Este documento describe varios modelos de probabilidad discretos y continuos. Introduce la distribución uniforme discreta, las distribuciones de Bernouilli, binomial, geométrica y binomial negativa definidas sobre experimentos de Bernouilli. También describe la distribución hipergeométrica y las distribuciones de Poisson, exponencial y uniforme continua.
Este documento presenta los conceptos básicos de la esperanza matemática para variables aleatorias discretas y absolutamente continuas. Define la esperanza para variables aleatorias individuales y vectores aleatorios, y explica cómo calcular la esperanza de funciones de variables aleatorias siempre que las integrales o sumas correspondientes sean absolutamente convergentes. Incluye varios ejemplos ilustrativos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta una introducción a las funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria X es una variable aleatoria U si la imagen de los puntos al infinito de U corresponden a eventos con probabilidad cero. También describe cómo calcular la función de distribución de U a partir de la función de distribución de X y la función φ que mapea de X a U. Proporciona ejemplos ilustrativos de estas ideas y cómo determinar si una función es o no una variable aleatoria.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos sobre funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria es una función que asigna valores a una variable aleatoria en función de los valores de otra variable aleatoria. Luego, describe cómo calcular la distribución de probabilidad de la nueva variable aleatoria resultante en función de la distribución de la variable aleatoria original. Finalmente, proporciona ejemplos ilustrativos sobre cómo aplicar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de las funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria es una variable aleatoria si la imagen de la función no incluye puntos al infinito con probabilidad cero. Luego, proporciona teoremas para calcular la distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria discreta, continua o multidimensional. Finalmente, incluye varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento resume conceptos básicos sobre funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria es una variable aleatoria si cumple ciertas condiciones. Presenta teoremas para calcular la distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria discreta, continua o de dimensión n. Incluye ejemplos ilustrativos como funciones de una sola variable, funciones con inversa múltiple y funciones de vectores aleatorios.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria y describe sus características principales. Explica que una variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los resultados de un espacio muestral de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. También describe cómo calcular la distribución de probabilidad, la distribución de probabilidad acumulada, la esperanza matemática y la varianza para variables aleatorias discretas y continuas.
Este documento presenta varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias mediante series de potencias. Explica conceptos como convergencia de series, álgebra de series y radio de convergencia. Luego, ilustra los métodos aplicándolos a ejemplos como la ecuación diferencial de Hermite y la ecuación de Airy. Finalmente, describe métodos como el de diferenciaciones sucesivas, el de los coeficientes indeterminados y clasifica diferentes tipos de puntos como ordinarios, singulares regulares e irregulares.
Este documento presenta los conceptos básicos de la esperanza matemática para variables aleatorias discretas y absolutamente continuas. Define la esperanza para variables aleatorias individuales y vectores aleatorios, y explica cómo calcular la esperanza de funciones de variables aleatorias siempre que las integrales o sumas correspondientes sean absolutamente convergentes. Incluye varios ejemplos ilustrativos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta una introducción a las funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria X es una variable aleatoria U si la imagen de los puntos al infinito de U corresponden a eventos con probabilidad cero. También describe cómo calcular la función de distribución de U a partir de la función de distribución de X y la función φ que mapea de X a U. Proporciona ejemplos ilustrativos de estas ideas y cómo determinar si una función es o no una variable aleatoria.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos sobre funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria es una función que asigna valores a una variable aleatoria en función de los valores de otra variable aleatoria. Luego, describe cómo calcular la distribución de probabilidad de la nueva variable aleatoria resultante en función de la distribución de la variable aleatoria original. Finalmente, proporciona ejemplos ilustrativos sobre cómo aplicar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de las funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria es una variable aleatoria si la imagen de la función no incluye puntos al infinito con probabilidad cero. Luego, proporciona teoremas para calcular la distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria discreta, continua o multidimensional. Finalmente, incluye varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento resume conceptos básicos sobre funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria es una variable aleatoria si cumple ciertas condiciones. Presenta teoremas para calcular la distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria discreta, continua o de dimensión n. Incluye ejemplos ilustrativos como funciones de una sola variable, funciones con inversa múltiple y funciones de vectores aleatorios.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria y describe sus características principales. Explica que una variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los resultados de un espacio muestral de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. También describe cómo calcular la distribución de probabilidad, la distribución de probabilidad acumulada, la esperanza matemática y la varianza para variables aleatorias discretas y continuas.
Este documento presenta varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias mediante series de potencias. Explica conceptos como convergencia de series, álgebra de series y radio de convergencia. Luego, ilustra los métodos aplicándolos a ejemplos como la ecuación diferencial de Hermite y la ecuación de Airy. Finalmente, describe métodos como el de diferenciaciones sucesivas, el de los coeficientes indeterminados y clasifica diferentes tipos de puntos como ordinarios, singulares regulares e irregulares.
Este documento introduce el concepto de serie numérica y sus propiedades básicas. Define una serie como un par ordenado de sucesiones donde una sucesión proporciona los términos y la otra las sumas parciales. Una serie es convergente si la sucesión de sumas parciales converge, y divergente si dicha sucesión diverge. Presenta ejemplos como series geométricas y la serie armónica. Establece propiedades como la linealidad de la convergencia y las series telescópicas.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología en espacios métricos. Incluye la definición de sucesión, subsucesión, punto de acumulación, convergencia y espacios completos. También demuestra que el conjunto de los racionales es denso en el conjunto de los reales y presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre la existencia de puntos de acumulación en sucesiones acotadas.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones, puntos adherentes y de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre cualquier par de reales. También presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que si una sucesión acotada en Rn contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones y puntos de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre dos números reales dados. También presenta la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass para Rn, el cual establece que si una sucesión acotada contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.
El documento introduce el concepto de variable aleatoria y explica que es una función que asigna números reales a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas dependiendo del espacio muestral asociado. También define la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y cómo calcular su esperanza matemática y varianza.
Este documento explica conceptos básicos de la probabilidad y las variables aleatorias. 1) La probabilidad proporciona modelos para la incertidumbre que surge de experimentos aleatorios cuyos resultados no pueden predecirse con certeza. 2) Una variable aleatoria asigna valores numéricos a los resultados de un experimento para resumirlos. 3) La distribución de una variable aleatoria especifica las probabilidades de los valores que puede tomar.
Este documento presenta 5 ejemplos de funciones de variables aleatorias. El primer ejemplo analiza la función de densidad de probabilidad de la utilidad diaria de una planta de refinación de azúcar. Los ejemplos 2 al 4 calculan funciones de densidad conjunta y de probabilidad a partir de variables aleatorias dadas. El último ejemplo encuentra la función de densidad de la razón de dos variables aleatorias exponenciales independientes. El documento provee estas explicaciones como práctica dirigida para el tema de funciones de variables aleatorias.
Este documento analiza la teoría de la aproximación funcional mediante polinomios de Chebyshev. Introduce los conceptos de conjunto alternante y mejor aproximación uniforme. Explica que los polinomios de Chebyshev de segundo tipo satisfacen una fórmula de recurrencia y tienen n ceros en el intervalo [-1,1]. Finalmente, demuestra que estos polinomios minimizan la norma del máximo entre todos los polinomios reales de grado n con coeficiente principal igual a 1 en dicho intervalo.
variables aleatorias discretas y continuasxiom20mat
Este documento describe las variables aleatorias discretas y continuas. Explica que las variables discretas toman valores de conjuntos finitos o infinitos numerables, mientras que las variables continuas toman valores de conjuntos infinitos no numerables. Define la función de probabilidad para variables discretas y la función de densidad para variables continuas. También introduce la función de distribución como una herramienta para calcular probabilidades sobre intervalos.
L ochoa-distribuciones-probabilidad-discretasleo_8a
Este documento define distribuciones de probabilidad discretas y proporciona ejemplos. Explica la función de probabilidad y función de distribución para variables aleatorias discretas. También describe las distribuciones de Bernoulli, binomial, hipergeométrica y Poisson, incluyendo sus propiedades y cómo se aplican a diferentes situaciones.
Las distribuciones de probabilidad discutidas incluyen la distribución de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución de Poisson, la distribución normal, la distribución lognormal, la distribución gamma y la distribución de Weibull. Cada una describe la probabilidad de eventos discretos o continuos bajo ciertas condiciones y parámetros.
Este documento resume los principales conceptos y desarrollos de la mecánica cuántica. Introduce la mecánica cuántica como indeterminista en contraste con la mecánica clásica determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. Explica los principios de incertidumbre de Heisenberg y cómo la función de onda Ψ describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herram
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la distribución uniforme, de Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica, hipergeométrica, de Poisson y multinomial. Para cada distribución se especifican sus características, parámetros, función de probabilidad y otros conceptos relevantes. El documento también cubre aproximaciones como la de la distribución hipergeométrica a la binomial y viceversa.
1) Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio, permitiendo estudiar el experimento desde una perspectiva matemática.
2) Existen variables aleatorias discretas, cuando los valores que puede tomar son finitos o infinitos numerables, y variables continuas, cuando los valores son infinitos no numerables.
3) La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta asigna a cada valor posible la probabilidad de que la variable tome ese valor, y la suma de todas las probabilidades es 1.
Tema 6. variables aleatorias y distribuciones de probabilidadAna Lopez
Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Introduce las nociones de variables aleatorias discretas y continuas, y explica las funciones de densidad de probabilidad y distribución acumulativa para variables discretas. Incluye ejemplos como el número de caras al lanzar tres monedas para ilustrar estas ideas.
Recetas de ecuaciones diferenciales elementalesjcalguien
Este documento resume métodos clásicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Describe métodos para ecuaciones explícitas como variables separadas, homogéneas y exactas. También cubre ecuaciones lineales, de Bernoulli, Riccati y aquellas donde la derivada aparece implícitamente como en las ecuaciones de Lagrange y Clairaut. El documento proporciona una visión general de los enfoques analíticos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
El documento presenta diferentes métodos numéricos y analíticos para resolver ecuaciones diferenciales de Poisson que describen campos eléctricos y magnéticos estáticos. Explica el método de separación de variables para resolver analíticamente la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Además, provee un ejemplo detallado de la aplicación de este método para determinar el potencial eléctrico dentro de una región delimitada.
