El documento describe diferentes conceptos geométricos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, punto medio de un segmento, ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Resuelve ejemplos como calcular la distancia entre dos puntos, encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento, y determinar ecuaciones de figuras geométricas dadas sus características.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Edo - Lara
Integrantes:
Edicth Mencias C.I 13.084.257
Miryelis Araque C.I 16.386.722
Yaneth Portillo C.I 13.085.073
Sección: DL0212
Matemáticas
Profesora: María Ramírez

2. El plano cartesiano es un sistema de referencias
que se encuentra conformado por dos rectas
A la recta real X se le llama Eje “X “ y es horizontal, a la recta Real Y se le
llama Eje “Y” y es vertical. El origen es denotado por “0”. Esto nos permite
establecer una correspondencia Biunívoca entre los puntos “P” del plano y
los pares Ordenados de números reales (x,y)
Plano Numérico o Plano Cartesiano, se ha adoptado el nombre de “Cartesianas” en honor al celebre matemático y
filosofo Rene Descartes (1.596- 1.650) a quien se le otorga la paternidad de la Geometría Analítica. El plano, provisto
con ese sistema de coordenadas.
La principal función o finalidad de este plano será el de describir la posición de puntos,
los cuales se encontraran representados por sus coordenadas o pares ordenados .
En tanto, para localizar los puntos en el plano cartesiano se deberá tener en cuenta lo
siguiente… para localizar las abscisas o valor de las “X”, se encontraran las
unidades correspondientes en dirección derecha, si son positivas y en dirección
izquierda , si son negativas, partiendo del punto de origen que es el “0”

3. La distancia entre dos puntos no es más que la longitud del segmento de la recta que los conecta, el
segmento de recta es el pedacito de recta de un punto a otro, puede ser de manera horizontal, vertical o
oblicua (significa inclinada)
La distancia entre 2 puntos en el plano A(X1,Y1) y B(X2, Y2)
se calcula mediante la siguiente formula:
𝒅𝒅 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏
𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏
𝟐𝟐
¿Cuál es la distancia entre
los puntos A (3,-1) y B (6, 3)
Datos: X1 Y1 X2 Y2
𝒅𝒅 = 𝟔𝟔 − 𝟑𝟑 𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 − (−𝟏𝟏) 𝟐𝟐
𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒅𝒅 = 𝟓𝟓

4. El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia
de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es
un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales.
Dados 2 puntos en el plano A(X1,Y1) y B(X2, Y2),
que son los extremos de una recta, para encontrar las
coordenadas del punto medio de la recta utilizamos la
siguiente formula
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2
2
⋅
𝑦𝑦1+𝑌𝑌2
2
Ejemplo
Determinar las coordenadas del punto medio
del segmento , cuyos extremos son los puntos:
P1 (5 ,7) y P2 (1, -3)
X1 Y1 X2 Y2
𝑃𝑃medio =
5 + 1
2
⋅
7 − 3
2
𝑃𝑃medio = 3.2

5. Llamamos superficie Cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un
eje, manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida
al cortar esa superficie cónica con un plano, las diferentes posiciones de dicho plano determinan distintas curvas:
Circunferencias , elipse , hipérbola, y parábola.
 Centro: El punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencias.
 Radio: El segmento que une el centro con un punto cualesquiera de la circunferencia.
 Diámetro: El mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia.
 Cuerda: El segmento que une dos puntos de la circunferencia.
 Recta Secante: La que corta a la circunferencia en dos puntos.
 Recta Tangente: La que toca a la circunferencia en un solo punto.
 Punto de Tangencia: El de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
 Arco: El segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

6. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un
plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro. La
circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos
a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Una circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio.
Ecuación de la circunferencia:
1. Forma Ordinaria:
Sea el Centro de la circunferencia
C ( h, k) y radio r.
Si P (X,Y) es un punto ⇒ 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑟𝑟
Por distancia:
𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟
𝒙𝒙 − 𝒉𝒉 𝟐𝟐
+ 𝒚𝒚 − 𝒌𝒌 𝟐𝟐
= 𝒓𝒓𝟐𝟐
2. Forma Canonica:
Si el Centro es el origen su ecuación es:
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐
Se identifica cuando es circunferencia
canónica porque todos sus términos están
elevados al cuadrado incluso el radio

