Números Complejos Esenciales

NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal
Gustavo Salinas E. 1
NÚMEROS COMPLEJOS
INTRODUCCION:
El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan hermoso por integrar la trigonometría, el álgebra y la
geometría, es muy poco estudiado en educación media. Para muchos docentes, la finalidad de los números
complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad.
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario. Los números complejos
se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica
cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar
las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que
afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los números
complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos que
contiene a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más
importante de la inteligencia humana
El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico, por qué se pueden sumar, restar,
multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.
Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de
números negativos.
En 1702 G. W. Leibniz, escribió que los números imaginarios es un “hermoso y maravilloso refugio del espíritu
divino”, casi entre la existencia y no existencia. Por ésta razón les invito a conocer y estudiar los números
complejos, más que otro sistema numérico, un mundo donde la magia y la imaginación aparecen en cada esquina.
FRACCIÓN IMPROPIA
NÚMEROSCOMPLEJOS
NÚMEROS REALES 
IMAGINARIOS
RACIONALES 
IRRACIONALES
ENTEROS 
FRACCIONARIOS
ALGEBRAICOS IRRACIONALES
TRASCENDENTES
FRACCIÓN PROPIA
NATURALES 
CERO
NEGATIVOS

NÚMEROS NATURALES ( ) .- Se obtienen al sumar el número 1 a sí mismo la cantidad de veces:
Uno: 1.
Naturales ( ) Primos: 1 + 1 + 1 = 3
Compuestos: 1 + 1 + 1 + 1 = 4
NÚMEROS ENTEROS ( ) .- es el conjunto de los naturales distintos de cero, los opuestos de los naturales y el cero.
=  ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,....  
NÚMEROS RACIONALES ( ) .- son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos enteros con
denominador distinto de cero.
Exacta.
Racionales ( ) Periódica Pura.
Periódica Mixta.
CANTIDADES IMAGINARIAS
DEFINICIÓN.- Las cantidades imaginarias son las raíces de índice par de cantidades negativas.
Ejemplos: 4 , 4
16 , 8
12 .
UNIDAD IMAGINARIA.- La cantidad 1 se le denomina “unidad imaginaria”. Según la notación de Gauss, la
unidad imaginaria se representa por la letra “i”.
1 ;i   Por definición.
2
1i  
Ejemplo: 4 4.( 1) 4 1 2 1 2 .i       
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
1)
1 1
( 1)i i  
2)
2
1 1 1i     
3)
3 2
.i i i i  
4)
4 2 2
. 1i i i 
5)
5 4
. 1.i i i i i  
6)
6 4 2
. 1.( 1) 1i i i    
7)
7 4 3
. 1.( )i i i i i    
8)
8 4 4
. 1.1 1i i i  
De lo anterior se observa que los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten en
períodos de 4 en 4 y estos valores son: i, -1, -i, 1.
TRANSFORMACIÓN DE LA POTENCIA im, DONDE “m” ES ENTERO Y POSITIVO.
En el caso que se dese calcular
m
i , donde m > 4:

1) Se divide m entre 4, de donde se tiene:
m = 4q + r.
2) 4 4 4 2
. ( ) . .m q r q r q r
i i i i i i i
   
m r
i i 
Donde, r = 0, 1, 2, 3.
0
1
2
3
0 1
1
2 1
3
m r
r i
r i i
i i
r i
r i i
   

  
 
   
    
CONCLUSIÓN:
Cuando “i ” está elevada a una potencia positiva, si el exponente es múltiplo de 4, el resultado es la unidad; si el
exponente es igual a un múltiplo de cuatro más 1 el resultado es i; si es igual a múltiplo de cuatro más 2 el resultado
es -1; y si es igual al múltiplo de cuatro más 3 el resultado es igual a -i.
Ejemplo:
151 3
i i 
NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICIÓN.- Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. Son de la forma:
a bi 
Donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos.
El conjunto de todos los números complejos se designa por :
 / ,a bi a b   .
La expresión a bi , se llama forma binómica de un número complejo porque tiene dos componentes:
componente real. Re( )a z a 
componente imaginaria. Im( )b z b 
También se llama parte real y parte imaginaria de z.
CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS
COMPLEJO REAL.- Es aquel cuya parte imaginaria es nula: 0 .a i a  Ejemplo: 3 + 0i = 3.
COMPLEJO PURO.- Es aquel cuya parte real es nula: 0 .bi bi  Ejemplo: 0 – 7i = -7i.
COMPLEJO NULO.- Es aquel cuya parte real y cuya parte imaginaria son nulas: 0 0 0.i 

COMPLEJOS IGUALES.- Son dos complejos, que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias.
Ejemplo: Si: a + bi = c + di
∴ a = c
b = d
COMPLEJOS CONJUGADOS.- Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de signos
contrarios sus partes imaginarias.
.z a bi y z a bi   
Ejemplo: 6 5z i  , la conjugada es: 6 5 .z i 
COMPLEJOS OPUESTOS.- Son dos complejos que tienen iguales, pero de signos contrarios, tanto las partes
reales como las imaginarias.
.z a bi y z a bi     
Ejemplo: 9 4z i  , el opuesto es: 9 4 .z i   
FORMA DE RECONOCER LA COMPONENTE REAL Y LA COMPONENTE IMAGINARIA.
Dadas las siguientes expresiones: 3 +2i; - 3 5 ;i  0 + 2i; 7 +0i, son números complejos. Sus componentes son:
3 + 2i 3 5i  0 + 2i 7 +0i
COMPONENTE REAL 3 3 0 7
COMPONENTE IMAGINARIA 2 5 2 0
Reconocer las siguientes expresiones e indicar qué clase de números complejos son:
1. Los complejos: 4 + 0i; 7 0i Son reales.
2. Los complejos:
3
5 3 ; 5 ; 5 ; .
2
i i i i   Son imaginarios.
3. Los complejos:
3
2 ; ; ; .
5
i i i i  Son imaginarios puros.
4. El opuesto de: 5 2z i  es 5 2z i    .
5. La conjugada de: 5 2z i  es 5 2z i  .
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO
1.- REPRESENTACION CARTESIANA
Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real
al plano complejo.
Se realiza utilizando un sistema de ejes rectangulares o cartesianos; en el eje “x” se representa los números reales y
las cantidades imaginarias en el eje “y”. Al plano formado por los ejes real e imaginario se denomina llama Plano de
Gauss. El número complejo a bi se representa mediante el punto ( , )a b , que se llama su afijo, o mediante un
vector (flecha) de origen (0,0) y extremo ( , )a b .
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, y los imaginarios puros, sobre el eje imaginario.
En los siguientes gráficos se demuestra, porqué se ubican los reales en el eje x y los imaginarios en el eje y.

Ejemplos.
1. Graficar el siguiente número complejo: 4 4z i 
2. Dado el número complejo: 5 4z i  , Graficar:
a) El número complejo.
b) El opuesto del número complejo.
c) La conjugada del número complejo.
5i
4i
3i
2i
i
-5 -4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4 5
-i
-2i
-3i
-4i
-5i
5 + 4i = (5 , 4)
5 - 4i = (5 , -4)
-5 - 4i = (-5 , -4)

2.- MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
MÓDULO.- El módulo de un número complejo z a bi  , es la longitud del vector. El módulo de dicho número se
lo representa por z .
En el triángulo rectángulo ONP.
ON2 + NP2 = OP2
2 2 2
a b r 
2 2
z r a b  
ARGUMENTO.- El argumento de un número complejo z; z ≠ 0. El ángulo que forma el vector con el eje real se
designa por arg(z).
z r Módulo del número complejo.
Arg(z) =  z = r Esta es la forma módulo-argumental o polar de describir un número complejo.
360 720 1080
tan arctan
.......o o o
b b
a a
r r r r   
 
  
 
    
 