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad y sus características. Explica variables aleatorias discretas y continuas, así como funciones de probabilidad y distribución. Detalla distribuciones como la binomial, Poisson, hipergeométrica y normal, incluyendo sus funciones, parámetros y propiedades. También ofrece ejemplos para ilustrar el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones.
Este documento describe conceptos básicos relacionados con variables aleatorias y sus distribuciones. Explica que una variable aleatoria es una función numérica definida sobre un espacio muestral que puede tomar diferentes valores con ciertas probabilidades especificadas por su distribución de probabilidad. Describe distribuciones discretas como la binomial y distribuciones continuas como la normal, incluyendo sus características clave como la media, varianza y función de densidad. También cubre temas como transformaciones lineales de variables aleatorias y cálculos de probabilidades para la distribución normal.
Las distribuciones de probabilidad describen la probabilidad de que una variable aleatoria tome diferentes valores. Este documento describe distribuciones de probabilidad continuas y discretas, y analiza las distribuciones binomial y de Poisson, indicando cómo calcular la probabilidad de diferentes resultados y los parámetros que las caracterizan como la media y la desviación típica.
Este documento introduce el concepto de serie numérica y sus propiedades básicas. Define una serie como un par ordenado de sucesiones donde una sucesión proporciona los términos y la otra las sumas parciales. Una serie es convergente si la sucesión de sumas parciales converge, y divergente si dicha sucesión diverge. Presenta ejemplos como series geométricas y la serie armónica. Establece propiedades como la linealidad de la convergencia y las series telescópicas.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología en espacios métricos. Incluye la definición de sucesión, subsucesión, punto de acumulación, convergencia y espacios completos. También demuestra que el conjunto de los racionales es denso en el conjunto de los reales y presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre la existencia de puntos de acumulación en sucesiones acotadas.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones, puntos adherentes y de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre cualquier par de reales. También presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que si una sucesión acotada en Rn contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones y puntos de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre dos números reales dados. También presenta la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass para Rn, el cual establece que si una sucesión acotada contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.
El documento introduce el concepto de variable aleatoria y explica que es una función que asigna números reales a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas dependiendo del espacio muestral asociado. También define la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y cómo calcular su esperanza matemática y varianza.
Este documento explica conceptos básicos de la probabilidad y las variables aleatorias. 1) La probabilidad proporciona modelos para la incertidumbre que surge de experimentos aleatorios cuyos resultados no pueden predecirse con certeza. 2) Una variable aleatoria asigna valores numéricos a los resultados de un experimento para resumirlos. 3) La distribución de una variable aleatoria especifica las probabilidades de los valores que puede tomar.
Este documento presenta 5 ejemplos de funciones de variables aleatorias. El primer ejemplo analiza la función de densidad de probabilidad de la utilidad diaria de una planta de refinación de azúcar. Los ejemplos 2 al 4 calculan funciones de densidad conjunta y de probabilidad a partir de variables aleatorias dadas. El último ejemplo encuentra la función de densidad de la razón de dos variables aleatorias exponenciales independientes. El documento provee estas explicaciones como práctica dirigida para el tema de funciones de variables aleatorias.
Este documento analiza la teoría de la aproximación funcional mediante polinomios de Chebyshev. Introduce los conceptos de conjunto alternante y mejor aproximación uniforme. Explica que los polinomios de Chebyshev de segundo tipo satisfacen una fórmula de recurrencia y tienen n ceros en el intervalo [-1,1]. Finalmente, demuestra que estos polinomios minimizan la norma del máximo entre todos los polinomios reales de grado n con coeficiente principal igual a 1 en dicho intervalo.
variables aleatorias discretas y continuasxiom20mat
Este documento describe las variables aleatorias discretas y continuas. Explica que las variables discretas toman valores de conjuntos finitos o infinitos numerables, mientras que las variables continuas toman valores de conjuntos infinitos no numerables. Define la función de probabilidad para variables discretas y la función de densidad para variables continuas. También introduce la función de distribución como una herramienta para calcular probabilidades sobre intervalos.
L ochoa-distribuciones-probabilidad-discretasleo_8a
Este documento define distribuciones de probabilidad discretas y proporciona ejemplos. Explica la función de probabilidad y función de distribución para variables aleatorias discretas. También describe las distribuciones de Bernoulli, binomial, hipergeométrica y Poisson, incluyendo sus propiedades y cómo se aplican a diferentes situaciones.
Las distribuciones de probabilidad discutidas incluyen la distribución de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución de Poisson, la distribución normal, la distribución lognormal, la distribución gamma y la distribución de Weibull. Cada una describe la probabilidad de eventos discretos o continuos bajo ciertas condiciones y parámetros.
Este documento resume los principales conceptos y desarrollos de la mecánica cuántica. Introduce la mecánica cuántica como indeterminista en contraste con la mecánica clásica determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. Explica los principios de incertidumbre de Heisenberg y cómo la función de onda Ψ describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herram
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la distribución uniforme, de Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica, hipergeométrica, de Poisson y multinomial. Para cada distribución se especifican sus características, parámetros, función de probabilidad y otros conceptos relevantes. El documento también cubre aproximaciones como la de la distribución hipergeométrica a la binomial y viceversa.
1) Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio, permitiendo estudiar el experimento desde una perspectiva matemática.
2) Existen variables aleatorias discretas, cuando los valores que puede tomar son finitos o infinitos numerables, y variables continuas, cuando los valores son infinitos no numerables.
3) La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta asigna a cada valor posible la probabilidad de que la variable tome ese valor, y la suma de todas las probabilidades es 1.
Tema 6. variables aleatorias y distribuciones de probabilidadAna Lopez
Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Introduce las nociones de variables aleatorias discretas y continuas, y explica las funciones de densidad de probabilidad y distribución acumulativa para variables discretas. Incluye ejemplos como el número de caras al lanzar tres monedas para ilustrar estas ideas.
Recetas de ecuaciones diferenciales elementalesjcalguien
Este documento resume métodos clásicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Describe métodos para ecuaciones explícitas como variables separadas, homogéneas y exactas. También cubre ecuaciones lineales, de Bernoulli, Riccati y aquellas donde la derivada aparece implícitamente como en las ecuaciones de Lagrange y Clairaut. El documento proporciona una visión general de los enfoques analíticos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
El documento presenta diferentes métodos numéricos y analíticos para resolver ecuaciones diferenciales de Poisson que describen campos eléctricos y magnéticos estáticos. Explica el método de separación de variables para resolver analíticamente la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Además, provee un ejemplo detallado de la aplicación de este método para determinar el potencial eléctrico dentro de una región delimitada.
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad y sus características. Explica variables aleatorias discretas y continuas, así como funciones de probabilidad y distribución. Detalla distribuciones como la binomial, Poisson, hipergeométrica y normal, incluyendo sus funciones, parámetros y propiedades. También ofrece ejemplos para ilustrar el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones.
Este documento describe conceptos básicos relacionados con variables aleatorias y sus distribuciones. Explica que una variable aleatoria es una función numérica definida sobre un espacio muestral que puede tomar diferentes valores con ciertas probabilidades especificadas por su distribución de probabilidad. Describe distribuciones discretas como la binomial y distribuciones continuas como la normal, incluyendo sus características clave como la media, varianza y función de densidad. También cubre temas como transformaciones lineales de variables aleatorias y cálculos de probabilidades para la distribución normal.
Las distribuciones de probabilidad describen la probabilidad de que una variable aleatoria tome diferentes valores. Este documento describe distribuciones de probabilidad continuas y discretas, y analiza las distribuciones binomial y de Poisson, indicando cómo calcular la probabilidad de diferentes resultados y los parámetros que las caracterizan como la media y la desviación típica.
1. El documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Incluye la distribución de Bernoullí, binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson y distribuciones continuas como la uniforme y exponencial. Cada distribución se define por su función de probabilidad y parámetros asociados como la media y varianza. También incluye ejemplos ilustrativos de cada distribución.
Distribuciones de probabilidad continuaLIZBETH IZA
Este documento presenta un resumen de las distribuciones de probabilidad continuas más importantes, incluyendo la distribución normal, uniforme, exponencial, t de Student y chi cuadrado. Proporciona las funciones de densidad, propiedades y ejemplos para cada distribución. El objetivo es proveer una introducción básica a estas distribuciones comúnmente usadas en estadística.
Este documento presenta un resumen de trabajo sobre distribuciones de probabilidad realizado por un estudiante llamado Oscar Torres Rivera para su clase de Estadística impartida por el profesor Gerardo Edgar Mata Ortiz. El trabajo explica seis distribuciones comunes: Bernoulli, binomial, Poisson, normal, gamma y t-student.
Este documento describe conceptos básicos relacionados con variables aleatorias. Explica que una variable aleatoria asocia números reales a elementos de un espacio muestral y puede ser discreta o continua. También describe distribuciones de probabilidad como la uniforme, binomial y normal, así como conceptos estadísticos como media, varianza, distribuciones muestrales y teoremas centrales del límite para inferencia estadística.
Este documento describe las variables aleatorias continuas y discretas. Las variables continuas toman valores en un intervalo de números reales, mientras que las variables discretas solo pueden tomar valores específicos con probabilidades asignadas. También explica cómo calcular la media, varianza y desviación estándar para ambos tipos de variables aleatorias.
Este documento introduce conceptos básicos sobre variables aleatorias y funciones de distribución. Explica que una variable aleatoria asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Distingue entre variables aleatorias discretas y continuas, y describe cómo se definen sus distribuciones de probabilidad y funciones de distribución. También define parámetros comunes como la esperanza matemática y la varianza para caracterizar las variables aleatorias.
El documento describe conceptos básicos sobre distribuciones de probabilidad discretas y variables aleatorias. Explica que una variable aleatoria representa los posibles resultados de un experimento aleatorio y que su distribución de probabilidad especifica los valores que puede tomar y sus probabilidades asociadas. También introduce las distribuciones binomial y de Poisson como ejemplos de distribuciones discretas comúnmente usadas.
