Algebra

1. Introducción a los
números complejos
Los números complejos son un concepto matemático que amplía el conjunto de los
números reales. Además de representar cantidades, los números complejos se
utilizan en numerosas áreas de la física, ingeniería, y matemáticas aplicadas.
Comprender su definición, notación, operaciones básicas, y representaciones
cartesiana y polar es esencial para avanzar en el estudio de estos números.
Algebra Superior. Semana 2. Profesor: Iliana Jeanette Rodríguez López. Jesús Ramón Sánchez Martorelli. Matrícula 010082806
Sistemas Computacionales. Enero 16, 2024

2. Definición y notación de números complejos
Definición
Los números complejos se componen de dos
partes: la parte real y la parte imaginaria,
generalmente escritas en la forma a + bi,
donde "a" representa la parte real, "b"
representa la parte imaginaria, y "i" es la
unidad imaginaria (raíz cuadrada de -1).
Notación
La notación estándar para un número
complejo es z = a + bi, donde "z" es el número
complejo, "a" es la parte real, "b" es la parte
imaginaria, y "i" es la unidad imaginaria.

3. Operaciones básicas con números complejos
Suma y Resta
La suma y resta de números
complejos se realiza sumando o
restando las partes reales e
imaginarias por separado.
Multiplicación y División
La multiplicación y división de
números complejos se efectúa
utilizando las reglas del álgebra,
teniendo en cuenta que la unidad
imaginaria al cuadrado es igual a -1.
Conjugado de un número complejo:
El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Por ejemplo, el conjugado de 3 + 2i es 3 - 2i.
La potenciación de números complejos
se realiza elevando tanto la parte real
como la parte imaginaria a la potencia
indicada. Por ejemplo, para elevar (3 +
2i) al cuadrado, se eleva tanto la parte
real (3^2 = 9) como la parte imaginaria
(2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4. El resultado es
9 - 4 = 5.
Potenciación
El valor de "i" es la unidad
imaginaria, que se define
como la raíz cuadrada de -
1. Es decir, i = √(-1).
Valor de "i":

4. Plano Cartesiano
Los números complejos se representan
en un plano cartesiano, donde la parte
real se ubica en el eje x y la parte
imaginaria en el eje y. Esto permite
visualizarlos como puntos en el plano.
Módulo y Argumento
La representación cartesiana incluye el
cálculo del módulo, que corresponde a
la distancia al origen, y el argumento,
que representa el ángulo formado
entre el número complejo y el eje x
positivo.
Forma Polar
La forma polar de un número complejo
se expresa como r(cosθ + i sinθ), donde
"r" es el módulo y "θ" es el argumento.
Relación entre Representaciones
La representación polar permite
visualizar los números complejos en
términos de su módulo y argumento,
ofreciendo una alternativa a la
representación cartesiana.
Representación de números complejos

5. Aplicaciones de los números complejos enlas
ciencias y enla ingeniería
Circuitos Eléctricos
Los números complejos son utilizados para analizar circuitos eléctricos y calcular
voltajes y corrientes en sistemas de corriente alterna.
Control de Sistemas
En ingeniería de control, los números complejos son esenciales para el
análisis de estabilidad y la respuesta de sistemas dinámicos.
Matemáticas Física Ingeniería Electrónica
Fractales y Geometría Óptica y Ondas Control de Sistemas Análisis de Sistemas
Señales y Ondas
Los números complejos son esenciales para describir señales y ondas en
campos como la óptica y la teoría electromagnética.
Geometría Fractal
Los números complejos son cruciales en la representación y generación de
figuras fractales en geometría y teoría del caos.
Mecánica Cuántica
La teoría de los números complejos se aplica en la descripción matemática de fenómenos
cuánticos y el comportamiento de partículas subatómicas.

6. Referencias
UTEL. Álgebra superior. (2023). Conversación sobre álgebra superior
[Asistente virtual]. Recuperado de
https://aula03.utel.edu.mx/mod/forum/discuss.php?d=13932
Osés, J. J. (2004). Los números complejos. En Temas Matemáticos.
Universidad de los Andes Bogotá - Colombia.
https://apps.utel.edu.mx/syllabus/cloud/visor.php?container=L1C109
_1256_833_38204_0&object=Complejos.pdf