Este documento describe métodos para analizar la transferencia de calor por conducción en dos dimensiones. Explica la resolución analítica para placas rectangulares usando el método de separación de variables. También cubre el método numérico de diferencias finitas, el cual discretiza el espacio para aproximar las derivadas en la ecuación de conducción de calor. Finalmente, describe cómo resolver el sistema de ecuaciones resultante usando el método de inversión matricial.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MATURÍN
MÉTODOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO
BIDIRECCIONAL POR CONDUCCIÓN
Profesor:
Luis José Castillo
Bachilleres:
Alvarez Wendy
Arias Dayana
Mendoza Victor
PonceYeraldy
Souquett Jesus
Sección: V
Transferencia de calor
Maturín, Mayo del 2015

2. INTRODUCCIÓN
En este tema estudiaremos los problemas de conducción
en los que la temperatura en los que la temperatura
depende de dos dimensiones espaciales. La conducción
del calor en placas rectangulares o en cilindros huecos
que separan dos fluidos cuyas temperaturas, además de
ser diferentes, varían a lo largo del eje del cilindro, son
ejemplos habituales de conducción del calor en régimen
bidimensional.

3. RESOLUCIÓN ANALÍTICA: APLICACIÓN
A PLACAS RECTANGULARES
Considérese una placa rectangular de conductividad
constante K, sin generación de calor y de espesor
despreciable, como la mostrada en la siguiente figura. La
placa se considera en el plano X Y, y con el origen de las
coordenadas en uno de los vértices de la misma.

4. RESOLUCIÓN ANALÍTICA: APLICACIÓN
A PLACAS RECTANGULARES
Y
X
T1
T1
T1
T2
A
B

5. RESOLUCIÓN ANALÍTICA: APLICACIÓN
A PLACAS RECTANGULARES
La solución de la figura se obtiene aplicando el método de
separación de variables, que consiste en expresar la
distribución de temperaturas como producto de dos
funciones, cada una de las cuales depende solamente de
una de las variables independientes, como se expresa en
la siguiente ecuación: T(x,y) = X(x) Y(y)
Sustituyendo esta igualdad a la ley de Fourier, y
agrupando términos, se llega a:
-1 d2 X(x) = 1 d2 Y(y)
X dx2 Y dy2

6. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA
CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE
BIDIRECCIONAL: DIFERENCIAS FINITAS
Las soluciones obtenidas por los métodos numéricos
pierden la generalidad de una solución analítica, pero
presentan la ventaja de ser programables. Aunque estas
técnicas vienen ya implementadas en varios paquetes
informativos y su aplicación a un caso practico no exige el
conocimiento. Existen varios tipos de métodos numéricos,
pero aquí se desarrolla solo el método de las diferencias
finitas, que consiste en sustituir las derivadas parciales de
la ecuación de la conducción de calor por aproximaciones
algebraicas

7. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA
CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE
BIDIRECCIONAL: DIFERENCIAS FINITAS
Además solo se plantean las ecuaciones en coordenadas
cartesianas, haciéndose de forma similar para otros
sistemas de coordenadas. La ecuación general de la
conducción del calor en régimen estacionario y
bidimensional, en coordenadas cartesianas, viene
expresada como:
d2 T(x,y) + d2 T(x,y) + g(x,y) = 0
dx2 dy2 K
Donde g(x,y) representa la generación del calor por
unidad de volumen que tiene lugar en el punto de
coordenadas (x,y).

8. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN
EN RÉGIMEN PERMANENTE BIDIRECCIONAL:
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES
La aplicación del método de las diferencias finitas, o
cualquier otro método numérico, a la conducción del calor
en régimen permanente bidireccional da origen a un
sistema de ecuaciones algebraicas (una ecuación para
cada nodo). En caso concreto de un cuerpo discreteado en
m.n nodos donde las temperaturas de los nodos situados
en sus fronteras son desconocidas (caso de fronteras
adiabáticas o sometidas a convección), la aplicación del
método de las diferencias finitas en todos y cada uno de
los nodos proporciona m.n ecuaciones. Si existen fronteras
de temperatura fija y conocida, entonces el numero de
variables desconocidas y el de ecuaciones disponibles se
reduce en la misma cantidad, obteniendo igualmente un
sistema de tantas ecuaciones como incógnitas.

9. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN
EN RÉGIMEN PERMANENTE BIDIRECCIONAL:
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES
A continuación se presenta el método de inversión
matricial, es ampliamente conocido y empleado en todos
los campos. Para explicar el método de inversión de
matrices, se parte del siguiente sistema de N ecuaciones y
N temperaturas desconocidas (N=m.m)
A1.11 T11 + a1.12 T12+… a1.1nT1n + a1.21 T21 + a1.2n T2n+ … + a1.mn Tm.n= C1
A2.11 T11 + a2.12 T12+… a2.1nT1n + a2.21 T21 + a2.2n T2n+ … + a2.mn Tm.n= C2
AN.11 T11 + aN.12 T12+… AN.1nT1n + aN.21 T21 + aN.2n T2n+ … + aN.mn Tm.n= CN