7. Se denomina parábola al lugar geométrico de un punto que se mueve en un
plano de tal manera que equidista de una recta fija, llamada directriz y de un
punto fijo en el plano, que no pertenece a la parábola ni a la directriz, llamado
foco. se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario.
𝑦𝑦 − ℎ 2
= 4𝑎𝑎 𝑥𝑥 − ℎ
Ecuación Foco
Directriz Lado Recto
ℎ + 𝑎𝑎, 𝑘𝑘
X=h - a 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4𝑎𝑎
Ecuación Foco
Directriz Lado Recto
ℎ + 𝑎𝑎, 𝑘𝑘
X=h - a 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4𝑎𝑎
𝑦𝑦 − ℎ 2
= 4𝑎𝑎 𝑥𝑥 − ℎ

8. 𝑥𝑥 − ℎ 2
= 4𝑎𝑎 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘
Ecuación Foco
Directriz Lado Recto
ℎ, 𝑘𝑘 + 𝑎𝑎
y=h - a 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4𝑎𝑎
Ecuación Foco
Directriz Lado Recto
ℎ, 𝑘𝑘 + 𝑎𝑎
y=k - a 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4𝑎𝑎
𝑥𝑥 − ℎ 2
= 4𝑎𝑎 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘
Si “a” es negativa

9. Es una curva cerrada y plana con dos ejes de simetría, que se define como el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r + r’, a dos puntos fijos
F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo esta última la longitud
de la distancia entre los punto AB de la elipse.
Asimismo, puede ser definida como una sección cónica formada por la intersección
de la superficie del cono con un plano oblicuo al eje de simetría, (no corta su base)
La Ecuación de la Elipse es la
siguiente:
𝒚𝒚−𝒌𝒌 𝟐𝟐
𝒂𝒂𝟐𝟐 +
𝒙𝒙−𝒉𝒉 𝟐𝟐
𝒃𝒃𝟐𝟐 = 𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐
𝟏𝟏
+
𝒚𝒚𝟐𝟐
𝟗𝟗
= 𝟏𝟏
Eje Principal: eje y Centro (h , k) : (0,0)
Vértices: (0,3), (0,-3)
Extremo del eje Menor: (-1,0), (1,0)
Focos: 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 2 − 𝑏𝑏 2
𝑐𝑐 = 9 − 1
Nos daremos cuenta
cuando es una Elipse, si
esta igualado a uno y si la
formula tiene positivo

10. Es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un
cono recto mediante un plano no necesariamente
paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de
la generatriz respecto del eje de revolución.
Ecuación Centrada en (0,0)
𝑥𝑥2
𝑎𝑎2
−
𝑦𝑦2
𝑏𝑏2
= 1
Forma General: A 𝑥𝑥2 + C 𝑦𝑦2 + Dx + Ey + F= 0
Ecuación de una Hipérbole Trasladada:
𝑥𝑥 − 𝑝𝑝 2
𝑎𝑎2
−
𝑦𝑦 − 𝑞𝑞 2
𝑏𝑏2
= 1
Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la
hipérbole, aunque se acercan lo mas posible a
ella, ambas deben pasar por el “centro” (p,q)
𝑦𝑦 =
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 −
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑝𝑝
𝑦𝑦 = −
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 +
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑝𝑝

11. Una Hipérbole equilátera es una hipérbola centrada en el origen
y con los focos en el eje 0x donde la longitud del semejante real
coincide con la semejante imaginario, es decir, a = b
Nos daremos cuenta cuando es
una Hipérbole, si esta igualado
a uno y si la formula tiene
negativo.
Forma Ordinaria
𝑦𝑦2
𝑎𝑎2 −
𝑥𝑥2
𝑏𝑏2 = 1
Forma General: A 𝑥𝑥2 + C 𝑦𝑦2 + Dx + Ey + F= 0
Con A Y C de diferente
signo