   
Para determinar el ángulo polar se puede ayudar, utilizando
las funciones coseno y seno en el círculo trigonométrico
como se observa en el gráfico.
PASO DE LA FORMA BINÓMICA ALA FORMA POLAR
Si conocemos el número complejo z a bi  en forma binómica, permite pasar a la forma polar r .
2 2
z r a b  
tan
b
a
 
Ejemplo: Pasar a forma polar el siguiente número complejo: 2 2 3z i   .
SOLUCIÓN
Módulo: 2 2
r a b 
2 2
( 2) (2 3)r   
4 12r  
+RealOl N
P
|z| = r
 = arg(z)

16
4
r
r


z r
120 (2 /3)4 4 radz  
2 ( )
120
360
rad
  

Argumento: tan
b
a
 
2
3
rad

  .
2 3
tan 3
2
   

1
tan ( 3) 
 
120  
PASO DE LA FORMA POLAR A LA BINÓMICA
Si se conoce z r , en forma polar se puede determinar a y b.
De acuerdo al gráfico y aplicando las funciones coseno y seno,
tenemos:
cos cos .
a
a r
r
   
.
b
sen b rsen
r
   
Pero z a bi  , entonces cosz r rsen i   .
(cos ) forma trigonométrica que permite pasar de forma polar a forma binómica.z r sen i   
Ejemplo: Transformar la expresión dada en forma polar 2105z  , a la forma binómica.
SOLUCIÓN
cos 5cos210a r   
3 5 3
5
2 2
a
 
     
 
5 210b rsen i sen i  
1 5
5
2 2
b i i
 
    
 
5 3 5
2 2
z a bi i    
210
5 3 5
5 .
2 2
z i   
O
+RealOl N
P
|z| = r

210°
bi5z r 
z
a

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
La suma, la resta y la multiplicación de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de
los números reales y siempre tomando en cuenta que 2
1.i  
SUMA.- Esta operación se basa en la suma de los números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte
imaginaria.
Si: 1 1 1 2 2 2yz a bi z a b i   
1 2 1 1 2 2( ) ( )z z a bi a b i     
1 2 1 2 1 2( ) ( )z z a a b b i    
Ejemplo: 1 3 2z i  y 2 8 4z i   SOLUCIÓN
1 2
1 2
1 2
(3 2 ) ( 8 4 )
(3 8) (2 4)
( 5 6 )
z z i i
z z i
z z i
     
    
   
RESTA.- La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado.
Si: z a bi  ( ) (c )z w a bi di     
w c di  ( ) ( )z w a c b d i    
Ejemplo: 4 7z i  y 2 3w i  SOLUCIÓN
(4 7 ) (2 3 )
(4 2) (7 3)
(2 4 )
z w i i
z w i
z w i
    
    
  
Ejercicio: Representa gráficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba que z1 + z2 es una diagonal del
paralelogramo de lados z1 y z2. z1 + z2 = 5 + 7i.
7i
i
5i
z 1 + z 2
z 1
z 2
1 2 3 4 5

PROPIEDADES PARA LA SUMA
La suma cumple con las siguientes propiedades.
1.- Propiedad Asociativa:
Si tenemos: z a bi  ; w c di  y u e fi 
   
   
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
z w u z w u
a bi c di e fi a bi c di e fi
a bi c e d f i a c b d i e fi
a c e b d f i a c e b d f i
    
          
          
          
2.- Propiedad Conmutativa:
Si tenemos: z a bi  y w c di 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
z w w z
a bi c di c di a bi
a c b d i c a d b i
  
      
      
3.- Elemento Neutro.- El número complejo O = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. Si z a bi  .
0 ( ) (0 0 )
0 ( 0) ( 0)
0
0
z a bi i
z a b i
z a bi
z z
    
    
  
 
4.- Propiedad del Opuesto: Si z a bi  es un número complejo, el opuesto de z es z a bi    , el cuál es
otro número complejo y el opuesto satisface.
Entonces:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) (0 0 )
( ) 0
z z a bi a bi
z z a a b b i
z z i
z z
      
