1. DESARROLLO DE PROCESOS ALGEBRAICOS Y CÁLCULO DE
ÁREAS, PERÍMETROS Y VOLÚMENES
UNIDAD II.
NÚMEROS COMPLEJOS
Resultado de Aprendizaje:
Operar números complejos
en forma Binómica

2. El conjunto de números Reales

3.  Definición de números complejos
Los números complejos expresan la suma entre
un número real y un número imaginario. Un
número real es aquel que puede ser expresado
por un número entero (4, 15, 2686) o decimal
(1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un
número imaginario es un número cuyo cuadrado
es negativo. El concepto de número imaginario
fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777,
cuando le otorgó a √-1 el nombre de i (de
“imaginario”).

4.  La noción de número complejo aparece ante la
imposibilidad de los números reales de expresar
las raíces de orden par de los números negativos.
Los números complejos pueden expresar todas las
raíces de los polinomios, algo que los números
reales no están en condiciones de hacer.
 De esta forma, los números complejos se usan en
diversos campos de las matemáticas, en la física y
en la ingeniería. Gracias a su capacidad para
representar la corriente eléctrica y las ondas
electromagnéticas, son utilizados con frecuencia
por la electrónica y las telecomunicaciones.

5.  El cuerpo de los números reales está formado por pares
ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte
real, mientras que el segundo componente (b) es la
parte imaginaria. Los números imaginarios puros son
aquellos que sólo están formados por la parte
imaginaria (por lo tanto, a=0).
 Los números complejos forman el cuerpo complejo (C).
Cuando el componente real a es identificado con el
complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales (R)
aparece como un subcuerpo de C. Por otra parte, C
forma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R.
Esto demuestra que los números complejos no pueden
ser ordenados, a diferencia de los números reales.

7. Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1 i1 = i i2 = − 1 i3 = − i
i4 = 1 i5 = i i6 = − 1 i7 = − i
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una
determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente
de la potencia equivalente a la dada.

8. EJEMPLO: EJERCICIOS (Pág 38)Manual del
estudiantes :
Calcular el valor de las siguientes
potencias de i.
1) i25
2) i101
3) i42

9. Números complejos en forma binómica
 Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica .
 El número a se llama parte real del número complejo.
 El número b se llama par te imaginaria del número complejo
 Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i =
a.
 Si a = 0 el número complejo se reduce a bi , y se dice que es un número
imaginario puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por :
 Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
 Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
 Dos números complejos son iguales cuando t tienen la misma componente
real y la misma componente imaginaria.

10. CONJUGADO DE UN COMPLEJO
Sea a+bi, un numero complejo, entonces su conjugado es el complejo a-bi.
En concreto para obtener el conjugado de un complejo basta cambiarle al
complejo el signo de su parte imaginaria.
EJMPLOS:
Hallar el conjugado de los siguientes complejos.
1) 2+3i = 2-3i
2) -5-4i = -5+4i
10) -8i = 8i
Ejercicio: Hallar el conjugado de los siguientes complejos.
-3-3i =_____________
4-8i =_____________

11. Representación gráfica de números complejos
Los números complejos se representan en unos ejes car
tesianos. El eje X se l lama eje real y el Y, eje
imaginario. El número complejo a + bi se
representa:
Por el punto (a,b) , que se llama su afijo ,

12. Representación gráfica de números complejos
 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b)

13. Representación gráfica de números complejos
Recordar:
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje
real , X.
Los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

14. Operaciones de números complejos en
la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
 La suma y diferencia de números complejos se
realiza sumando y restando partes reales entre sí y
partes imaginarias entre sí .
 ( a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
 ( a + bi ) − (c + di ) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo: ( 5 + 2 i ) + ( − 8 + 3 i ) − (4 − 2i )
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i
= − 7 + 7i

15. Operaciones de números complejos en
la forma binómica
 Multiplicación de números complejos
 El producto de los números complejos se realiza
aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que :
i 2 = − 1.
 ( a + bi ) · (c + di ) = (ac − bd) + (ad + bc) i
 (5+2i)·(2−3i)=
 =10 − 15i + 4i − 6 i 2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

16. Operaciones de números complejos en
la forma binómica
 División de números complejos
 El cociente de números complejos se hace racionali
zando el denominador ; esto es, multiplicando numer
Dividir:

17. Forma polar de un complejo
 ¿Que es un sistema de coordenadas polares?
 El sistema de coordenadas polares es un
sistema de coordenadas bidimensional en el cual
cada punto del plano se determina por un ángulo y
una distancia.
 De manera más precisa, se toman: un punto O del
plano, al que se le llama origen o polo, y una recta
dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O,
llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema
cartesiano), como sistema de referencia.

