Los Conjuntos

1. CONJUNTOS
RODRIGO DIAZ 21.459.335

2. TIPOS
 Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos
elementos
 Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene
todos los elementos a considerar
DEFINICION
Por Extensión es cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno
Por Comprensión Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es
decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada

3.  Diremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B o que A
es subconjunto propio de B si y sólo si
A  B y A  B.
SUB-CONJUNTOS
TIPOS
Reflexiva: A  A, para todo conjunto A.
Antisimétrica: A  B  B  A  A = B.
Transitiva: A  B  B  C  A  C.

4. CONJUNTO POTENCIA
 Si A es un conjunto, se define el conjunto potencia de A o conjunto partes de A. Es
decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
CARACTERÍSTICAS
La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es
decir, sus elementos son conjuntos.
Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de (A), ya que si A
tiene n elementos, entonces (A) tiene 2n elementos

5.  Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo
Si A = {2,3,4} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB
Solución
AxB = {(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)}
REPRESENTACIÓN TABULAR

6. IGUALDAD DE CONJUNTOS
 Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A =
{2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales
El teorema nos muestra que
A = B  A  b  b  a.
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto
A U B = { x  U / x  A  x  B}
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B

7. PROPIEDADES DE UNIÓN DE
CONJUNTOS
 Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:
i. A U A = A
ii. A U U = U
iii. A U Ø = A
iv. AUB = BUA
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto:
A I B = { x  U / x  A  x  B}
Es decir, los elementos que están en A y también están en B

8. PROPIEDADES DE LA
DIFERENCIA
 Si A y B son conjuntos, entonces se define la
diferencia entre A y B como el siguiente conjunto:
A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos los
elementos que están en A pero que no están en B.
DIFERENCIA Y
COMPLEMENTO
Propiedades de la Diferencia de Conjuntos
Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:
(AUB) - C = (A - C) U (B - C)
(A I B) - C = (A - C) I (B - C)
(AD B) - C = (A - C) D (B - C)
A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
(B - C) I A = (B I A) - (C I A)

9. Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:
A - B = AI C(B)
C(C(A)) = A
AUC(A) = U
AI C(A) = f
C(U) = f
C(f ) = U
AÌ B Û C(B) Ì C(A)
Teorema: (Leyes de Morgan para conjuntos)
i. C(AUB) = C(A) I C(B)
ii. C(AIB) = C(A) U C(B)
ALGEBRA DE CONJUNTOS
Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de
conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación

10. Leyes de Idempotencia
A U A = A I A = A
Leyes Asociativas
A U (BUC) = (AUB) U C
A I (BIC) = (AIB) I C
Leyes Conmutativas
A U B = B U A
A I B = B I A
Leyes Distributivas
A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C)
Leyes de Identidad
A U f = A I f = f
Leyes de Dominación
A U U = U U: conjunto universal
A I U = A
Leyes de Complementación
A U C(A) = U
A I C(A) = f f f) = U
C (C(A)) = A
Leyes de De Morgan
C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)

11. PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B
como el conjunto Ejemplo:
Si A = {a. b} y B = {1,5,8}
entonces A x B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que B x A = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que A x B = B x A

12. TEOREMA
Si A,B,C son tres conjuntos entonces:
A x B = F Û A = F Ú B = F
A x (BUC) = (A x B) U (A x C)
Ax (B I C) = (A x B) I (Ax C)
Ax(B -C) = (A x B) - (A x C)
Consideremos un conjunto de índices
I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con i  I, representa
un conjunto.
Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}
n.
OPERACIÓN GENERALIZADAS

13. PARTICIÓN
Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición
de X, si y sólo si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde
cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía
y la unión de todos los miembros da X.
CARDINALIDAD
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es
decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es
infinito.