1. ING. IVÁN SAN JUAN LÓPEZ
Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando
matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la
ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las
transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos
con otras ramas de las matemáticas.
OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA

2. COMPETENCIAS PREVIAS
 Manejar el concepto de los números reales y su representación
gráfica.
 Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.
 Resolver ecuaciones cuadráticas.
 Emplear las funciones trigonométricas.
 Graficar rectas y planos.
 Obtener un modelo matemático de un enunciado.
 Utilizar software matemático.

3. PROPOSITO Y
BENEFICIOS DEL CURSO
PROPOSITO:
Proporcionar al estudiante de ingeniería una herramienta para
resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de
aplicaciones de la ingeniería.
Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se
aplicarán en investigación de operaciones y en otras materias de
especialidad.
BENEFICIO:
Obtener la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico,
heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza
lineal y resolver problemas.

4. CONTENIDO
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
1.1 Definición y origen de los números complejos.
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces
de un número complejo.
1.6 Ecuaciones polinómicas.

5. UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS
EJERCICIOS EN CLASE 40%
PARTICIPACIÓN
20%EJERCICIOS EXTRA CLASE
10%
MANEJO DE SOFTWARE
30%

6.  Discusión y trabajo en grupos.
 Ejercicios en clase .
 Investigaciones.
 Practicas (software MAPLE).

7. Operación
Puntualidad
Participación activa
Respeto
Pedir la palabra
No salirse del tema
Celular en vibrador
Participación

8. ALGEBRA LINEAL
Es una de las ramas de las
matemáticas que estudia conceptos
tales como vectores, matrices,
sistemas de ecuaciones lineales y en
un enfoque más formal, espacios
vectoriales, y sus transformaciones
lineales.

9. UNIDAD I: NÚMEROS
COMPLEJOS

10. 1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN
DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Expresión de la forma a + bi, en donde a y b
son números reales e i es imaginario
 En matemáticas, los números reales son aquellos
que poseen una expresión decimal e incluyen
tanto a los números racionales (como: 31, 37/22,
25,4) como a los números irracionales, que no se
pueden expresar de manera fraccionaria y tienen
infinitas cifras decimales no periódicas, tales
como: π

11. 1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN
DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
 Un número imaginario es un número cuyo
cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando
Leonhard Euler le dio a el nombre de i, por
imaginario de manera despectiva dando a entender
que no tenían una existencia real.

12. 2
44
2
20164
)1(2
)5)(1(4)4()4(
2
4
054
2
2
2
x
x
x
a
acbb
x
xx
ix
ix
i
i
x
x
x
x
2
2
12
2
24
2
124
2
144
2
)1)(4(4
2
1

13. GRAFICA DE UN NÚMERO
COMPLEJO
 Para graficar un número complejo se debe tener en cuenta lo
siguiente:
Teniendo un numero Z= a+bi
Donde
 a y b son números
 a es la parte real y se representara en el eje real del plano
complejo
 b representa la parte imaginaria se representa en el eje
imaginario del plano complejo

14. GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

15. EJEMPLOS DE NÚMEROS
COMPLEJOS
Números
Complejos
i00
i20
i32
i25
i03

16. NÚMEROS REALES
NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS
CERO
UNIDAD IMAGINARIA
CONJUGADO EN
aia 0
bibi0
000 i
ii1
bia
Se dan nombres especiales a algunas clases particulares de
números complejos, como son:
bia

17. biaz
__
z
biaz
__
Si , entonces el conjugado de z, denotado por
.
se define como:

18.  Plano complejo. Un número complejo z se puede
representar como un punto en un plano xy. El punto del
plano (a,b) representara el número complejo z= a+bj , es
decir el número cuya parte real es a y cuya parte imaginaria
es b.
Eje real
Eje Imaginario
Eje real
biazb
a

19. 4+5i
Parte real positiva
Parte imaginaria positiva
-4+5i
Parte real negativa
Parte imaginaria positiva

20. -4-5i
Parte real negativa
Parte imaginaria negativa
4-5i
Parte real positiva
Parte imaginaria negativa

21. 5i
Parte real cero
Parte imaginaria positiva
-5i
Parte real cero
Parte imaginaria negativa

22. 2
i
idbcadicbiadicbia
idbcadicbiadicbia
ibcadbdacbdibciadiacdicbia 2
dic
dic
dic
bia
dic
bia
.
1. Adición.
2. Sustracción.
3. Multiplicación.
4. División.
Al efectuar operaciones con números complejos, se procede como
en el algebra de números reales, reemplazando por -1.

23.  Realizar las siguientes operaciones y escribir la respuesta en
la forma a + bi.
a) ii 2742
b) ii 2639
iiiii 5326392639
Cambiar de
signo

24. 1.- =
2.- (2 – 3i) + (5 + 4i)=
3.- (3 + 4i) + (8 – 3i)=
4.- (3a + 4i) + (0 – 2i)=
5.- (3 + 2i) + (-3 +3i)=
6.- (-5 + 3i) – (4 -2i)=
7.- (1 + 2√-1) + (-2 - 2√-1)=
8.- (5 + 3i) + (3 – 6i)=
9.- (7 – 5i) – (4 – 3i)=
10.- (4 + 3i) – (1-2i)=
ii 2639

25. c)
15-2i-8(-1)
15-2i+8
15+8-2i
23-2i
ii 4523
ii
i
iii
iiiiii
2238215
)1(8215
8101215
425243534523
2

26. d)
i
i
32
23
i
i
i
i
i
i
32
32
32
23
32
23
i
ii
i4
6i4i9i6
i
iiii 2
13
5
13
12
94
512
)1(94
656
3)3(2
32223323
2222
Se multiplica por el conjugado del
denominador
(a+b)(a-b)=a2-b2

27. iia 31322)
ii 2422 ii 93313
iiiii 7193249324

28. iic 325)
iib 432)
i
i
d
2
64
)
iie 6335)
iif 3457)
iig 2134)
i
i
h
24
36
)
iii 215233)
iij 543)
iik 324)
i
i
l
3
39
)

30. ASÍ
22
baz

31. a
b1
tan

32. Z = 4+2i
"18.54'33º2647.4z
Z = -4+2i
180°-26°33’54.18”=153°26’5.82”
"82.5'26º15347.4z

33. Z = -4-2i
180°+26°33’54.18”=206°33’54.1”
Z = -4+2i
360°-26°33’54.18”=333°26’5.82”
"18.54'33º20647.4z "18.54'33º33347.4z

34. rsenb
ra cos

37. Aplicando:
a = 5 cos 30 = 4.33
b = 5 sen 30 = 2.5
Así la forma binómica de z= (5, 30°) es
= 4.33 + 2.5i

38. Representa gráficamente y expresa en forma polar los
siguientes números complejos.
e) = -5 + 2i

39. Expresa la forma binómica de los siguientes números complejos:

40. nisennrisenrz nnn
coscos

41. 5
31 i
243131
22
r
01
60
1
3
tan
)60)(5(2)60)(5()60)(5cos(2cos31 05005
cisisenisennri n
05
3003231 cisi

42.  Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la
conocida como fórmula de Euler:
sincos iei
i
rez
º60
231 i
ei
Ejemplo

43. La raíz enésima de número complejo es otro número
complejo tal que:
Su argumento es:

44. EJEMPLO
 Encontrar las cinco raíces quintas de . Dejar la respuesta en
forma polar
iz 1
21111
22
r
01
45
1
1
tan
5
360
5
45
2
5
245
5
245
cos2452
00
10
100
5
1
5
1
0
kcis
k
isen
k
cis
0010
1
7292 kcis

45. Si
Si
Si
Si
Si
0k 010
1
0010
1
1 9272092 ciscisz
1k 010
1
0010
1
2 81272192 ciscisz
2k 010
1
0010
1
3 153272292 ciscisz
3k 010
1
0010
1
4 225272392 ciscisz
4k 010
1
0010
1
5 297272492 ciscisz

46.  Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una
ecuación cuyo primer término es un polinomio y el segundo es
cero. Así, una ecuación polinómica de grado n se puede escribir
de la forma:
 Donde son los coeficientes de la ecuación y
0... 01
1
1 axaxaxa n
n
n
n
01,..., ayaa nn
0na

48. a
acbb
x
2
42
2,1

49. EJEMPLO:
 Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
034 2
xx
)4(2
)3)(4(4)1()1( 2
2,1x
a
acbb
x
2
42
2,1
3,1,4 cba
8
4811
2,1x 8
471
2,1x
8
1471
8
)1)(47(1
2,1x
8
471
2,1
i
x
8
47
8
1
1
i
x
8
47
8
1
2
i
x

50. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE