𝟐
tenemos:
Ecuación canónica de la hipérbola con
centro O (0,0) y eje focal horizontal.
Aquí “b” representa la longitud del segmento (Observe
la gráfica anterior) llamado semieje conjugado.
Para los casos generales tenemos: Suponga que el
vértice es el punto V (h, k), y que el eje focal sea
horizontal entonces su ecuación sería:
Y su gráfica sería:

25. OBSERVACIÓN: La dirección del eje focal esta indicada por el término positivo y además sobre este
término estará “𝒂𝟐
"
Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería:
Y su gráfica sería:

26. Ejercicio Resuelto…

27. EJERCICIO PROPUESTO EN EL FORO

28. • https://www.momentomatematico.net/2023/06/distancia-entre-dos-
puntos-formula-ejemplos-y-ejercicios.html
• Moisés Villena Muñoz. Visita 10-12-23
https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/3/1487.pdf
• https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-analytic-
geometry/hs-geo-distance-and-midpoints/a/midpoint-formula
REFERENCIAS