El documento describe las ecuaciones de varias curvas planas como el plano cartesiano, circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Explica cómo localizar puntos en el plano cartesiano y define conceptos como punto medio y distancia a una recta. Luego procede a derivar las ecuaciones analíticas de cada curva a partir de sus definiciones geométricas en términos de distancias a puntos fijos u otros elementos.

1. Integrantes:
Neilymar Mendoza c.i: 25.653.105
Seccion: 0303
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Edo-Lara.

2. PLANO NUMERICO
El plano cartesiano esta formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra
vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las
abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el
punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales
se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis y uno de las
yes, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano
cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)

3.  Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son
positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas
o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplo:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.

4. PUNTO MEDIO
Punto medio en matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
DISTANCIA:
La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese
punto y un punto de una línea o recta.
Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un
punto A' de D.
Para una recta D definida por su ecuación reducida.

5. ECUACIONES DE CIRCUFERENCIAS
En la figura se muestra una circunferencia. Observa que cualquier punto P(x,y)
de la circunferencia se encuentra siempre situado a la misma distancia de un
punto C(a,b) denominado centro. Dicha distancia se denomina radio r de la
circunferencia.
Si consideramos que la distancia entre cualquier punto P(x,y) a su centro C(a,b)
se denomina radio y vale r, entonces:
dP,C=r=x-a2+y-b2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación obtenemos que:
x-a2+y-b22=r2 ⇒x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r2 ⇒x2+y2+mx+ny+p=0
La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) y con radio r se
puede escribir de la siguientes formas:
(1) x-a2+y-b2=r(2) x2+y2+mx+ny+p=0
donde:
m=-2a
n=-2b
p=a2+b2-r2

6. Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los
focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (C,0) y F' (– c,0)
Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el
caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del
radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:

7.  Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los
cuadrados (ver operación) queda finalmente:
 Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 +
q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es
igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser
iguales.

8. Hipérbola
 Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre
dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .
Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F =
(c,0) y F' = (–c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este
caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que
hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x.
Entonces tendremos que: PF – PF' = 2ª
Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos
llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos los dejo por
tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo
tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2
obtenemos

9. Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = – a2
C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2
tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o
una elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales

10. PARABOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz
Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto
(0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio
(0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, –
c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ
Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería:
(x– p)2 = 4c(y – q)
desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0
Si hacemos D = – 2p
E = – 4c
F = p2 + 4cq
obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta el
término de y2.