Este documento describe los modelos de variable dependiente limitada, específicamente los modelos de elección binaria. Explica que en estos modelos la variable dependiente toma valores de 0 o 1, y el objetivo es describir la probabilidad condicional Pr(yi = 1| xi). Presenta dos enfoques comunes: el modelo de probabilidad lineal y el modelo logístico/probit, donde se utiliza una función de distribución acumulativa para la probabilidad condicional. También describe cómo construir la función de verosimilitud para estimar el modelo por máxima veros

1. Variables
Dependientes
Limitadas

2. Variables Dependientes
Limitadas
• El enfoque tradicional para la estimación de
modelos de variable dependiente limitada (LDV)
es “parametric maximum likelihood”.
• Se construye un modelo paramétrico, permitiendo
que la función de probabilidad de formas de
construcción.
• Un enfoque más moderno es semi parametrico,
eliminando la dependencia de una asunción de
distribución paramétrica.

3. Variables Dependientes
Limitadas
• Una "variable dependiente limitada" es
una que tiene un conjunto de valores
"limitado".
• Los casos más comunes son:
 “Binary”: 𝑦 ∈ {0,1}
 “Multinomial”: 𝑦 ∈
{0,1,2,3,….,k}
 “Integer”: 𝑦 ∈ {0,1,2,….}
 “Censored”: 𝑦 ∈ ℝ⁺

4. Variables Dependientes
Limitadas
• Esta vez solo les voy a hablar del
primer enfoque (paramétrico).
• Una cuestión práctica importante
es la construcción de la función de
probabilidad.

5. “Binary Choice”
• La variable dependiente 𝑦ᵢ ∈ {0,1}.
• Esto representa un Sí /No resultado.
• Dado algunos regresores 𝑥ᵢ, el objetivo es
describir 𝑃𝑟(𝑦ᵢ = 1| 𝑥ᵢ ), esta es la
distribución condicional completa.
• Las especificadas del modelo de
probabilidad lineal son: 𝑃𝑟 (𝑦ᵢ = 1| 𝑥ᵢ ) 𝑥ʹᵢβ

6. “Binary Choice”
• Como 𝑃𝑟 (𝑦 = 1| 𝑥ᵢ ) = E (𝑦ᵢ | 𝑥ᵢ), esto
produce la regresión: 𝑦ᵢ = 𝑥ʹᵢβ + eᵢ, que
puede ser estimada por la OLS.
• Sin embargo, el modelo de
probabilidad lineal impone la restricción
de que:
0 ≤ 𝑃𝑟 (𝑦ᵢ|𝑥ᵢ ) ≤ 1.
• Aun así la estimación de un modelo de
probabilidad lineal es un punto de
partida útil para análisis posteriores.

7. “Binary Choice”
• La alternativa estándar es utilizar una
función de la forma: 𝑃𝑟 (𝑦 = 1| 𝑥ᵢ ) = 𝐹
(𝑥ʹᵢβ)
• Donde 𝐹 (∙) es la nueva CDF,
normalmente se supone que es
simétrico sobre cero, por lo que 𝐹 (𝑢) =
1 – F (- 𝑢).
• Las dos opciones estándar para F son:
Logística: 𝐹 (u) = (1 + 𝑒−𝑢)−1

8. “Binary Choice”
• Si 𝐹 es logístico, llamamos a esto el modelo
logico, y si F es normal se le llama a esto
"probit model".
• Este modelo es idéntico al modelo variable
latente
 𝑦∗
ᵢ = 𝑥ʹᵢβ + eᵢ
eᵢ ~ F(∙)
𝑦ᵢ = { 1 si 𝑦∗
ᵢ > 0
= { 0 “otherwise”

9. “Binary Choice”
• Para entonces
𝑃𝑟 (𝑦ᵢ = 1| 𝑥ᵢ ) = 𝑃𝑟 (𝑦∗
ᵢ > 0| 𝑥ᵢ )
= 𝑃𝑟 (𝑥ʹᵢβ + eᵢ > 0 |
𝑥ᵢ )
= 𝑃𝑟 (eᵢ > - 𝑥ʹᵢβ | 𝑥ᵢ
)
= 1 – 𝐹 (- 𝑥ʹᵢβ)
= 𝐹 (𝑥ʹᵢβ)
• La estimación es de máxima

10. “Binary Choice”
• Para construir la probabilidad, necesitamos la
distribución condicional de una observación
individual.
• Recordar que si es Bernoulli, tal que 𝑃𝑟
(𝑦 =1) = 𝑝 y 𝑃𝑟 (𝑦=0) = 1 – 𝑝, entonces
podemos escribir la densidad como:
𝑓(𝑦) = 𝑝 𝑦 (1 −𝑝)
1 −𝑦
, 𝑦 = 0,1

11. “Binary Choice”
• En el “Binary choice model”, 𝑦ᵢ, es
condicionalmente Bernoulli con:
 𝑃𝑟 (𝑦ᵢ = 1| 𝑥ᵢ ) = 𝑝ᵢ = 𝐹 (𝑥ʹᵢβ).
• Por lo tanto es la densidad condicional
𝑓(𝑦ᵢ| 𝑥ᵢ ) = 𝑝
𝑦ᵢ
ᵢ (1− 𝑝ᵢ )
1 −𝑦ᵢ
= 𝐹 (𝑥ʹᵢβ)
𝑦ᵢ
(1 − 𝐹(𝑥ʹᵢβ))
1 −𝑦ᵢ

12. “Binary Choice”
• Por lo tanto es la función de "log-likelihood“
𝑙𝑜𝑔 𝐿 (β) = ᵢ=0
𝑛
log 𝑓 (𝑦ᵢ| 𝑥ᵢ)
= ᵢ=0
𝑛
log ( 𝐹 (𝑥ʹᵢβ)
𝑦ᵢ
(1 − 𝐹(𝑥ʹᵢβ))
1 −𝑦ᵢ
= ᵢ=0
𝑛
[𝑦ᵢ 𝑙𝑜𝑔𝐹(𝑥ʹᵢβ)+(1- 𝑦ᵢ)𝑙𝑜𝑔(1-𝐹
(𝑥ʹᵢβ))]
= 𝑦ᵢ=1 𝑙𝑜𝑔𝐹(𝑥ʹᵢβ) +
𝑦ᵢ=0 𝑙𝑜𝑔(1−𝐹 (𝑥ʹᵢβ))

13. “Binary Choice”
• La MLE β^ es el valor de β que
maximiza el registro 𝑙𝑜𝑔 (β).
• Estadísticas de prueba y errores
estándares se calculan por
aproximaciones asintóticas.