12. Hallar la Distancia entre los puntos
𝑃𝑃1 = 5, −3 𝑦𝑦 𝑃𝑃2 = −2,4
d = p1, p2 =
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
2 + 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
2
−2 − 5 2 + 4 − (−3 2
−7 2 + 4 + 3 2
−7 2 + 7 2
49 + (49)
98 = 7.2
d = 𝐩𝐩𝐩𝐩, 𝐩𝐩𝐩𝐩 = 𝟕𝟕 𝟐𝟐

13. Determinar el Punto Medio del segmento de recta que tiene por extremos los puntos
𝑃𝑃1 = 7, −4 𝑦𝑦 𝑃𝑃2 = −3, −6
Es decir; M = 𝐩𝐩𝐩𝐩, 𝐩𝐩𝐩𝐩 = (𝟐𝟐, −𝟓𝟓)
𝑥𝑥 =
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
2
, 𝑦𝑦 =
𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2
2
𝑥𝑥 =
7+(−3)
2
=
4
2
= 2 Y =
−4 +(6)
2
=
10
2
= -5

14. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el
punto (6,3) y cuyo centro se encuentra en C (0,0)
Ecuación Canónica
𝑥𝑥2
+ 𝑦𝑦2
= 𝑟𝑟2
𝑥𝑥2
+ 𝑦𝑦2
= 45
Calculando el Radio:
𝑟𝑟 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
2 + 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
2
𝑟𝑟 2 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
2 + 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
2
𝑟𝑟 2
= 3 − 0 2 + 6 − 0 2
𝑟𝑟 2
= 3 2
+ 6 2
= 9 + 36
𝒓𝒓 𝟐𝟐
= 45

15. Encontrar el de la parábola dada por la ecuación 𝑦𝑦 = −
1
2
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 +
1
2
Si
multiplicamos por 2 ambos miembros y completamos cuadrados, llegamos a
la ecuación: 𝑥𝑥 + 1 2
= −2 𝑦𝑦 − 1
Comparándola con la ecuación (9), concluimos que: ℎ = −1, 𝑘𝑘 ⋅= 1𝑦𝑦𝑦𝑦 = −
1
2
Como p < 0, las ramas de la parábola se abre hacia abajo, su foco tiene
coordenadas ℎ, 𝑘𝑘 + 𝑃𝑃 = −1,
1
3
y la directriz viene dada por la ecuación
y= 3/2. Su grafica tiene el aspecto que muestra la figura.

16. Hallar los focos y los vértices de la Elipse de ecuación 4𝑥𝑥2 + 9𝑦𝑦2 = 36
Obtener su representación grafica. Dividimos ambos miembros de la
ecuación por 36 , llegando a:
𝑥𝑥2
32 +
𝑦𝑦2
22 = 1, podemos afirmar que se trata
de una Elipse con focos sobre el eje “x” vértices en ±3,0 . Para
determinar los focos utilizamos que 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 ; de donde
𝑐𝑐2
= 𝑎𝑎2
− 𝑏𝑏2
= 9 − 4 = 5
Por lo tanto los focos se encuentran sobre el eje x y tienen coordenadas
± 5,0

17. Sabiendo que el centro de una Hipérbola es el origen de coordenadas,
uno de los focos esta en (-4,0) y la distancia entre los vértices es de 6,
determinar su ecuación . Graficar la curva y sus asíntotas.
Como los focos están sobre el eje x, la hipérbola tiene eje focal
horizontal, c = 4 y a = 3. como 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2, resulta que
𝑏𝑏 = 16 − 9 = 7
Por lo tanto la ecuación de la hipérbola es
𝑥𝑥2
32 −
𝑦𝑦2
7
= 1 y las asíntotas son
las rectas de ecuaciones 𝑦𝑦 = ±
7
3
𝑥𝑥 y su grafica se ve de la siguiente
forma

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Jorge Sáenz Calculo Diferencial.
Matemática I, Modulo I, UNA