El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo cómo se usa para describir la posición de puntos y analizar figuras geométricas. También define conceptos como distancia entre puntos, punto medio, ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Finalmente incluye un ejercicio de resolución y referencias bibliográficas.

1. Alumno:
Danner Escalona
C.I: 28.268.357
Sección: DL 0303

2. DEFINICIÓN
Se conoce como plano cartesiano,
coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y
otra vertical, que se cortan en un
punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es
describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de
coordenadas. El plano cartesiano
también sirve para analizar
matemáticamente figuras geométricas
como la parábola, la hipérbole, la línea,
la circunferencia y la elipse, las cuales
forman parte de la geometría analítica.

3. EJEMPLO

4. DISTANCIA
La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del
segmento que los une. Por lo tanto, en matemáticas,
para determinar la distancia entre dos puntos
diferentes se deben calcular los cuadrados de las
diferencias entre sus coordenadas y luego hallar la
raíz de la suma de dichos cuadrados.
Es decir, la fórmula que sirve para calcular que
distancia hay entre dos puntos diferentes en el plano
cartesiano es la siguiente: Dadas las coordenadas de
dos puntos distintos:
Esta fórmula proviene del módulo de un vector. De
hecho, lo que estamos haciendo con esta fórmula en
realidad es calcular el módulo del vector que queda
determinado por los dos puntos en cuestión. Puedes
saber más al respecto en la explicación de cuál es el
módulo de un vector.

5. PUNTO MEDIO
El medio punto, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de otros dos puntos cualquiera
o extremos de un segmento. Si es un segmento,
el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales.
Sean A (X1, Y1, Z1) y B (X2, Y2, Z2).
Los extremos de un segmento, el punto medio del
segmento viene dado por:
M: (X1 | X2 , Y1 | Y2 , Z1 | X2)
2 2 2

6. ECUACIONES DE LA
CIRCUNFERENCIA
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de otro punto fijo denominado centro.
En la figura se muestra una circunferencia. Observa que
cualquier punto P (X,Y) de la circunferencia se encuentra
siempre situado a la misma distancia de un punto C (A,B)
denominado centro, dicha distancia se denomina radio R de
la circunferencia.

7. Si consideramos que la distancia entre cualquier punto
P (X,Y) a su centro C (A,B) se denomina Radio y vale R
Entonces:
D (P,C) = R = √ (X – A)2
+ (Y – B)2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Obtenemos que:
( √ (X – A)2
– ( Y – B)2
)2
= (R)
X2
– 2AX + A2
+ Y2
– 2BY + B2
= R
X2
+ Y2
+ MX + NY + P = O
La ecuación de una circunferencia centrada en el punto
C (A,B) y con Radio R se puede escribir de las siguientes
Formas:
Donde:
 M = -2A
 N = -2B
 P = A2
+ B2
– R2

8. PARÁBOLA
Dados un punto F (Foco) y una recta R (Directriz), se denomina
parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del
foco y de la directriz.
P = {P (X , Y) | D (P,R) = D ( P,F) }
Observen que estamos definiendo la parábola como un
conjunto de puntos que verifican cierta propiedad
geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática
(Que es como ustedes lo conocían hasta ahora).
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa
por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama
vértice.

9. Para el esquema que realizamos, las coordenadas del
Vertice son V (O,O), las del Foco F (C,O) y la Recta
Directriz esta dada por R : X = -C. Las coordenadas de
un Punto Genérico Q que pertenece a la Directriz son
(-C,Y):
Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación,
por definición: D (P.R) = D (P,F)
 Distancia entre un Punto P y la Directriz:
 Distancia entre un Punto P y el Foco:
 Las igualamos según lo establece la difinición:
 Donde los vectores Y sus modulos son:
PQ = ( -C –X, O) PF = (C –X, -Y)

10. ELIPSE
La elipse se define como una línea curva cerrada tal que
la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F´,
llamados Focos, es constante.
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la
suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros
dos puntos denominados Focos (F y F´) es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de la Elipse siempre se cumple
que:
D (P , F) + D (P,F´) = 2 • A.

11. Ecuación de la Elipse:
 Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un
punto cualquiera P (XO , YO).
 La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es
horizontal viene dada por:
(X – XO)2
+ (Y – YO)2
= 1
A2
B2
Dónde:
 XO,YO = Coordenadas X E y del centro de la elipse.
 A = Semieje de abcisas.
 B = Semieje de ordenadas, en nuestro caso debe
cumplirse que B ≤ A.

12. HIPÉRBOLA
Dados dos puntos F1 y F2 llamados Focos, se
denomina Hipérbola al conjunto de puntos del
plano tales que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a los focos es constante.
H = {P (X , Y) | |D (P: F1) – D (P: F2) | =
Si la distancia entre los focos es D (F1, F2) = 2C,
La condición para que sea una hipérbola es:
 C > A > O
 C2
> A2
 C2
– A2
= B
 ≠ C2
= A2
+ B2

13. Ecuación Canónica de la Hipérbola
Con una deducción similar a la de la elipse; se obtiene:
 X2
- Y2
= 1
 A2
– B2
Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro
en (O , O) y eje focal Y= O (Eje X).
Busquemos las intersecciones con los ejes:
 Y= O ≠ |X| = A ≠ X = ± A ≠ V1,2 = X = O ≠ Y2
= -B2
Entonces no corta al eje
 Los puntos V1,2 se denomina vértices de la
Hipérbola.

14. EJERCICIOPARA
RESOLVER
Y = 3X - 2

15. BIBLIOGRAFÍA
 WWW.SUPERPROF.ES
 WWW.ECURED.CU
 WWW.MATEMATICATUYS.COM
 WWW.GEOMETRIAANALITICA.INFO