18. Coordenadas polares
 Con este sistema de referencia y una unidad de
medida métrica , todo punto P del plano
corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la
distancia de P al origen y θ es el ángulo formado
entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de
O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y
decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se
conoce como la «coordenada radial» o «radio
vector», mientras que el ángulo es la «coordenada
angular» o «ángulo polar».

19. Localización de un punto en una coordenada polar

20. Sistema de coordenadas polares con varios ángulos
medidos en grados.

21. Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas
polares.

22. Forma polar de un complejo
 Repasamos de nuevo:
 Otra definición de coordenadas polares
 Es un plano en el cual se localiza un punto fijo “0”
llamado: ORIGEN o POLO, a partir del cual se dibuja un
segmento de línea o recta horizontal dirigido hacia la
derecha llamado: EJE POLAR.
 Un punto cualquiera “P”en este plano se
ubica por el par ordenado(r, θ), donde “r”
es una longitud que se mide sobre el eje polar
y “θ” indica el desplazamiento del eje polar.

23. Circulo unitario
En el circulo unitario se pueden apreciar los valores del seno y del coseno para
los ángulos notables así como también de los ángulos equivalentes en los otros
cuadrantes,. En los pares indicados, la primera componente es el valor del
coseno y la segunda componente el valor del seno para cada valor expresado
tanto en radianes como en grados.

25. Ejercicios de aplicación pág. .45

26. CONVERSIÓN DE LA FORMA RECTANGULAR
A POLAR Y VICEVERSA.
Consideremos el siguiente diagrama
Es la representación simultanea del punto P, tanto en el plano cartesiano (x, y), como
en el plano polar (r, θ).
A partir del gráfico podemos obtener la relación de ambos sistemas de coordenadas.
Al observar el grafico, podemos expresar que:

27. Ejemplo: Convertir (2,5) a forma polar
Desarrolle el siguiente ejercicio convirtiendo a forma polar : ( -3,4 )

28. Luego (-3,4) equivale a (5,126.870)

29. Tu turno …
 Convertir las siguientes coordenadas polares a su
equivalente rectangular.
2. (2,2π/3)
3. (10,5/4π)
4. (9,-π/3)

30. Solución …
Para hallar “ y”
Sen α = cat. op.
Hip.
Sen α = y y = r sen α
r
y = 2 sen 60º
x y = 1.73
2
Para hallar “x”
y Cos α = cat. Ady.
120º
Hip.
60º
Cos α = x x = r cos α
r
x = 2 cos 60º
x = 1
Ojo: como el punto en x esta en el
cuadrante II, por lo tanto es negativo
(2,2π / 3) = (−1,1.73)

31. Solución …

32. Conversión de un complejo a
Polar

34. ó
Mdulo de un com …
plejo

36. Ejemplo:

37. Cómo expresar el complejo en su equivalente polar …
 Así sea, z=a+bi un complejo cualquiera, se puede
entonces expresar el complejo z en su equivalente
polar de la siguiente manera:
Si x = r cos θ, y= r sen θ
 Luego, z = a+bi
 z = rcosθ + rsenθi
z = r(cosθ + isenθ) forma polar de un complejo
 Luego también se puede expresar así:
 Z= a+bi = rcisθ = rθ=reiθ

38. Ejercicio …
Para los siguientes complejos en forma estándar, o rectangular a su forma
polar equivalente.
a) z1=8-2i b) z2=6+5i c) z3=-2+4i
z1=8+ 2i
z1=8 - 2i

39. Números complejos en su forma polar a su
equivalente en forma estándar o rectangular
 a)z1=10cis1200
 b)z2 =15 ‹ 2250
 c)z3=36e-π/3i
 Solución a) z1=10cis1200
Ir al circulo unitario y encontrar el equivalente de 120º
Ya recordaste que 120º = 2/3 π = (-1/2, √3/2)
Entonces sustituye =
Z1= 10 ( cos 120º+isen120»)= 10(-1/2+ √3/2)
z1?= -5 + 8.66 i

40.  Tu turno
 Continua ….