El documento detalla métodos de optimización en funciones multivariables, incluyendo condiciones para identificar máximos y mínimos locales, pruebas de segundas derivadas, y la aplicación del método de Lagrange para optimización bajo restricciones. También se describe la matriz jacobiana como herramienta para aproximar funciones y se abordan las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker para programación no lineal con restricciones. Se ejemplifica cómo encontrar puntos críticos y clasificar sus propiedades relativas mediante el análisis de derivadas parciales.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Porlamar
Cátedra: Optimización de Sistemas y Funciones
Realizado por:
Br. Silva Mattey, Luis Felipe
C.I.: 20.905.586
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez
Porlamar, Junio 2014.
(Ejercicios)
Métodos de Optimización

2. Ejercicios de Extremos no
restrictos con dos variables
• Se dice que la función z = f (x, y) tiene un máximo local en el punto P( X0, Y0) es
decir, cuando x = x0 , y= y0 si se cumple que:
f(x0, y0 ) > f(x, y)
para todos los puntos (x, y) suficientemente próximos y distintos al punto (x0, y0)
• De igual manera, se dice que la función z = f (x, y) tiene un mínimo local en el
punto P(x0, y0 ) es decir, x = x0 , y= y0 cuando, si se cumple que:
f(x0, y0 ) < f(x, y)
para todos los puntos (x, y) suficientemente próximos y distintos al punto (x0, y0)
Los puntos de máximo y de mínimo de z = f (x, y) son los extremos de esa función

3. Teorema
1.Condición necesaria para la existencia de un extremo: Si la función
z = f (x, y)tiene un extremo cuando x = x0 , y= y0 entonces cada
derivada parcial de primer orden de z se anula para estos valores de
las variables independientes o bien la derivada no existe. Los puntos
de la función donde se verifica que las derivadas parciales de primer
orden son cero o no existen son puntos críticos de la función.
Nótese que la existencia de puntos críticos es una condición necesaria
para un extremo, es decir, los extremos (máximos o mínimos) de una
función son puntos críticos. Sin embargo, no en todos los casos en
que las derivadas parciales sean cero o no existan tendremos
extremos. En otras palabras, la existencia de puntos críticos de una
función no es suficiente para la existencia de un punto extremo.
2. Prueba de las segundas derivadas: Tenemos una función z = f(x, y)definida en
un dominio en el que está el P(x0, y0 ) que tiene derivadas parciales continuas al
menos de hasta segundo orden. Suponemos que P(x0, y0 ) se anulan las
derivadas parciales de primer orden. Esto es:

4. Luego, se puede demostrar que P(x0, y0 ) es :
A.- Un máximo, si evaluadas las derivadas parciales de
segundo orden en x = x0 , y= y0 se tiene que:
B.- Un mínimo, si evaluadas las derivadas parciales de
segundo
orden en x = x0 , y= y0 se tiene que:
C.- No es máximo ni mínimo si evaluadas las derivadas
parciales de segundo orden x = x0 , y= y0 en se tiene
que:
Este caso se le denomina punto silla. En un punto silla,
la función z = f(x, y) tiene un mínimo en alguna
dirección y un máximo en otra dirección.
D.- Se requiere más análisis para decidir si P( X0, Y0)
es un punto extremo cuando:

5. Ejemplo En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son máximos o mínimos
relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:
f( x, y) = x³ + 4xy – 2y² +1
Solución.
Calculando la primera derivada e igualándola a 0 buscando los puntos críticos:
f ᵪ ( x, y ) = -3x² + 4y, fᵧ ( x, y ) = 4x – 4y
Una vez resuelta la derivada para encontrar los puntos críticos igualamos las dos ecuaciones a 0:
-3x² + 4y = 0 => si se sustituye y : - 3x² = - 4y => y = x = 4/3
4x – 4y = 0 => si se sustituye y : 4x = 4y => y = 4x/4 => y = x
Una vez realizada la igualación se obtiene un sistema de ecuaciones, de la segunda ecuación se
observa y = x = 0 y sustituyendo en la primera obtenemos e y = x = 4/3 y se procede a realizar la
segunda derivada:
f ᵪ ᵪ ( x, y) = - 6x, fᵧ ᵧ ( x, y ) = - 4 y f ᵪ ᵧ ( x, y ) = 4
Para el punto critico se tiene que (0. 0), H(0, 0) = -16 < 0 y, y por el criterio de las derivadas parciales
segundas, se concluye que (0, 0, 1) es el punto de silla de f. Para el punto Critico (4/3, 4/3), se tiene H
(4/3, 4/3) = 16 > 0 y como
f ᵪ ᵪ (4/3, 4/3) = -8 < 0
Se concluye que f(4/3, 4/3) es un máximo relativo

6. Método de la LaGrange
Es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables
sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin
restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada
restricción, son llamadas multiplicadores de LaGrange. El método dice que los puntos donde la
función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de
una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las
funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
En los caso bidimensional. Tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la
condición:
donde c es una constante. Se Puede visualizar las curvas de nivel de f dadas por
para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de
la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán distintas, y
la curva g = c por lo general intersecará y cruzará muchos contornos de f. En general,
moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Sólo
cuando g=c (el contorno que estamos siguiendo) toca tangencialmente (no corta) una curva de
nivel de f, no se incrementa o disminuye el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido
y en los punto de inflexión restringidos de f.

7. Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-
dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,
s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a

8. Ejemplo:
¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función
sobre el círculo ?
Solución:
Se pide calcular los valores extremos de la función sujeta a la restricción
Calculamos los gradientes:
Calculamos los gradientes:

9. Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:
entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.
Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:
Si x=0 en la ec nº4 se obtiene:

10. Luego si
Al evaluar a f(x, y) en esos cuatro puntos se encuentra que:
en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3,
Como consecuencia, f(x, y) tal vez tiene valores extremos en los puntos:
Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y
dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).

11. Matriz Jacobiana
Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las
aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la
función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función
multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial
jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o
coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá
componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la
"matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera
se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal

12. Dada una función vectorial
son las funciones escalares componentes de f. Si
Definimos la matriz Jacobiana de f en el punto a ∈ A, y la representamos por J f(a),
mediante la matriz m × n donde cada fila es el vector gradiente de la
correspondiente función componente, es decir:

13. Ejemplo:
Calcular la Matriz Jacobiana de:
En este caso se tiene
Se observa que los componentes de f serán:
Entonces la matriz Jacobiana será de orden 2 x 3 y
sus elementos serán:
f1 (x1, x2, x3) = x1. x2. x3 y f2 (x1, x2, x3) = x1 - x³3

14. Luego se calculan los elementos de la Matriz Jacobiana
1
2
X2 y X3 actúan como constantes
X1 y X3 actúan como constantes
X1 y X2 actúan como constantes
Debido a que X1 no se encuentra en la expresión f2
Al derivar la X1 la X3 actúa como constante
Al derivar la X3 la X2 actúa como constante
De este modo nuestra Matriz Jacobina de función f es:
La cual es la solución a determinar

15. Condiciones de Kuhn Tucker
Las condiciones de optimalidad de Karush Kuhn Tucker (KKT) permiten abordar la resolución de modelos
de Programación No Lineal que consideran tanto restricciones de igualdad como desigualdad. En términos
comparativos las condiciones de KKT son más generales que el Método de LaGrange el cual se puede
aplicar a problemas no lineales que consideran exclusivamente restricciones de igualdad.
Ejemplo:
Se tiene el siguiente problema de minimizar:
Para ello se aplica la siguiente formula:

16. Entonces nuestro ejercicio se divide en:
Como se trata de minimizar las condiciones vienen dadas por:
x3
Entonces se tiene que Así que las condiciones Kuhn Tucker (KKT) son:

17. Estas condiciones se reducen a:
La solución es: