Medición de distancia y teoría de errores

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDAFRANCISCO DE MIRANDA
ÁREA DE TECNOLOGÍAÁREA DE TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVILPROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL
DEPARTAMENTO DE VIALIDADDEPARTAMENTO DE VIALIDAD
PROF. Msc. JEISER GUTIÉRREZPROF. Msc. JEISER GUTIÉRREZ

2. SEÑALAMIENTO DE PUNTOS EN EL TERRENO.SEÑALAMIENTO DE PUNTOS EN EL TERRENO.
Puntos Transitorios
UN LEVANTAMIENTO
TOPOGRÁFICO
Requiere la aplicación de
Métodos geométricos y trigonométricos a través de los
cuales se determinan líneas rectas y ángulos en el terreno
para formar figuras geométricas.
De esta manera
El terreno se considera como un polígono y se trata de
calcular su área.
Para ello es necesario
Puntos instantáneos Puntos definitivos
(natural y artificial
permanente)
La fijación de puntos, sobre los linderos del terreno
Los cuales pueden ser

3. USO DE CINTAS, JALONES, PLOMADAS, PRISMAS.USO DE CINTAS, JALONES, PLOMADAS, PRISMAS.
CINTASCINTAS
JALONESJALONES
Son de metal o de madera y tienen una punta de
acero que se clava en el terreno. Sirven para
indicar la localización de puntos o la dirección de
rectas.
Son de metal o de madera y tienen una punta de
acero que se clava en el terreno. Sirven para
indicar la localización de puntos o la dirección de
rectas.
Son instrumentos de medición, que se fabrican de
varios tipos de materiales, longitudes y pesos. Las
más comunes en la topografía son: las cintas de
acero (cintas de agrimensor) y las cintas
entretejidas metálicas y no metálicas.
Son instrumentos de medición, que se fabrican de
varios tipos de materiales, longitudes y pesos. Las
más comunes en la topografía son: las cintas de
acero (cintas de agrimensor) y las cintas
entretejidas metálicas y no metálicas.

4. USO DE CINTAS, JALONES, PLOMADAS, PRISMAS.USO DE CINTAS, JALONES, PLOMADAS, PRISMAS.
PLOMADASPLOMADAS
Es un peso metálico que termina en punta y que
se utiliza para proyectar la localización horizontal
de un punto de una elevación a otra.
Es un peso metálico que termina en punta y que
se utiliza para proyectar la localización horizontal
de un punto de una elevación a otra.
Es un instrumento que se utiliza en levantamientos
topográficos, como accesorio de distanciometros y
estación total y su función es la de reflectar el
láser emitido por el equipo para la obtención de
distancias muy precisas.
Es un instrumento que se utiliza en levantamientos
topográficos, como accesorio de distanciometros y
estación total y su función es la de reflectar el
láser emitido por el equipo para la obtención de
distancias muy precisas.
PRISMAPRISMA

5. TRAZADO DE ALINEAMIENTO.TRAZADO DE ALINEAMIENTO.
Trazado de Alineamiento: Para realizar una alineación se necesitan dos o mas jalones y un
juego de piquetes. Los jalones se colocan en los puntos extremos y son los que sirven para
poner en línea recta dos puntos, es decir mantener la alineación. En el primer jalón se coloca
una persona y otra avanza en una longitud dada, luego por medio de señales la primera
persona, observando el jalón situado en el otro extremo, alinea a la persona que va adelante y
este pone un piquete sobre la recta. Esta operación se repite hasta llegar al jalón delantero.
PA PB
JALON 1 JALON 2
IZQUIERDA
DERECHA

6. MEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS CON CINTAMEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS CON CINTA
MÉTRICAMÉTRICA
El procedimiento a seguir en la medición de distancias con cinta métrica depende hasta
cierto punto de la precisión que se requiere y el propósito del levantamiento.
Se sostiene la cinta a lo largo de toda su longitud. Si va a determinarse únicamente la
longitud que existe entre dos puntos fijos (como lo son las esquinas de una parcela de terreno).
Se sigue el siguiente procedimiento: Una persona sostiene la cinta métrica en su parte inicial
con lectura cero (0) metros, y otra persona sostiene en el extremo tomando la lectura que
muestra la cinta, y de esa forma obtener la medición de dos puntos.
P1
P2
PARCELA DE TERRENO
P3 P4
DISTANCIA P1 a P2

7.  Cinta no estándar
 Alineamiento imperfecto
 Falta de horizontalidad en la cinta
 Cinta no recta
 Otros errores Accidentales
 Variaciones en la longitud de la cinta debido a la temperatura
 Variación de tensión
 Formación de Catenaria (debido al peso propio de la cinta)
ERRORES MÁS FRECUENTES EN LA MEDICIÓN CONERRORES MÁS FRECUENTES EN LA MEDICIÓN CON
CINTA.CINTA.

