El documento describe los elementos básicos del plano cartesiano, incluyendo los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando la fórmula de Pitágoras y cómo encontrar el punto medio entre dos puntos en una o dos dimensiones. También define conceptos geométricos como la circunferencia, elipse, e hipérbola y sus ecuaciones.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco.
Barquisimeto, Estado – Lara.
Yunior Parra // C.I.: 26.945.466
PNF Contaduría
Sección: 0403

2. Se conoce como plano numérico, plano cartesiano,
coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical,
que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación
de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de
coordenadas.
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas:
Ejes coordenados: Se llaman ejes coordenados a las dos
rectas perpendiculares que se interconectan en un punto
del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y
ordenada.
 Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de
manera horizontal y se identifica con la letra “x”.
 Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado
verticalmente y se representa con la letra “y”.
Origen o punto 0: Denominamos origen al punto en el que
se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el
valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como
punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala
numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su
dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho
del eje “x” es positivo, mientras que el izquierdo es
negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del
eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente
es negativo.
Cuadrantes del plano cartesiano: son las cuatro áreas que se
forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos
del plano se describen dentro de estos cuadrantes. Se enumeran
tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
 Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
 Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
 Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
 Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.

3. Coordenadas del plano cartesiano: Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el
plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Las
coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman
asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”.
Ejemplo: Supongamos que queremos representar los siguientes puntos en el plano cartesiano (2,4), (2,-3), (6,1),
(-3,5), (-1,-1).
La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado
numéricamente.
Formula:
1- La distancia AB entre dos puntos con coordenadas cartesianas A ( x 1 , y 1 )
y B ( x 2 , y 2 ) esta dada por la fórmula siguiente:
La fórmula de la distancia es simplemente el teorema de Pitágoras disfrazada.
2- Para calcular la distancia AB entre el punto A ( x 1 , y 1 ) y el punto B ( x 2 , y
2 ), primero dibuje un triángulo rectángulo que tenga al segmento como su
hipotenusa.
3- Si las longitudes de los lados son a y b , entonces por el teorema de Pitágoras,
( AB ) 2 = ( AC ) 2 + ( BC ) 2
Resolviendo para la distancia AB , tenemos:
Ya que AC es una distancia horizontal, es solamente la diferencia entre las coordenadas
en x : |( x 2 – x 1 )|. De forma similar, BC es la distancia vertical | ( y 2 – y 1 )|.
Como estamos elevando al cuadrado estas distancias (y los cuadrados son siempre no
negativos), no debemos preocuparnos por los signos de valor absoluto.
Ejemplo:
Encuentra la distancia entre los puntos A y B:
A ( x 1 , y 1 ) = ( - 1, 0), B ( x 2 , y 2 ) = (2, 7)
O aproximadamente
7.6 unidades.

4. Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
En una dimensión
En una recta numérica , el número a la mitad entre x1 y
x2 es:
Formula Ejemplo:
- Encuentre el punto medio entre –1 y 4.
- Use la fórmula. El punto medio es:
(–1 + 4) / 2 → =3/2 → 1.5.
En dos dimensiones
Suponga que se le dan dos puntos en el plano (x1, y1) y
(x2 , y2), y se le pide encontrar el punto a la mitad entre
ellos. Las coordenadas de este punto medio serán:
Una forma fácil para pensar en esto es que la
coordenada en x del punto medio es el promedio de
las coordenadas en x de los dos puntos, y de la misma
forma con la coordenada en y .
Ejemplo:
- Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7).
- Use la fórmula. Las coordenadas del punto medio
son:
Simplifique → (2.5,6)
En tres dimensiones
Es bastante fácil predecirlo basado en la fórmula para dos dimensiones.
En el espacio tridimensional, el punto medio entre (x1, y1,z1) y (x2,y2,z2) es:

5. Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de otro punto fijo denominado centro.
En la figura se muestra una circunferencia.
Observa que cualquier punto P(x,y) de la
circunferencia se encuentra siempre
situado a la misma distancia de un punto
C(a,b) denominado centro. Dicha distancia
se denomina radio r de la circunferencia.
Si consideramos que la distancia entre cualquier punto P(x,y) a su centro C(a,b) se
denomina radio y vale r, entonces:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación obtenemos que:
La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) y con radio r se
puede escribir de la siguientes formas:
→
Ejemplo:
Determina la ecuación de la circunferencia centrada en el punto O (2,3) y cuyo radio es 3.
¿Podrías determinar otro punto de la circunferencia?
Solución:
Sustituyendo las coordenadas del punto centro y el valor del radio en la ecuación de la
circunferencia, obtenemos que:
Para determinar otro punto cualquiera, basta con que des un valor a x o y y calcules el otro valor
sustituyendo en la ecuación. Sin embargo tienes que tener cuidado ya que si el centro de la
circunferencia se encuentra en O (a,b) el valor de x que tomes debe cumplir que a-r>=x>=a+r o el
valor de y, b-r>=y>=b+r ya que si no estarás tomando un valor donde la circunferencia no existe. Por
ejemplo, si cogemos un valor de x este debe cumplir que -1>=x>=5. Dentro de los posibles
tomaremos x=2. Sustituyendo:
Por tanto, no sólo obtendremos
un punto, si no dos: P (2,0) o P
(2,6).
G
R
A
F
I
C
A

6. La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las
distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.
Se trata de una circunferencia achatada
que se caracteriza porque la suma de las
distancias desde cualquiera de sus puntos
P hasta otros dos puntos denominados
focos (F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:
Donde:
• x0 , y0: Coordenadas x e y del centro de la elipse.
• a: Semieje de abscisas.
• b: Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe
cumplirse que b ≤ a.
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es
horizontal viene dada por:
→
Donde d (P,F) y d (P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical
viene dada por:
Donde:
• x0 , y0: Coordenadas x e y del centro de la elipse.
• a: Semieje de abscisas.
• b: Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe
cumplirse que b > a.
G
R
A
F
I
C
A
Ejemplo:
Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal
mide 10 y su distancia focal mide 6.
Solución:
Dado que sabemos que el eje mayor (2·a) es 10:
Partiendo de estos datos, podemos calcular la longitud
del semieje menor (b) por medio de la siguiente
ecuación:
Dado que no puede existir una longitud negativa nos
quedaremos con que b = 4. Utilizando ahora la
fórmula de la ecuación de una elipse de eje mayor
horizontal situada en el punto P(0,0) o lo que es lo
mismo x0 = 0 e y0 = 0.
Y que la distancia focal (2·c) mide 6:
→
→
→
→
→

7. Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del
plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos
denominados focos, F y F', es siempre constante.
Las líneas azules constituyen lo que se
conoce como una hipérbola. Observa sus
focos F y F'. Estos puntos son muy
importantes ya que la diferencia de la
distancia entre cada punto P(x,y) y estos
puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que:
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F'
respectivamente. Y donde 2a es una constante.
De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal
se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones.
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal
viene dada por:
Donde:
• x0 , y0: Coordenadas x e y del centro de la hipérbola.
• a: Semieje real.
• b: Semieje imaginario.
→
La ecuación de una hipérbola de eje focal vertical
viene dada por:
→
Donde:
• x0 , y0: Coordenadas x e y del centro de la hipérbola.
• a: Semieje real.
• b: Semieje imaginario.
La ecuación de una hipérbola de
eje focal horizontal centrada en el
origen viene dada por:
Donde:
• a: Semieje real.
• b: Semieje imaginario.
La ecuación de una hipérbola de
eje focal vertical centrada en el
origen viene dada por
Donde:
• a: Semieje real.
• b: Semieje imaginario.
Ejemplo:
Determinar la ecuación de la hipérbola centrada en el punto P(2,1) cuya distancia
focal es 10 y la distancia entre sus vértices A es 8.
Solución:
Sabiendo que la ecuación de una hipérbola centrada
en el cualquier punto P(x,y) debe tener la forma:
→
→
→
→
Vamos a calcular el valor a y b.
Dado que la distancia focal (2c) es 10, tenemos que:
Y dado que la distancia entre los vértices (2a) es 8,
obtenemos que:
Para calcular el valor de b, debemos aplicar el
teorema de Pitágoras:
Dado que b es una distancia, no puede tener un valor
negativo. De ahí que nos quedemos con el valor b=3.
Por tanto la ecuación queda como sigue:
→
→
→
→
→

8. Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano en los que
la distancia a un recta llamada directriz es igual a la distancia a un punto
fijo (que no pertenece a la directriz) llamado foco.
A la izquierda, en rojo, puedes ver la
forma de una parábola en el plano.
Cualquier punto de la misma, como el
punto A, dista igual distancia del foco que
de la recta directriz. Tu día a día está lleno
de situaciones en las que aparecen
parábolas. Por ejemplo, a la derecha
puedes ver la trayectoria de una pelota
cuando la lanzas oblicuamente. Como ves,
es una parábola con las ramas hacia abajo.
Aunque no son las únicas, en este apartado nos centraremos en las parábolas verticales, como las
de la figura.
La ecuación de una parábola vertical corresponde a un polinomio de segundo grado:
Donde a, b y c son constantes.
G
R
A
F
I
C
A
Ejemplo:
Dada la siguiente ecuación de una parábola: y = a⋅x2 + 5
Calcula el valor de a, sabiendo que dicha parábola pasa por el punto (2,1).
Solución:
Dado que la parábola pasa por el punto (2,1), si sustituimos los valores x e y de
dicho punto en la ecuación de la parábola:

9.  Circunferencia: es la intersección del cono con un plano paralelo a la
base.
 Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la
corta en ningún momento.
 Parábola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su
generatriz y que corta a la base.
 Hipérbola: es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo
es menor al de la generatriz del cono.