conjutno

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Conjuntos
1 Preliminares
1.1 Conceptos primitivos
Consideramos tres conceptos primitivos: conjunto, elemento y pertenencia.
Para la notación, utilizaremos (por lo general, pero no siempre) letras
mayúsculas para los conjuntos, letras minúsculas para los elementos, y el símbolo " "∈
para decir “pertenece” (o bien " "∉ para decir “no pertenece). De este modo, “a B∈ ”
se lee “el elemento a pertenece al conjunto B ”, y “x R∉ ” se lee “el elemento x no
pertenece al conjunto R ”.
1.2 Formas de determinación y representación de un conjunto
Consideraremos que un conjunto está determinado, cuando es posible
identificar inequívocamente cuáles son los elementos que pertenecen a ese conjunto.
Es decir, dado un elemento cualquiera de un conjunto universal (que habitualmente se
nota con la letra U ), el conjunto estará bien determinado si es posible decidir si ese
elemento le pertenece o no.
Es común definir los conjuntos de dos maneras: por extensión y por
comprensión.
Definir un conjunto por extensión implica nombrar todos y cada uno de los
elementos que le pertenecen. Como notación, escribimos los elementos entre llaves y
separados por comas. Por ejemplo, { }, , , ,A a e i o u= .
Definir un conjunto por comprensión implica dar una característica que sea
exclusiva de todos sus elementos. Esta condición será verdadera para cada elemento
del conjunto, y será falsa para cualquier elemento que no pertenezca al conjunto. Por
ejemplo, { }| es una vocalA x x= .
Para representar un conjunto, también es usual aprovechar los diagramas de
Venn-Euler. En este caso:

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1.3 Conjunto vacío
Llamaremos conjunto vacío a aquél que no tiene elementos, es decir, que no
existe ningún elemento que le pertenezca. Los simbolizamos { }∅ = .
1.4 Inclusión
Dados dos conjuntos A y B , decimos que A está incluido en B (lo notamos
A B⊂
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) cuando todos los elementos de A pertenecen a B .
En símbolos: ( ),A B x x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ → ∈ .
En este caso, es equivalente decir que A está incluido en B , y decir que A es
un subconjunto de B .
Cabe aclarar que la inclusión es una relación entre dos conjuntos, no así la
partencia que vincula un elemento con un conjunto. Muchas veces un conjunto puede
adoptar el rol de elemento, de acuerdo a cómo se utilice. Por ejemplo, si tomamos
{ }{ }1,2 ,3,4A = es correcto decir que 3 A∈ , o que { }3,4 A⊂ , o que { }1,2 A∈ ; pero no
es correcto decir que 3 A⊂ , tampoco que { }1,2 A⊂ .
Si un conjunto A no está incluido en B , lo anotamos A B⊄ . En este caso, la
negación de la relación de inclusión será: ( ),A B x x A x B⊄ ⇔ ∃ ∈ ∧ ∉ .
1.5 Igualdad
Decimos que dos conjuntos son iguales, cuando les pertenecen los mismos
elementos.
Una definición válida puede ser la siguiente: A B A B B A= ⇔ ⊂ ∧ ⊂ . En
especial, entender la igualdad como una “doble inclusión” puede dar pistas concretas
para ser utilizada como herramienta a la hora de demostrar simbólicamente la
igualdad de dos conjuntos.
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Otros autores utilizan la expresión A B⊆ para decir “ A está incluido en B ”

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2 Operaciones y propiedades
2.1 Unión
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “unión de A y B ” al conjunto que
anotamos A B∪ formado por todos elementos de A y de B .
{ }|A B x x A x B= ∈ ∨ ∈∪
Por ejemplo, si { }, , ,A a b c d= y { }, ,B c d e= , entonces { }, , , ,A B a b c d e∪ =
2.2 Intersección
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “intersección de A y B ” al conjunto
que anotamos A B∩ formado por los elementos de A que también son elementos de
B .
{ }|A B x x A x B= ∈ ∧ ∈∩
Por ejemplo, si { }, , ,A a b c d= y { }, ,B c d e= , entonces { },A B c d∩ =
Decimos que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en
común, es decir, y son disjuntos A B=A B ⇔ ∩ ∅ .
2.3 Diferencia
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “diferencia de A menos B ” al conjunto
que anotamos A B− formado por los elementos de A que no pertenecen a B .
{ }|A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉
A B
A B−
A B∩
A B
A B
A B∪

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Por ejemplo, si { }, , ,A a b c d= y { }, ,B c d e= , entonces { },A B a b− = . Notemos
que la diferencia no es una operación conmutativa, es decir, no necesariamente los
conjuntos A B− y B A− son iguales. En este ejemplo, { }B A e− = .
2.4 Diferencia simétrica
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “diferencia simétrica de A menos B ” al
conjunto que anotamos A B∆ formado por los elementos que pertenecen a uno de los
dos conjuntos, y no pertenecen al otro.
{ }|( ) ( )A B x x A x B x B x A∆ = ∈ ∧ ∉ ∨ ∈ ∧ ∉
Por ejemplo, si { }, , ,A a b c d= y { }, ,B c d e= , entonces { }, ,A B a b e∆ = .
2.5 Complemento
Dado un conjunto A , llamamos “complemento de A ” al conjunto que
anotamos C
A formado por los elementos que no pertenecen a A .
{ }|C
A x x A= ∉
A
U
A
C
Vale aclarar que el complemente de un conjunto siempre depende del conjunto
universal que se tome como referencia. Si llamamos U a este conjunto universal,
podemos decir que -C
A A= U .
Por ejemplo, en el universo de los números naturales ℕ , si consideramos
{ }| 2A x x= = ɺ tendremos { }| es imparC
A x x= .
2.6 Propiedades
A continuación enunciamos algunas propiedades sobre conjuntos, que pueden
ser deducidas de las definiciones ya conocidas.
A B
A B∆
A B
B A−

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Conmutativas: A B B A∪ = ∪ ; A B B A∩ = ∩
Asociativas: ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ; ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
Distributivas: ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ; ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
Idempotentes: A A A∪ = ; A A A∩ =
Complementos: ( )
CC
A A=
Leyes de De Morgan: ( )C C C
A B A A∪ = ∩ ; ( )C C C
A B A B∩ = ∪
Neutros: A A∪ ∅ = ; A A∩ =U
Inversos: C
A A∪ = U ; C
A A∩ = ∅
Dominación: A∪ =U U ; A∅ ∩ = ∅
Absorción: ( )A A B A∪ ∩ = ; ( )A A B A∩ ∪ =