Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo la definición de términos algebraicos, la suma y multiplicación de términos, y la evaluación de expresiones algebraicas mediante la sustitución de letras por valores numéricos. También introduce conceptos como binomios, trinomios, polinomios, y la factorización de expresiones mediante la identificación de factores comunes o la aplicación de fórmulas como la diferencia de cuadrados o el cuadrado de un binomio.

1. LENGUAJE
ALGEBRAICO.
Problemas de Planteamiento

2. DEFINICIÓN:
 Muchos problemas de la vida real se pueden traducir a un
lenguaje algebraico, para luego así poder llegar a una respuesta.
Pero antes es necesario tener en cuenta algunos conceptos, ya que
en Álgebra se usan letras y números.
-6x²y
Observación:
01.-Si el signo es mas “+” , no es necesario escribirlo.
02.-Si la parte numérica es “1”, no es necesario escribirla.
03.-Entre cada componente de un término hay una multiplicación.
Ejemplo: -6x²y es lo mismo que escribir -6 · x² · y
Signo
Parte Numérica
Parte Literal

3.  Sumando y/o restando diversos términos podemos construir
expresiones más largas. A la suma (o resta) de dos términos lo
denominamos binomio, a la de tres términos trinomio, y para
sumas (o restas) más largas usamos el nombre polinomio.
 Lo primero con lo que debe uno familiarizarse es con la evaluación
de expresiones: Evaluar una expresión algebraica consiste en
sustituir las letras por valores numéricos.
Ejemplo:
 Si queremos llegar al resultado (xa
-x)· (xa
+x) , debemos saber (o tal
vez inventar), el valor numérico de “x” y “a”. Nosotros
inventaremos y usaremos x=2 y a=3. Por lo cual el resultado sería:
(2³ - 2) · (2³ + 2) = (8 - 2) · (8 + 2) = 6 · 10 = 60

4. ACTIVIDAD:
01.- Evalúa las expresiones a – b y b – a para los siguientes valores de a y b:
i) a = 13; b = 5
ii) a = -6; b = 10
iii) a = 5,6; b = -8,2
02.-Evalúa las expresiones y + para los siguientes valores de a
y b:
i) a = 9; b = 16
ii) a = 36; b = 64
03.-Evalúa las expresiones x – (3x – 1) y 1 – 2x para los siguientes valores de x:
i) x = 8
ii) x = -4
iii) x = 0

5. 04.- ¿Cuáles de las siguientes expresiones son iguales entre sí? Intenta con
diferentes valores y luego decide.
i) (a – b)²
ii) a² – b²
iii) (a + b) · (a – b)
iv) a² – 2ab + b²
05.- Para saber el estado nutricional de una persona, se puede calcular el
Índice de Masa Corporal (IMC). Para eso se divide la masa m (en
kilogramos) por el cuadrado de la estatura h (en metros). Si el IMC está
entre 18,5 y 25, se cataloga como normal; entre 25 y 30 se considera
sobrepeso y sobre 30 se considera obesidad. Bajo 18,5 se considera
infrapeso. Usando álgebra, el IMC se expresa como
i) Calcula tu IMC, usando una calculadora.
ii) Prueba con diferentes valores, planteándote diferentes situaciones.

6. OPERATORIA BÁSICA DEL ÁLGEBRA:
 Como vimos anteriormente a veces dos expresiones Algebraicas son
equivalentes, deducimos esto verificando el resultado. Ahora veremos como
simplificar una expresión, es decir, equivalente a esta misma pero reducida
.
 Suma y Resta:
Sólo se puede simplificar una suma (o resta) de términos si hay términos
semejantes. Términos semejantes son términos que poseen exactamente la
misma parte literal. ¿Cómo se suman (o restan) términos semejantes? Se
suman (o restan) las partes numéricas. El factor literal se mantiene.
Ejemplo: 8x²y – 3x²y + 9xy = 5x²y + 9xy
Observación: Solo los dos primeros términos son semejantes, el tercer término
no tiene la misma parte literal. El resultado ya no se puede simplificar
más.

7.  Multiplicación:
A diferencia de la suma, siempre se puede simplificar una multiplicación
de términos. No necesitan ser términos semejantes. Para multiplicar
términos, multiplicamos las partes numéricas entre sí y las partes literales
entre sí.
Ejemplo: 2x²y · 6y · 4x²y³ = 48xy
Observación:
i) Multiplicamos las partes numéricas entre si : 2· 6 · 4 = 48
ii) Multiplicamos las partes literales entre si : Para eso multiplicamos las “x”
entre si, y las “y” entre si.
x² · x² = x ² +
² = x y · y · y³ = y ¹ +
¹ +
³ = y
 Prioridad de Operaciones y Uso de Paréntesis:
El orden de las operaciones es: Primero: Multiplicaciones y divisiones.
Después: Sumas y restas. Si se desea alterar este orden, se debe usar
paréntesis. Para eliminar paréntesis se utilizan ciertas reglas.
 Si al paréntesis lo antecede un signo “+”, se puede eliminar sin problema.
 Si al paréntesis lo antecede un signo “–”, se elimina tanto el signo “–” como
el paréntesis, pero se cambian los signos de todos los términos dentro del
paréntesis.

8. ACTIVIDAD:
01.-
i) Calcula y compara: a) 5p³q + 7p³q b) 7p³q + 5p³q
ii) ¿Es cierto que x + y = y + x?
02.-
i) Calcula y compara: a) 12m² – 4m² b) 4m² – 12m²
ii) ¿Es cierto que x – y = y – x?
03.-
i) Calcula y compara: a) (9ab + 3ab) + ab b) 9ab + (3ab + ab)
ii) ¿Es cierto que (x + y) + z = x + (y + z)?
04.-
i) Calcula y compara: a) 4a³bc² 6ab³c³ b) 6ab³c³ 4a³bc²
ii) ¿Es cierto que x y = y x?
05.-
i) Calcula y compara: a) (-2ab² · 3ac³) · ac b) -2ab² · (3ac³ · ac)
ii) ¿Es cierto que (x y) z = x (y z)?

9. PRODUCTOS NOTABLES:
La propiedad distributiva establece que: a · (b + c) = a· b + a· c.
En su forma más general plantea que: (a + b) · (c + d) = a· c + a· d + b· c + b· d
Los llamados productos notables son casos especiales de la forma más general
de la propiedad distributiva. Si uno conoce los productos notables, puede
acortar considerablemente los cálculos.
Estos productos nacen de las siguientes preguntas: ¿Qué sucede si el segundo
paréntesis es exactamente igual al primero? ¿Qué sucede si el segundo
paréntesis es exactamente igual al primero, excepto por un signo?
Se obtienen las tres fórmulas siguientes:
 Cuadrado de Binomio:
Fórmula: (a + b)² = a² + 2ab +b²
La primera se puede explicar mediante
el siguiente esquema:
 Suma por Diferencia:
Fórmula: (a – b)2 = a² – 2ab + b²

10. ACTIVIDAD:
01.- Usa la propiedad distributiva para demostrar las fórmulas de los
productos notables.
02.- Explica la segunda fórmula del cuadrado del binomio usando algún
esquema. Trata primero por tu cuenta. Si no se te ocurre, busca en Internet.
03.- Calcula las siguientes expresiones. Verifica tu resultado evaluando.
i) (x + 2)²
ii) (4a – 1)²
iii) (x + 2y)(x – 2y)
iv) (7m – 3n)(7m + 3n)
04.- ¿Qué expresiones faltan en cada caso? Rellena los espacios que faltan
para obtener dos expresiones equivalentes.
i) (3x +█)² = █ + █ + 49
ii) ( █ – 4)² = █ – 48y + █
iii) (█ + █)² = 4x² + 32x + █

11. FACTORIZACIÓN:
Hasta el momento hemos utilizado la propiedad distributiva y los
productos notables para eliminar paréntesis que pudiera haber en una
expresión y luego simplificar. Sin embargo hay muchos ejercicios en que se
requiere hacer justamente lo contrario, es decir poner paréntesis. Este
proceso se conoce como factorización.
En general factorizar es más complicado que eliminar paréntesis, pues uno
debe reconocer qué ejercicio había originalmente y eso requiere de
ejercitación. Además hay expresiones que no se pueden factorizar.
• A continuación te presentamos una pauta que puedes seguir para tratar de
factorizar un ejercicio:
 Busca factor común: Esto consiste en “deshacer” la propiedad distributiva.
Normalmente se presenta en dos situaciones:
i) ac + ad = a (c+d)
ii) (a + b)c + (a + b)d = (a + b) ∙ (c + d)
¿Cómo reconocerlo? → Un factor (o varios factores) debe repetirse en cada término
de la suma. (En el primer ejemplo era “a”. En el segundo era “(a + b)”). Ese es el
factor común.