Este documento introduce varias distribuciones de probabilidad importantes como la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, normal, gamma y t de Student. Explica que cada distribución modela la probabilidad de resultados aleatorios en diferentes tipos de experimentos y que tienen aplicaciones estadísticas como realizar pruebas de hipótesis.
El documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la binomial, geométrica, hipergeométrica y de Poisson. La distribución binomial modela el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. La distribución geométrica modela el número de ensayos necesarios para obtener el primer éxito. La distribución hipergeométrica se aplica a muestreos aleatorios sin reemplazo. Finalmente, la distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo dado una t
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas. Explica la distribución uniforme, de Bernoulli, binomial, de Poisson, geométrica, binomial negativa, multinomial e hipergeométrica. Para cada distribución, define la variable aleatoria asociada, la función de probabilidad y sus propiedades como la media y la varianza.
Este documento describe diferentes modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas y continuas. Para variables discretas, describe las distribuciones uniforme discreta, de Bernouilli y binomial. Para variables continuas, describe las distribuciones uniforme continua, normal, normal tipificada y chi-cuadrado de Pearson. Explica las funciones de probabilidad, esperanza y varianza de cada distribución.
Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas, incluyendo la distribución de Bernoulli, binomial, geométrica, binomial negativa, hipergeométrica y Poisson. Define cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos. También discute cómo la distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson cuando el número de pruebas es grande y la probabilidad de éxito es pequeña.
Este documento presenta diferentes modelos de distribuciones de probabilidad, incluyendo distribuciones discretas como la binomial, de Poisson y hipergeométrica, y distribuciones continuas como la uniforme, exponencial y normal. Describe las características clave de cada modelo, como su función de probabilidad, media, varianza y notación. También incluye ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos modelos a diferentes situaciones.
Este documento trata sobre distribuciones de probabilidad y variables aleatorias. Explica que una distribución de probabilidad indica los posibles resultados de un experimento y sus probabilidades. Luego describe dos tipos de variables aleatorias - discretas y continuas - y ofrece ejemplos de cada una. Finalmente, da ejemplos del uso de distribuciones binomiales, de Poisson y normales.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
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Modelos de probabilidad
1. Estad´ıstica 52
Tema 5: Modelos de probabilidad.
5.1 Modelos discretos.
(a) Distribuci´on uniforme discreta:
La variable aleatoria X tiene una distribuci´on uniforme discreta de par´ametro n,que denoteramos
por U(n), si su ley de probabilidad viene dada por:
SX = {x1, x2, . . . , xn}
p(X = xi) =
1
n
, para cada i = 1, 2, . . . , n.
(b) Distribuciones definidas sobre un experimento de Bernouilli
Un experimento aleatorio se denomina de Bernouilli si verifica las tres condiciones siguientes:
1 El experimento consiste en observar elementos de una poblaci´on y clasificarlos en dos categor´ıas:
´exito y fracaso (que denominaremos E y F).
2 Llamaremos p a la probabilidad de que un elemento est´e en E y q = 1 − p a la probabilidad
de que est´e en F.
3 Las observaciones son independientes.
Sobre los experimentos de Bernouilli se pueden definir varios modelos de variables aleatorias:
• Distribuci´on de Bernouilli.
La variable aleatoria X que modeliza la clasificaci´on de un elemento observado en un experimento
de Bernouilli como E ´o F, tiene una distribuci´on que llamaremos Bernouilli de par´ametro p.
Lo denotaremos por X ; B(p). Su ley de probabilidad viene dada por:
SX = {0, 1}
p(X = 1) = p, p(X = 0) = 1 − p
Sus medidas principales son:
E(X) = p V ar(X) = pq.
• Distribuci´on binomial.
La variable aleatoria X que modeliza el n´umero de elementos, entre n observados que tienen
la caracter´ıstica E, tiene una distribuci´on que llamaremos binomial de par´ametros n y p. Lo
denotaremos por X ; B(n, p); su ley de probabilidad viene dada por:
SX = {0, 1, . . . , n}
2. Estad´ıstica 53
p(X = k) =
n
k
pk
(1 − p)n−k
Sus medidas principales son:
E(X) = np V ar(X) = npq.
Propiedades 1 i. Si X ; B(n, p), entonces X es la suma de n variables de Bernouilli
independientes y de par´ametro p.
ii. Si X1, X2, . . . , Xk son variables binomiales independientes de par´ametros ni y p, i =
1, 2, . . . , k, entonces X1 + . . . + Xk tiene distribuci´on B(n1 + . . . + nk, p).
iii. Si X ; B(n, p) entonces Y = n − X ; B(n, 1 − p).
iv. La distribuci´on es sim´etrica si y s´olo si p = 1
2 . Si p < 1
2 , entonces existe asimetr´ıa a la
derecha y en caso contrario hay asimetr´ıa a la izquierda.
Observaci´on 1 – Los valores de la media y de la varianza de X se deducen f´acilmente a
partir de la propiedad (i).
– La propiedad (ii) se denomina propiedad de aditividad y no es cierta en general para
cualquier modelo de distribuci´on: por ejemplo, si X e Y son las variables que modelizan
el resultado de dos dados normales, ambas son uniformes discretas, pero su suma, que
modelizar´ıa la suma de resultados, no lo es.
• Distribuci´on geom´etrica:
La variable aleatoria X que modeliza el n´umero de observaciones (o ensayos) necesarias
para obtener el primer ´exito en un experimento de Bernouilli, tiene una distribuci´on que
llamaremos geom´etrica de par´ametro p. Lo denotaremos por X ; G(p); su ley de probabilidad
viene dada por:
SX = {1, 2, . . .}
p(X = k) = p(1 − p)k−1
∀k = 1, 2, . . .
Sus medidas principales son:
E(X) = 1
p V ar(X) = 1−p
p2
Observaci´on 2 En ocasiones conviene utilizar la variable Y que modeliza el n´umero de
fracasos necesarios hasta obtener el primer ´exito en un experimento de Bernouilli; esta
variable est´a relacionada con la anterior por la igualdad Y = X −1; a partir de esta relaci´on
se deduce la ley de probabilidades, media y varianza de la variable Y (calc´ulalas).
• Distribuci´on binomial negativa.
La variable aleatoria X que modeliza el n´umero de ensayos necesarios para obtener el r-
´esimo ´exito, tiene una distribuci´on que llamamos binomial negativa de par´ametros r y p. Lo
denotaremos por X; BN(r, p). Su ley de probabilidad viene dada por:
SX = {r, r + 1, . . .}
3. Estad´ıstica 54
p(X = k) =
k − 1
r − 1
pr
(1 − p)k−r
Sus medidas principales son:
E(X) = r
p V ar(X) = r(1−p)
p2
Observaci´on 3 EL siguiente cuadro se˜ala las diferencias entre las variables binomial y binnomial
negativa, indicando qu´e es lo que permanece fijo y cu´ales son los valores (aleatorios) de la variable:
No de ensayos No de ´exitos
Binomial fijo aleatorio
Binomial negativa aleatorio fijo
(c) Distribuci´on hipergeom´etrica.
La variable aleatoria X cuya distribuci´on se denomina hipergeom´etrica de par´ametros N, n y Q,
se define sobre experimentos que consisten en observar elementos de una poblaci´on y clasificarlos
en dos categor´ıas, ´exito y fracaso, (es decir, que cumplen la condici´on 1) de los experimentos de
Bernouilli), pero en los que las observaciones no son independientes. Corresponde a modelizar el
n´umero de individuos que tienen la caracter´ıstica de inter´es, de n (diferentes) observados de una
poblaci´on finita, de tama˜no N, cu´ando en la poblaci´on hay Q individuos con esa caracter´ıstica.
La denotaremos por X; H(N, n, Q); su ley de probabilidad viene dada por:
SX = [m´ax{0, n − (N − Q)}, . . . , m´ın{Q, n}]
p(X = i) =
Q
i
N − Q
n − i
N
n
Sus medidas principales son:
E(X) = nQ
N V ar(X) = nQ
N 1 − Q
N
N−n
N−1
Aproximaci´on de la distribuci´on hipergeom´etrica por la binomial.
Si X es una variable aleatoria con distribuci´on hipergeom´etrica H(N, n, Q), se puede demostrar
que cuando N → ∞, Q → ∞ y Q
N → p, la distribuci´on hipergeom´etrica tiende a una distribuci´on
binomial B(n, p). Esto permite aproximar la hipergeom´etrica H(N, n, Q) por una binomial de
par´ametros n y Q
N cuando N es suficientemente grande. En general, la aproximaci´on se considera
satisfactoria si N > 50 y n
N ≤ 0.1.
(d) Distribuciones discretas definidas sobre un proceso de Poisson.
Un proceso de Poisson es un experimento en el que se observa la aparici´on de sucesos puntuales
sobre un soporte continuo (intervalo de tiempo, de longitud, superficie, etc) y que cumple las
siguientes condiciones:
4. Estad´ıstica 55
1 El n´umero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o regi´on espec´ıfica es indepen-
diente del n´umero que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto, es decir, no depende del
n´umero de resultados que ocurren fuera de ´el.
2 La probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo o regi´on muy peque˜na es proporcional
a la longitud del intervalo o ´area de la regi´on.
3 La probabilidad de que ocurra m´as de un resultado en un intervalo corto es despreciable.
Como consecuencia de las propiedades anteriores el promedio de sucesos por unidad de soporte
se mantiene constante y lo denotaremos por λ.
• Distribuci´on de Poisson.
La variable aleatoria X que modeliza el n´umero de sucesos en una unidad de soporte, en un
proceso de Poisson, tiene una distribuci´on que llamaremos de Poisson de par´ametro λ. La
denotaremos por X; P(λ). Su ley de probabilidad viene dada por:
SX = {0, 1 . . .}
p(X = k) =
(λ)ke−λ
k!
Sus medidas principales son:
E(X) = λ V ar(X) = λ.
Observaci´on 4 Si Y es la variable que modeliza el n´umero de sucesos en t unidades de
soporte (t > 0), la variable Y es tambi´en de Poisson y su par´ametro es λt, pues por las
propiedades de los procesos de Poisson se deduce que el n´umero medio de sucesos en t unidades
de soporte es λt.
Proposici´on 1 Si X1, . . . , Xk son variables aleatorias independientes, con distribuci´on de
Poisson, con par´ametros λi, i = 1, 2, . . . , k entonces la variable aleatoria X =
k
i=1
Xi tiene
distribuci´on de Poisson de par´ametro λ =
k
i=1
λi.
Teorema 1 Teorema de Poisson
Sea {Xn}∞
n=1 una sucesi´on de v. a., tales que Xn ; B(n, pn). Si lim
n→∞
npn = λ y X es una
v.a. con distribuci´on P(λ), se tiene que:
lim
n→∞
p(Xn ≤ x) = p(X ≤ x), para cada x ∈ IR.
Observaci´on 5 Este ´ultimo resultado se utiliza en la pr´actica para aproximar las probabilidades
relativas a una variable B(n, p) con n grande y p peque o por probabilidades relativas a una
variable de Poisson de par´ametro λ = np. Utilizaremos esta aproximaci´on cuando n ≥ 25 y
p < 0.01.
5. Estad´ıstica 56
5.2 Modelos continuos.
(a) Distribuci´on exponencial
La variable aleatoria T que en los procesos de Poisson modeliza el tiempo entre la ocurrencia de
dos sucesos consecutivos, tiene una distribuci´on que llamaremos exponencial de par´ametro λ > 0;
la denotaremos por T; Exp(λ). Su ley de probabilidades es:
SX = (0, ∞)
f(t) =
0 si t < 0
λe−λt si t ≥ 0
Su funci´on de distribuci´on viene dada por:
F(t) = 1 − e−λt
Sus medidas principales son:
E(X) = 1
λ V ar(X) = 1
λ2 .
Es el ejemplo m´as simple de las distribuciones utilizadas en fiabilidad.
Proposici´on 2 Propiedad de p´erdida de memoria de la distribuci´on exponencial.
Si X es una v.a. con distribuci´on Exp(λ), entonces
p(X ≥ x + h/(X > x)) = p(X ≥ h)para cada x, h ≥ 0.
Demostraci´on
Para cada x > 0 y cada h ≥ 0,
p(X ≥ x + h/(X > x)) =
p(X ≥ x + h)
p(X > x)
=
=
e−λ(t+h)
e−λt
= e−λh
= p(X ≥ h)
(b) Distribuci´on uniforme continua
La variable aleatoria X tiene una distribuci´on uniforme continua de par´ametros a y b, que
denotaremos por U(a, b), si su ley de probabilidades es:
SX = [a, b] (´o (a, b], [a, b), (a, b); denotaremos al intervalo por I)
f(x) =
1
b−a si x ∈ I
0 en otro caso
Sus medidas principales son:
E(X) =
a + b
2
V ar(X) =
(b − a)2
12
.
6. Estad´ıstica 57
(c) Distribuci´on normal
La variable aleatoria X tiene una distribuci´on normal de par´ametros µ y σ, X ; N(µ, σ) si su
ley de probabilidades es:
SX = IR
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
1
2
x − µ
σ
2
, para cada x ∈ IR.
Propiedades 2 i. E(X) = µ
ii. V ar(X) = σ2
iii. Es sim´etrica respecto de media, mediana y moda, que coinciden con µ.
iv. La funci´on de densidad tiene puntos de inflexi´on en µ ± σ.
v. La funci´on de densidad tiende asint´oticamente a 0 en ±∞.
vi. Q1 = µ − 0.675σ, Q3 = µ + 0.675σ y por tanto, el IRQ es 1.35σ.
vii. En µ ± 2σ se encuentra el 95.5% de la distribuci´on y en µ ± 3σ se encuentra el 99.7% de la
misma.
viii. Si X ; N(µ, σ), entonces la variable estandarizada, Z = X−µ
σ tiene distribuci´on N(0, 1).
ix. Dos distribuciones normales cualesquiera est´an relacionadas mediante una transformaci´on
lineal.
x. Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes, tales que Xi ; N(µi, σi), i =
1, . . . , n, entonces la v.a. X =
n
i=1
Xi tiene distribuci´on N(
n
i=1
µi,
n
i=1
σ2
i ).
5.3 Teorema Central del L´ımite.
El modelo normal es uno de los utilizados m´as frecuentemente, debido a que en muchas situaciones, los
resultados de un experimento son consecuencia de ”m´ultiples causas de peque˜a incidencia individual,
pero cuyos efectos se suman, dando lugar a los resultados del experimento” (por ejemplo, los errores
de medida, en muchas situaciones); en estas situaciones, el modelo normal suele aproximar bien el
comportamiento de los resultados del experimento. El siguiente teorema explica el buen funcionamiento
del modelo normal:
Teorema 2 Sea {Xn}∞
n=1 una sucesi´on de variables aleatorias independientes con E(Xi) = µi y
V ar(Xi) = σ2
i . Entonces la sucesi´on de variables aleatorias definida por:
Zn =
n
i=1
Xi −
n
i=1
µi
n
i=1
σ2
i
1/2
converge asint´oticamente a una variable aleatoria con distribuci´on N(0, 1), es decir, si Fn es la funci´on
de distribuci´on de la variable Zn, n = 1, 2, . . ., y φ es la funci´on de distribuci´on de una variable N(0, 1),
entonces para cada x ∈ IR,
lim
n→∞
Fn(x) = φ(x).
