Este documento trata sobre el tema de las derivadas en cálculo diferencial. Explica la definición de derivada como el límite de la razón entre el incremento de la función y el incremento de la variable cuando este último tiende a cero. También describe la simbología utilizada para representar derivadas y presenta la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas. Por último, introduce conceptos como la regla de la cadena y funciones implícitas.

1. Calculo diferencial
Unidad 4
Derivadas
Definición de derivada
La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la
función entre el incremento de la variable cuando el incremento de la variable tiende a
cero.
Derivada
lim
X
X
Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada.
Simbología de la derivación
Derivada de ƒ es ƒʹ
ƒʹ(x) es la derivada de la función ƒ en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente
en ese lugar
si ƒ(x) = x², entonces ƒʹ (x) = 2x y ƒʹ ʹ(x) = 2
Regla de los 4 pasos
Ejercicio resuelto mediante la derivación de los 4 pasos. Empecemos con la primera
ecuación que será lineal.
Ejemplo 1: Y = x3 + 2x2 – 3x – 1
Paso 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento
Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Paso 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original.
Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le
restará la función original al resultado.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1
∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x

2. Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir,
dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)
∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos
todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da
0)
∆y/∆
x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3
Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para
derivar una ecuación.
Ejemplos

3. Regla de la cadena
Si n es una función diferenciable d x , y ƒ es una función diferenciable de ʹ entonces ƒ
es una función diferenciable de x, y
(f(u)) = ƒʹ (u)

4. Ejemplo 1
(1+x²)³ = 3(1+x²)² 2x = 6x (1+x²)²
Ejemplo 2
(1+x²)² = 2(1+x²) 2x = 4x(1+x²) = 4x+4x³
Función implícita
Las funciones pueden clasificarse en funciones explícitas e implícitas. Una función en
la que la variable dependiente se expresa ÚNICAMENTE en términos de la variable
independiente es una función explícita. La forma de estas funciones es y = f(x), y al
derivarlas, la idea es encontrar y’.
Por ejemplo, la función
es una función explícita.
En los casos en los que nuestra variable dependiente no esté expresada sólo en
términos de la variable independiente, se tiene una función implícita.
Una expresión equivalente a
es
. Esta expresión no nos
presenta a y en términos de x, por lo que en este caso tenemos a la función definida
de manera implícita.
Clase
Definición de la tangente con pendiente m
Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contiene ac y además existe
=
=m
Entonces la recta que pasa por (c f(c)) y cuenta con una pendiente m es la recta
tangente de la grafica de ƒ en el punto (c, f(c)).
Pendiente de la recta tangente a la grafica de ƒ en el punto c f(x) se llama también
pendiente de la grafica de ƒ en x = c

5. Ejemplo
Ƒ (x) = 2x-3 ; (2,1)
=
=
= 2
=
=