     
   
  
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS.- Esta operación aunque pareciera complica, es consecuencia de las
reglas de la multiplicación para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de:
1.- Multiplicación de un número real por un número complejo, donde  es el número real y z a bi  el número
complejo, se multiplica el número real por cada componente del número complejo.
. ( )
.
z a bi
z a bi
 
  
 
 
Ejemplo: Sean:  = 6 y 7 5z i 
. 6(7 5 )
. 42 30
z i
z i


 
 

2.- Multiplicación de dos números complejos, siendo z a bi  y w c di  , se resuelve como si se tratara
de expresiones algebraicas y se tiene:
 
2 2
. ( ).( )
. ( ); pero 1
. ( 1) ( )
. ( ) ( )
z w a bi c di
z w ac adi bci bdi i
z w ac bd ad bc i
z w ac bd ad bc i
  
     
    
   
Ejemplo: 4 3z i  y 3 5w i   SOLUCIÓN
 
2 2
. (4 3 ).( 3 5 )
. ( 12 20 9 15 ); pero 1
. 12 15( 1) (20 9)
. (12 15) (11)
. 3 11
z w i i
z w i i i i
z w i
z w i
z w i
   
      
     
  
  
PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN
La multiplicación de números complejos satisface con las siguientes propiedades.
1. Propiedad Asociativa. z a bi  ; w c di  y u e fi 
.( . ) ( . ).z wu z w u
2.- Propiedad Conmutativa: z a bi  ; w c di 
. .z w w z
3.- Elemento Neutro: Sea 1z  el elemento neutro y w a bi 
. 1.( )z w a bi a bi   
4.- Propiedad del Inverso: Si z a bi  es un número complejo distinto de cero, el inverso de z es otro número
complejo que se denota por 1
z
, el mismo que satisface:
1 1
. . 1
1 1
. . 1
z z z z
z z
z z
 
 
 
Para calcular el inverso, multiplicamos tanto al numerador como al denominador por la conjugada.

1
1
1
1
2 2
1
2 2 2 2
1
1
. ;
1
.
es otro número complejo que es el inverso de z.
z
z
z
z si z a bi y z a bi
z z
a bi
z
a bi a bi
a bi
z
a b
a b
z i
a b a b






    


 



 
 
5.- Propiedad Distributiva respecto a la suma: Si z a bi  ; w c di  y u e fi 
.( ) . .z w u z w z u  
CONCLUSIÓN: Por definición z a bi  es un número complejo, el Módulo de z es el número real
2 2
z a b  , Se puede expresar el módulo de z en función de él mismo y de su conjugada, usando la relación:
z zz
Se puede probar que dicha relación se verifica para todo z. siendo z a bi  y la conjugada de z es
z a bi  . Entonces se tiene.
2 2
2 2 2 2
. ( ).( ) ( ) ( )
. ( ) (0) .
z z a bi a bi a b ab ba i
z z a b i a b
      
    
De dónde:
2 2
zz a b z  
Entonces de lo anterior se puede concluir para Z, W y U son números complejos.
1. |Z|≥ 0.
2. |Z|= 0 sí y sólo si Z = 0.
3. |Z + W| ≤ |Z| + |W|.
4. |Z.W| = |Z| . |W|.
5. |Z-1| = |Z|-1.
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
La división de números complejos, también se aplican las reglas de los reales:

1. División de un número complejo para un número real: Sean z a bi  y  un número real.
( )z a bi a b
i
   

  
Ejemplo: Sean  = 4 y 8 6z i 
(8 6 ) 8 6
4 4 4
3
2
2
z i
i
z
i



  
 
2. Si z a bi  y w c di  , son dos números complejos y w ≠ 0, se puede realizar la división de z entre w,
multiplicando al numerador y denominador por la conjugada de w (denominador), de la siguiente forma.
2
2
2
2 2
.
.
( ) (c )
. , pero 1
( ) (c )
z z w z w
w w w w
z a bi di ac adi bci bdi
i
w c di di c d
 
    
   
  
2 2
( ) ( )
.
z ad bd bc ad i
w c d
  


Ejemplo: 4 3z i  y 3 2w i  SOLUCIÓN
2
2
2 2
(4 3 ) (3 2 ) (4)(3) (4)(2) (3)(3) (3)(2)
. , pero 1
(3 2 ) (3 2 ) 3 2
12 8 9 6
9 4
6 17 6 17
13 13 13
z i i i i i
i
w i i
z i i
w
z i
i
w
    
   
  
  



  
OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
El módulo 2 2
z r a b   y el argumento Arg(z) = , en donde z = r , de la suma de dos números complejos,
poco tiene que ver con los módulos y argumentos con los sumandos, de ahí que sólo se estudiará la multiplicación,
división, potenciación y radicación.
MULTIPLICACIÓN.- La multiplicación de dos números complejos en forma polar es otro complejo que tiene como
módulo el producto de los módulos, y como argumento la suma de los argumentos.
Sean dos números complejos en forma polar:
z1 = r1 = r1 (cos + seni)
z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)

 
 
 
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
. (cos ). (cos i)
z . . (cos cos cos cos ), si 1
z . . (cos cos ) (cos cos)
z . . cos( ) ( )
z . .
. .
z z r sen i r sen
z r r sen i sen i sen sen i i
z r r sen sen sen sen i
z r r sen i
z r r
r r r r
 
 
   
       
      
   

  
     
   
   

    
En trigonometría la suma y diferencia de ángulos, se tiene:
cos( ) cos cos .
( ) cos cos sen .
sen sen
sen sen
     
     
  
  
Ejemplo: Sean 1 60 2 210z 5 3y z   SOLUCIÓN
1 2 60 210 (60 210 )
1 2 (270 )
1 2
1 2
. 5 .3 (5.3)
. 15
. 15(cos270 270 )
. 15(0 ) 15 .
z z
z z
z z sen i
z z i i
   

 

  
   
DIVISIÓN.- La división de números complejos en forma polar, también es otro complejo y se obtiene dividiendo sus
módulos y el argumento se obtiene restando el argumento del numerador el denominador.
Sean dos números complejos en forma polar:
z1 = r1 = r1 (cos + seni)
z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)
11 1
2 2 2 ( )
z r r
z r r

  
 
   
 
Ejemplo: Sean 1 60 2 210z 6 3y z   SOLUCIÓN
 
601
(60 210 )2 210
1
( 150 )
2
1
2
1
2
6 6
3 3
2
2 cos( 150) ( 150)
3 1
2 3 .
2 2
z
z
z
z
z
sen i
z
z
i i
z

 
 
 
   
 

    
 
      
 

POTENCIA.- Para realizar la potenciación de un número complejo utilizaremos la Fórmula de Moivre, nos da un
algoritmo basta eficiente para hallar la potencia enésima de un número complejo en forma polar. Si
z (cos )z sen i   , y n es un número entero positivo, entonces se obtiene:
z (cos )
(cos( . ) ( . ) )
nn
nn
z sen i
z z n sen n i
 
 
    
 
Ejemplo 1: Sea z = 2(cos30° + sen30°i). Calcular la potencia de orden cinco de este número, es decir, z5.
SOLUCIÓN
 5 5
5
5
5
(cos( . ) ( . ) )
z 2 cos(5.30 ) (5.30 )
32(cos150 150 )
3 1
32
2 2
16 3 16 .
nn
z z n sen n i
sen i
z sen i
z i
z i
  
   
  
 
   
 
  
Ejemplo 2: Sea z = (3 + 4i). Calcular la potencia de orden cinco de este número, es decir, z6.
En este ejercicio, primero debemos pasar a la forma polar, para ello hay que determinar el módulo y el argumento.
SOLUCIÓN
2 2 2 2
3 4 9 16 25 5z a b       
arctan
4
arctan
3
53,13 .
b
a



 
  
 
 
  
 
 
Calculamos ahora z6, utilizando la Fórmula de Moivre.
 
 
6 6
6
6
6
(cos( . ) ( . ) )
z 5 cos(6.53,13 ) (6.53,13 )
15625(cos318,78 318,78 )
15625 0,7522 0,6590
11753 10296 .
nn
z z n sen n i
sen i
z sen i
z i
z i
  
   
  
 
 

RADICACIÓN.- Si z a bi  es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tenga z wn
 ,
donde w es otro número complejo, entonces se dice que w es una raíz enésima de z.
1
.n n
w z z 
Para facilitar los cálculos, podemos utilizar el teorema de De Moivre para desarrollar una fórmula para determinar
raíces positivas de un número complejo: Si z = r (cos  + sin i) es un número complejo diferente de cero y si n es
un entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces diferentes que se pueden expresar en radianes o en
grados, entonces:
1 1
.
2 2
cos sinn nn n
z r
k k
z z r r i
n n n n
   

    
         
    
donde k = 0, 1, 2, …, n -1
Ejemplo 1: Sea z = 1 + 0i). Calcular todas cúbicas de z.
SOLUCIÓN
Primero Calculamos el módulo y el argumento.
   
2 2
1 0 1r   
1 0
tan 0
1
   
   
 
Luego calculamos las tres raíces, para 0,1, 2k  .
2 2
cos sinn n k k
z r i
n n n n
       
       
    
3
0
0 2 0 2
1 cos sin
3 3 3 3
k k
w i
       
       
    
   3
0
2 0 2 00 0
1 cos sin
3 3 3 3
w i
      
       
     
   0
0
1 cos 0 sin 0
1
w i
w
     

   3
1
2 1 2 10 0
1 cos sin
3 3 3 3
w i
      
       
     
1
1
2 2
1 cos sin
3 3
1 3
2 2
w i
w i
     
     
    
  

   3
2
2 2 2 20 0
1 cos sin
3 3 3 3
w i
      
       
     
2
2
4 4
1 cos sin
3 3
1 3
2 2
w i
w i
     
     
    
  
Si graficamos las raíces, observamos que ellas ocupan los vértices de un triángulo equilátero
Ejemplo 2: Sea z = 64(cos30° + sen30°i). Calcular todas las raíces sextas 6
z .
SOLUCIÓN
2 2
cos senn n k k
z r i
n n n n
       
       
    
Para k= 0, 1, 2, 3, 4,5.
 
6
0
0
0
30 2(0) 30 2(0)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(5 ) sen(5 )i
1,99 0,17
w i
w
w i
       
       
    
   
 
 
6
1
1
1
30 2(1) 30 2(1)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(65 ) sen(65 )i
0,84 1,81
w i
w
w i
       
       
    
   
 
O
0
1
2
1.
1 3
.
2 2
1 3
.
2 2
w
w i
w i

  
  
W1
W0
W2

 
6
2
2
2
30 2(2) 30 2(2)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(125 ) sen(125 )i
1,15 1,64
w i
w
w i
       
       
    
   
  
 
6
3
3
3
30 2(3) 30 2(3)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(185 ) sen(185 )
1,99 0,17 .
w i
w i
w i
       
       
    
   
  
 
6
4
4
4
30 2(4) 30 2(4)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(245 ) sen(245 )
0,84 1,81
w i
w i
w i
       
       
    
   
  
 
6
5
5
5
30 2(5) 30 2(5)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(305 ) sen(305 )i
1,15 1,64
w i
w
w i
       
       
    
   
 
O
0
1
2
3
4
5
1,99 0,17 .
0,84 1,81 .
1,15 1,64 .
1,99 0,17 .
0,84 1,81 .
1,15 1,64 .
w i
w i
w i
w i
w i
w i
 
 
  
  
  
 
y
x
W5
W0
W4
W3
W2 W1

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