7. Estad´ıstica 58
Tambi´en se dice que
n
i=1
Xi es asint´oticamente una variable N(
n
i=1
µi,
n
i=1
σ2
i )
Observaci´on 6 • Si {Xn}∞
n=1 es una sucesi´on de variables aleatorias independientes e id´enticamente
distribuidas, todas ellas tendr´an la misma media (µ) y la misma desviaci´on t´ıpioca (σ), y en ese
caso, la variable
n
i=1
Xi es asint´oticamente una variable N(nµ,σ
√
n)
• El teorema anterior nos dice que si X1, X2, . . . Xn son variables aleatorias independientes, las
probabilidades p(X ≤ x) de la variable X =
n
i=1
Xi se pueden aproximar por valores de la funci´on
de distribuci´on de la variable Y ; N(
n
i=1
E(Xi),
n
i=1
σ2(Xi)), si n es suficientemente grande.
En general, la aproximaci´on es v´alida para valores n ≥ 30.
• Correcci´on de continuidad: Si la variable X =
n
i=1
Xi es discreta, para que la aproximaci´on de
la variable X por la variable Y ; N(
n
i=1
E(Xi),
n
i=1
σ2(Xi)) resulte m´as precisa se utiliza la
llamada correcci´on de medio punto o de continuidad, que asigna a FX(b) el valor FY (b + 0.5) si
b ∈ SX.
Si aplicamos el teorema anterior a una sucesi´on de variables con distribuci´on B(p) (Bernouilli de
par´ametro p), se obtiene el siguiente resultado:
Teorema 3 Teorema de De Moivre
Sea {Xn}∞
n=1 una sucesi´on de variables aleatorias independientes con distribuci´on B(n, p). Entonces
Xn es asint´oticamente normal, con par´ametros µ = np y σ =
√
npq.
Observaci´on 7 • Como la distribuci´on binomial es discreta y la normal es continua, hay que
aplicar la correcci´on de medio punto o de continuidad, para aproximar p(X ≤ b).
• La aproximaci´on de la probabilidad p(X ≤ b) de una binomial X ; B(n, p) por la probabilidad
p(Y ≤ b+0.5) de una normal Y ; N(np,
√
npq) no es adecuada para valores b ∈ SX en las colas
de la distribuci´on binomial. En concreto, para valores fuera de un intervalo np ± 3
√
npq.
• Tampoco es, en general, adecuada la aproximaci´on para valores p < 1
n+1 ´o p > n
n+1 .
• Si p es pr´oximo a 0.5, con n > 10 la aproximaci´on es satisfactoria.
• Si 0.1 ≤ p ≤ 0.9 y n ≥ 25 la aproximaci´on es satisfactoria.
• Como consecuencia del teorema de Poisson y del teorema de De Moivre, se puede demostrar
que una distribuci´on de Poisson de par´ametro λ se puede aproximar por medio de una variable
aleatoria N(λ,
√
λ). Generalmente, esta aproximaci´on es satisfactoria si λ > 5.
8. Estad´ıstica 59
5.4 Otras distribuciones continuas.
(a) Distribuci´on gamma:
La variable aleatoria X tiene una distribuci´on gamma de par´ametros α y β(ambos positivos) si
su ley de probabilidades es:
SX = (0, ∞)
f(x) =
0 si x ≤ 0
β
Γ(α) (βx)α−1e−βx si x > 0
Su funci´on de distribuci´on viene dada por:
F(t) = 1 −
r−1
i=0
e−βx (βx)i
i!
Sus medidas principales son:
E(X) = α
β V ar(X) = α
β2 .
En general, esta variable se utiliza para modelizar el tiempo hasta el fallo en distintos componentes.
En el caso particular de que α = 1, entonces la distribuci´on gamma es una exponencial de
par´ametro β.
En el caso particular de que α sea un n´umero natural, la variable X es suma de α v. a.
independientes con distribuci´on exponencial, de par´ametro β
(b) Distribuci´on de Weibull.
La variable aleatoria X tiene una distribuci´on de Weibull de par´ametros α y β (ambos positivos)
si su ley de probabilidad es:
SX = (0, ∞)
f(x) =
0 si x ≤ 0
α
βα exp − x
β
α
si x > 0
Su funci´on de distribuci´on viene dada por:
F(t) = 1 − exp −
x
β
α
Sus medidas principales son:
E(X) = βΓ 1 + 1
α V ar(X) = β2 Γ 1 + 2
α − Γ 1 + 1
α
2
En general, esta variable se utiliza para modelizar el tiempo hasta el fallo en distintos componentes.