12.  Busca si hay diferencia de cuadrados (suma por diferencia):
a² – b² = (a + b) (a – b)
¿Cómo reconocerlo? →
i) Debe haber dos términos.
ii) Ambos términos deben ser cuadrados perfectos.
iii) Ambos términos deben estar restados. (Para ser más precisos, deben tener
distinto signo).
 Busca si hay un trinomio cuadrado perfecto (cuadrado de binomio):
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
¿Cómo reconocerlo? →
i) Debe haber tres términos.
ii) Dos términos deben ser cuadrados perfectos.
iii) El tercer término se debe verificar apartes.
 Busca si hay un trinomio de la forma:
x² + px + q
Este trinomio se factoriza: x² + px + q = (x + a)∙(x + b), con a + b = p y a∙ b = q
 ¿Cómo reconocerlo? → Debe haber un polinomio de segundo grado. El coeficiente
de x² debe ser 1.
 ¿Cómo reconocerlo? → Busca dos números, a y b, que sumados den p (el coeficiente
de x) y que multiplicados den q (el coeficiente libre)

13.  Si hay más de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos
anteriores:
• Ejemplo: xy + xa + wy + wa = x ∙ (y + a) + w ∙ (y + a) = (y + a) ∙ (x + w)
 Recuerda que si no logras factorizar un ejercicio, puede ser porque no se te
ocurrió el método correcto, o tal vez porque se debe usar algún método que
desconoces (hay muchos métodos más aparte de los que mencionamos) o
simplemente porque no se puede factorizar. En este caso, la respuesta es: “no
puedo factorizar este ejercicio con los métodos que disponemos”. Si hay más
de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos anteriores.
Agrupamos
estos dos
Agrupamos
estos dos

14. ACTIVIDAD:
No hay factor
común
¿Hay
Sumas?
¿Hay
algún factor que
se repita en cada
término?
Inicio
Saca factor
Común
Sí
Sí
no
no
01.- A la derecha ves un diagrama de flujo que explica cómo sacar
factor común.
• Usa el diagrama para tratar de factorizar las siguientes
expresiones:
i) xy² + y²w
ii) 5xy² – 15y
iii) 4xy + 8xy² – 12xy³
iv) 24a³b² – 12a³b³
v) x(a + 7) + 5(a + 7)
vi) 2x(a – 1) – 3y(a – 1)
vii) 8a – 8abc
viii) 3x + 5y + z
02.-
i) Construye un diagrama de flujo para la diferencia de cuadrados.
ii) Construye un diagrama de flujo para el trinomio cuadrado perfecto.
iii) ¿Puedes hacer un diagrama de flujo que fusione los dos diagramas
anteriores.
iv) Puedes hacer un diagrama que fusione “factor común”, “diferencia
de cuadrados” y “trinomio cuadrado perfecto”?

15. 03.- Factoriza las siguientes expresiones. Ten presente que se quiere factorizar al
máximo, es decir puedes aplicar varios métodos uno tras otros. No te detengas hasta
que hayas comprobado que ningún método funciona más.
i) x² – 100
ii) 25a² – 144b²
iii) 9x²y – 121z
iv) 16x² + 8x +1
v) 4y² – 24y + 36
vi) 25x² + 30xy + 9y²
vii) x² + 8x + 15
viii) n² + n – 20
ix) m² – 12m + 27
x) xm – ym + xn – yn
04.- La expresión x² + 6x + 9 puede analizarse como trinomio cuadrado perfecto y
también como trinomio de la forma x + px + q. ¿Cuál de las dos debe privilegiarse? ¿O
da lo mismo?
05.- Calcula los siguientes ejercicios de la manera más eficiente posible:
i) 3 ∙ 15 – 3 ∙ 12 – 3 ∙ 3
ii) 0,2 ∙ 3,5 + 0,2 ∙ 1,5 – 0,2 ∙ 4
iii) 77² – 23²
iv) 14² - 16