8. MÉTODOMÉTODO PRECISIÓNPRECISIÓN USOSUSOS
Con pasosCon pasos 1/50 a 1/2001/50 a 1/200 Reconocimiento y localización preliminarReconocimiento y localización preliminar
OdómetroOdómetro 1/2001/200 Reconocimiento y localización preliminarReconocimiento y localización preliminar
Barra horizontalBarra horizontal 1/1000 a 1/50001/1000 a 1/5000 Se utiliza poco, solamente cuando no es factible la medición conSe utiliza poco, solamente cuando no es factible la medición con
cintas o no se dispone de equipos de medición electrónicacintas o no se dispone de equipos de medición electrónica
EstadiaEstadia 1/250 a 1/10001/250 a 1/1000 Utilizada anteriormente en la elaboración de planos,Utilizada anteriormente en la elaboración de planos,
levantamientos preliminares y para la revisión de trabajo máslevantamientos preliminares y para la revisión de trabajo más
precisos.precisos.
Medición común conMedición común con
cintacinta
1/1000 a 1/50001/1000 a 1/5000 Se utiliza actualmente en levantamientos comunes de terrenos ySe utiliza actualmente en levantamientos comunes de terrenos y
construcción de edificios.construcción de edificios.
Medición de precisiónMedición de precisión
con cintacon cinta
1/10000 a 1/300001/10000 a 1/30000 No muy común actualmente, se usa en levantamientos deNo muy común actualmente, se usa en levantamientos de
terrenos para construcción de edificios.terrenos para construcción de edificios.
Medición con cinta deMedición con cinta de
línea baselínea base
1/100000 a 1/10000001/100000 a 1/1000000 Utilizada anteriormente en los trabajos geodésicos de precisiónUtilizada anteriormente en los trabajos geodésicos de precisión
por el National Geodetic Survey.por el National Geodetic Survey.
Medición electrónicaMedición electrónica
de distanciasde distancias
±0.04’ a ±1/300000±0.04’ a ±1/300000 Es muy utilizado hoy en día en todos los tipos de levantamientos,Es muy utilizado hoy en día en todos los tipos de levantamientos,
incluyendo urbanización, levantamientos de terrenos y trabajoincluyendo urbanización, levantamientos de terrenos y trabajo
preciso en obras de construcciónpreciso en obras de construcción
Sistema deSistema de
posicionamiento globalposicionamiento global
HastaHasta
y > 1/1000000y > 1/1000000
Se estableció con el objeto de determinar rápidamente la posiciónSe estableció con el objeto de determinar rápidamente la posición
de aviones, barcos y otros grupos militares; su uso se hade aviones, barcos y otros grupos militares; su uso se ha
incrementado en la localización de puntos importantes de control yincrementado en la localización de puntos importantes de control y
en muchas otras etapas de la topografía, incluyendo laen muchas otras etapas de la topografía, incluyendo la
construcción.construcción.
DIFERENTES MÉTODOS E INSTRUMENTOS USADOS ENDIFERENTES MÉTODOS E INSTRUMENTOS USADOS EN
LA MEDICIÓN DE DISTANCIAS.LA MEDICIÓN DE DISTANCIAS.

9. LEVANTAMIENTO CON CINTA MÉTRICA.LEVANTAMIENTO CON CINTA MÉTRICA.
Para levantar un terreno con cinta únicamente hay que dividir, en forma conveniente, el
terreno en triángulos y tomar las medidas de sus lados y las alturas (alturas de dichos
triángulos) suficiente para poder calcular la superficie total y para poder dibujar el
plano.
Se debe procurar, hasta donde lo permita el terreno, que los triángulos no presenten
ángulos demasiado agudos, para no disminuir la precisión del levantamiento.
Los detalles como, por ejemplo, los linderos que no son líneas rectas sino irregulares,
se toman por el método de izquierda y derechas, para lo cual se colocan piquetes a
distancias fijas o bien donde se crea necesario por haber un cambio brusco en la forma
del lindero, y se miden las perpendiculares a las líneas hasta el lindero en general, no
deben pasar de 15m, para poder trazar las perpendiculares a ojo sin cometer mayor
error.
Por ultimo se calcula el área de los triángulos principales, a la cual se le suma o resta
el área de detalles por izquierda y derecha.

10. UN ERRORUN ERROR
valor verdadero
es una
con respecto al
imperfección de los
sentidos de una
persona
imperfección de los
instrumentos
utilizados
por efectos
climáticos
ocasionado por la
diferencia

11. •PERSONALESPERSONALES
•INSTRUMENTALESINSTRUMENTALES
•NATURALESNATURALES
Los errores se clasifican de acuerdo a la
fuente que los produce en:
Según la topografía se consideran las
siguientes clases de errores:
•ERROR REALERROR REAL
•EQUIVOCACIÓNEQUIVOCACIÓN
•DISCREPANCIADISCREPANCIA
•ERROR SISTEMÁTICOERROR SISTEMÁTICO
•ERROR ACCIDENTALERROR ACCIDENTAL

12. •Error real, es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor verdadero. Si
la medida es mayor que el valor verdadero, el error es por exceso o positivo; en caso
contrario, se dice que es por defecto o negativo. El error real es la acumulación de
errores diferentes debidos a varias causas, algunos que quizá tiendan a producir
valores excesivos y, otros, a resultados menores que los verdaderos.
•Equivocación, es un error, generalmente grande, debido a una falla de criterio o a
una confusión del observador.
•Discrepancia, es la diferencia entre dos mediciones de la misma cantidad.
•Error sistemático o acumulativo, es aquel que permanece igual en signo y
magnitud si las condiciones son constantes.
•Error accidental, compensado o aleatorio, es aquel cuya magnitud y dirección es
sólo un accidente y está fuera de control del topógrafo.

13. El error verdadero: Es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor
verdadero. Sin embargo, su valor exacto es imposible de determinar, puesto que para
hacerlo se tendría que realizar infinitas mediciones a través de la siguiente ecuación:
ilXE −=
El error aparente (residual) es la diferencia entre el valor más probable (X) y la
medición efectuada. Se calcula a través de la siguiente expresión:
El valor más probable es un valor calculado, como el que tiene más probabilidades
que ningún otro de representar el verdadero valor de la cantidad, el cual se obtiene a
través de la siguiente expresión matemática:
n
llll
X n...321 ++
=
XlV ii −=

14. • Error medio cuadrático de las observaciones:
• Error medio cuadrático del valor más probable:
1
2
0
−
±==
∑
n
V
mm
)1(
2
0
−
±==
∑
nn
V
mm
• El error relativo:
X
r
m
X
E
1
=
•Tolerancia: es el error máximo permitido al efectuar mediciones.

15. Ejemplo:
Se ha medido cuatro veces una distancia en terreno plano, y los datos obtenidos
fueron:
mmmm 27,310;30,310;20,310;25,310
mX
n
llll
X n
255,310
4
02,1241
...321
==
++
=
015,0255,31027,310
055,0255,31020,310
045,0255,31030,310
005,0255,31025,310
44
33
22
11
=−=−=
−=−=−=
=−=−=
−=−=−=
−=
XlV
XlV
XlV
XlV
XlV ii
2) Se calcula el error residual de cada medición:
Solución:
1) Se calcula el valor más probable:

16. 3) Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable:
)1(
2
0
−
==
∑
nn
V
mm
4) Se calcula el error probable:
)14(4
)0053,0(
0
−
=m
12
0053,0
0 =m
Nº Lectura X Vi
Vi
2
1 310.25 310.255 -0,005 0,000025
2 310.30 310.255 0,045 0,002025
3 310.20 310.255 -0,055 0,003025
4 310.27 310.255 0,015 0,000225
∑ 0,000 0,0053
02102,00 ±=m
0mX ± 02102,0255,310 ±

17. 5) Se calcula el error relativo:
0
1
m
X
Er =
0m
X
P =
P
Er
1
= Siendo P = Precisiónsimplificando
Entonces
02102,0
255,310
=P 99049,14759=P
99,14759
1
=rE Se compara con la tolerancia
3000
1
=T
Terreno plano 1/3000Terreno plano 1/3000
Terreno accidentado 1/1000Terreno accidentado 1/1000
TOLERANCIAS

18. Blanco 1: Blanco 2: Blanco 3:
Buena precisión
Baja exactitud
(el promedio está afuera del
centro del blanco)
Baja precisión
Buena exactitud
(el promedio está en la
parte central del blanco)
Buena precisión
Buena exactitud
(el promedio está en el
centro del blanco)
EXACTITUDEXACTITUD
Grado de perfección que se
obtiene en las mediciones.
PRECISIÓNPRECISIÓN
Grado de refinamiento con el
que se mide una determinada
cantidad.

19. Cuando una cantidad se mide varias veces o cuando se mide una serie de cantidades,
los errores aleatorios tienden a acumularse proporcionalmente a la raíz cuadrada del número
de mediciones, lo cual es conocido como ley de compensación.
Cuando se realizan observaciones directas de diferente precisión, donde los errores
probables pueden ser E1, E2, E3,…En respectivamente, el error probable total puede
calcularse utilizando la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )22
2
2
1 ... ntotal EEEE ++±=
EJEMPLO: Se miden los cuatro lados aproximadamente iguales de una parcela de terreno.
Estas mediciones incluyen errores probables siguientes: ±0.09 m, ±0.013 m, ±0.18 m ±0.40
m. Determine el error probable de la longitud total o perímetro de la parcela.
( ) ( ) ( ) ( )
m45.0
40.018.0013.009.0
2222
±=
+++±=
total
total
E
E

20. ERROR
Diferencia entre el valor medido
o calculado y el real.
Se clasifican de acuerdo a las
fuentes que los producen
Personales
Instrumentales
Naturales
En la topografía se consideran
distintas clases de errores
Error real Equivocación
Discrepancia Error sistemático
Error accidental
Se aplica la teoría
de errores o de
probabilidades
Para calcular el valor más
probable o la precisión más
probable en la que se hayan
eliminado los errores
sistemáticos.

21. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDAFRANCISCO DE MIRANDA
ÁREA DE TECNOLOGÍAÁREA DE TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVILPROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL
DEPARTAMENTO DE VIALIDADDEPARTAMENTO DE VIALIDAD
POR:POR:
ING. JEISER GUTIÉRREZING. JEISER GUTIÉRREZ

22. HIPO
TEN
U
SA CATETO
CATETO
α
A B
C
AC
BC
Sen =α
AC
AB
Cos =α
AB
C b
a
c
AB
BC
Tan =α
CosBaccab .2222
−+=
CosAbccba .2222
−+=
SenC
c
SenB
b
SenA
a
==
CosCabbac .2222
−+=
Ley de los Senos
Ley de los Cosenos

23. CASO 2 . Cuando se conocen las longitudes de dos lados y el ángulo que forman entre
ellos, correspondientes a cualquier triangulo, su área se determina con la expresión:
a c
b
α
Área = ½ x a x b x sen α
CASO 1 . Cuando el triangulo es rectángulo, su área se determina con la expresión:
h
b
Área =
2
b x h
CASO 3 . Cuando se conocen las longitudes de los tres lados de un triangulo, su área se
determina con la ecuación:
a b
c
Área = √ s(s-a) (s-b) (s-c)
s = ½ x (a + b + c)
CASO 4 . Cuando la figura es un trapecio, su área se determina con la ecuación:
h2h1
b
Área =
2
b x (h1+h2)

24. n
llll
X n...321 ++
=
XlV ii −=
2) Se calcula el error residual de cada medición:
1) Se calcula el valor más probable:
3) Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable:
)1(
2
0
−
==
∑
nn
V
mm
4) Se calcula el error probable:
0mX ±
5) Se calcula el error relativo:
0
1
m
X
Er =
0m
X
P =
P
Er
1
= Siendo P = Precisiónsimplificando

25. 1. Se realizan varias mediciones a uno de los lados de un terreno y se obtienen los
siguientes datos:
D1= 86,16 m; D2= 80,94 m; D3= 80,92 m; D4= 80,14 m; D5= 80,34 m
Calcular: a) El valor más probable, b) Error residual, c) El error medio cuadrático del
valor mas probable, d) Error probable, e) Error relativo, f) Comparar los resultados
con una tolerancia de T= 1/1000
2. En el siguiente terreno se presentan las siguientes mediciones
angulares:
AzA
B
= 104º 27’ 16”
RB
C
(S 21º 37’ 43”O)
RC
D
(N 75º 0’ 0” O)
AzD
A
= 54º 31’ 42”
Calcular:
a) RAB (S E); RAD
(S O)
b) AzBC ; RBA (N O)
c) AzCB ; AzCD
d) AzDC ; RDC (S E)

26. 3. Se realizaron unas mediciones a un tramo vial por dos grupos diferentes:
1er
Grupo 2do
Grupo
1) 200.19 mts 1) 200.30 mts
2) 200.27 mts 2) 200.24 mts
3) 200.21 mts 3) 200.18 mts
4) 200.22 mts 4) 200.26 mts
a) Determine cual de los grupos obtuvo una mayor precisión
b) Cual de los grupos se encuentra dentro de una TOLERANCIA +/- 1/1000
4. De acuerdo a la fig. y a los datos suministrados.
Calcule el RA
B
; RC
B
Conociendo:
AB = 120 m; BC = 160 m; AC = 175 m.
RB
A
= 35º 14’ 27” SO
A
B
C

27. 5. Se muestra el alineamiento de los linderos de un terreno:
RAB (N 48º 52’ 53”E)
RDA (N 74º 25’ 09”O)
RCB (N 40º 25’ 32”O) Calcule la superficie de la fig. A, B, C, D
Se realizaron las mediciones del tramo AD y se obtuvieron los siguientes resultados:
a) 450.30 b) 450.33 c) 450.41 d) 450.38 e) 450.36
Aplicar la teoría de errores y determinar:
El valor más probable, Error residual, El error medio cuadrático del valor mas probable,
Error probable, Error relativo. (Nota: utilice el valor obtenido para resolver el ejercicio)