1. YURENA RODRUGUEZ
CI:19.344.612
ESTRUCTURA DISCRETA
SAIA

2. CONJUNTO:
Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales
llamaremos elementos.
Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al
conjunto que contiene todos los elementos a considerar.
 Ejemplo:
Consideremos el conjunto formado por todos los números
naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el
conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de
referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado
por todos los números naturales.

3. Determinación de conjuntos:
Por extensión: Por compresión:
 Se encuentran entre llaves,  Se expresa el conjunto como
los elementos del conjunto, el el dominio de verdad de una
orden en que se enumeran no función proposicional que
importa. tiene como dominio un
 Ejemplo: conjunto universal.
A= {a,e,i,o,u}  Así (U, P(x)) Es una función
proposicional entonces:
B= {1,2,3,8}
A= {X€U/P(x)}

4. Subconjuntos:
 Sean A y B conjuntos diremos que A es subconjunto de B y
escribiremos A  B, si todo elemento de A es también un
elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como:
A  B ↔ (  x)(x€A x€B)
Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:
1. Reflexiva: A  A, para todo conjunto A.
2. Antisimétrica: A  B y B  A entonces A = B.
3. Transitiva: A  B y B  C entonces A  C.

5. Conjunto de potencia
Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia
de A o conjunto partes de A como
ᶗ(A) = { X / X  A}, es decir, es el conjunto
formado por todos los subconjuntos de A.
Características del Conjunto Potencia
 La principal característica de este conjunto es que es un
conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son
conjuntos.
 Dado un conjunto A podemos conocer el número de
elementos de ᶗ (A), ya que si A tiene n elementos,
entonces ᶗ(A) tiene 2n elementos.

6. Conjunto de potencia:
 Representación Tabular del Conjunto Producto
Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de
tablas como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación
tabular de AXB
Solución
AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}
Igualdad de conjuntos:
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que
son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9}
son iguales.

7. Igualdad de conjuntos:
Si dos conjuntos tienen los Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y
mismos elementos diremos B = {0,1,-14,5,8,7,10}
que son iguales, por entonces,
ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
= {10,5,3,2,9} son iguales.
El siguiente teorema nos
permite determinar
cuando dos conjuntos son
iguales.
Teorema: Sean A Y B dos
conjuntos. Luego,
A=B↔AByBA

8. Unión e intersección de conjuntos:
Sean A y B dos conjuntos:  Ejemplo:
 la unión de A y B es el Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e},
conjunto. entonces:
A U B={x€U/x€A y x€B} A U B= {a,b,c,d,e} y
 La intersección A y B es el A B={b,c}
conjunto: Otro ejemplo seria:
AB= {x€U/x€A y x€B} Dos conjuntos A y B son
Tiene 3 teoremas disjuntos si y solo si AB=0
Idempotentes Los conjunto A={1,2,3} y
Conmutativa B={4,5,8} son disjuntos.
Asociativa

9. Diferencia y complemento
 Sean A,B,C tres conjuntos,  Sea B un conjunto. Se
luego se cumple que: define el Complemento
 (AUB) - C = (A - C) U (B - C) de B como el conjunto.
 (A I B) - C = (A - C) I (B - C)
 C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es
 (AD B) - C = (A - C) D (B - C)
decir, el complemento de
 A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
B son los elementos que
 (B - C) I A = (B I A) - (C I A)
le faltan a B para llegar a
ser igual a U.
 Así podemos decir xÎ
C(B) Û xÏ B.

10. Diferencia y complemento
 Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7}
entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}
 Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:
 A - B = AI C(B)
 C(C(A)) = A
 AUC(A) = U
 AI C(A) = f
 C(U) = f
 C(f ) = U
 AÌ B Û C(B) Ì C(A)

11.  Ejemplo: Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.
Solución
C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) =
C(AUB), así podemos decir que:
C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}
Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A =
{0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}

12. Algebra de conjuntos.
 Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra
de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las
leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.
 Leyes de intepotentes
 Leyes asociativas
 Leyes conmutativas
 Leyes distributivas
 Leyes de identidad
 Leyes de dominación
 Leyes de completacion
 Leyes de Morgan

13. PRODUCTO CARTECIANO
Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto
producto o producto cartesiano de A y B como el
conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}
 Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que Ax B ¹ Bx A

14. Opertaciones generalizado
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos
{A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.
 Ejemplo
Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar
por extensión cada miembro de la familia.
 Solución
La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin
embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por
ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número
natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo
conjunto de índice es el conjunto de los números naturales .
Algunos de los miembros de la familia son:

15. Operaciones generalizadas
Ahora definamos la unión e intersección de una familia
indizada de conjuntos:
 Definición
Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:
La unión de esta familia como el conjunto
La intersección de esta familia como el conjunto

16. Participación
Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos
de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo
si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir,
una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada
conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre
dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos
los miembros da X.
 Ejemplo
Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} ,
entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

17. Cardinalidad
 Diremos que un conjunto A Definición: Sea A un conjunto
es finito si A tiene n finito. Se dice que:
elemento, para algún número i. El cardinal de A es 0 si A
natural n, es decir, un =f.
conjunto es finito si se El cardinal de A es n y lo
pueden contar sus elementos. denotaremos por #A = n si A
En caso contrario se dice que tiene n elementos.
es infinito.
 Ejemplo: El conjunto
Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7}
{a,b,c,d,e} es finito porque entonces #A = 6
contiene 5 elementos, el Teorema: Sean A yB dos
conjunto de los números conjuntos finitos, luego:
reales, de los números i. B - A) = #B - #(AI B)
naturales son ejemplos de ii. #(AUB) = #A + #B - #(AI
conjuntos infinitos. B)

18. Cardinalidad
 La cardinalidad se basa de algunos teorema Estos
teoremas son usados para resolver problemas de la vida
cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos
trabajando son conjuntos finitos. A continuación
presentamos el siguiente problema que resolveremos
con la teoría de cardinalidad de conjuntos.

19. Fin