libro de los diferentes tipos de problemas matemáticos.

2. Prólogo
CapítuloI
Estructuras y
aditiva multiplicativa:
marcoteórico 9
Capítulo ll
Clasificación problemas
de aditivos,/
Sumar restar
y 15
Gapítulo
lll
Problemasaditivos 29
CapítulolV
Clasificación problemas
de multiplicativos
./
Multiplicardividir
y 47
Capítulo
V
Problemasmultiplicativos 63
Capítulo
Vl
Cómoutilizar
estematerial 85
Bibliografía 89
+i9f"iii*Éjri¡
+r.¡"fl"-{{s.$.ii"4l*,
''iltf4{ "'rffitF
,,,

3. que
Dos son las conclusiones emergen la investigación
de educativa los últimos
de
veinteaños:la primera la largaduración la lentitud
es y relativa proceso formación
del de de
y
competencias conceptosmatemáticos; segunda,la gran heterogeneidad existe
la que
entre los alumnosde una misma clase con respectoal desarrollo este procesode
de
aprendizaje.*
Estocolocaal docente su quehacer
en diario un desafío
en permanente:cómoinfluir
acertadamenteen ese proceso que va a trascendersu período de intervencíónen la
formaciÓn riiñoy con qué herramientas
del manejar abanico diferente situaciones
ese tan de
individuales
dentrodel aula.Precisamente, objetivo estetrabajo hacerun aporteen
el de es
estesentido, un temaespecífico: resolución problemas
en la de aritméticos la escuela.
en
Sobreestetema,y comoya hemosseñalado trabajos
en anteriores, tresejesde
hay
acción a enfocar: el lenguaje, por el peso que éste tiene en la comprensión un áe
enunciado; representaciónmentalqueel alumnohace de la situación
la propuesta por
y
últimoel contrato didáctico que precisa roldelmaestro del alumnoen estaactividad.
el y El
presente trabajo una reflexión
es sobreelsegundo losaspectos
de indicados.
La representación mental hace referenciaa la identificación que el alumno hace .del
problema propuesto un "modelo" resolución él ya conoce.
con de que Estos"modelos" están
basadosen su dominiode la estructura aditivay/o multiplicativa que lo conducirán la
y a
elección la o lasoperaciones utilizaren solución problema.
de a la del
Parapoderincidir estecampo,me parece
en fundamental exploración parte
una por
del maestroen la teoríade los camposconceptuales Vergnaud,
de específicamente lo
en
que se refierea las estructurasaditivay multiplicativa. está el doblepropósito este
Ahí de
por
trabajo: un lado,deberíapermitirnos pensarla enseñanza la matemática partirde
de a
un nuevoaporte, con una comprensión más profunda su aprendizaje, las nociones
de de en
juego y las dificultadesque jalonan su construcción; otro lado, pretendeacercarun
por
materialdidáctico que posibilitellevara la prácticaestas ideas.En otras palabras:tener
claro todas las diferentessituaciones problemáticas, pasiblesde ser abordadasen la
escuela que derivande estasestructuras, al mismotiempocontarcon una diversidad
y de
ejemplos diferente
de complejidad nosprovean un material trabajo el aula.
que de de en
Para hacereste trabajome basé en un librofrancés,citadoen primerlugaren la
bibliografía este trabajo,adaptándolo la maneraen que me pareciópodíaser mejor
de a
por
recibido nuestro magisterio ilustrando diferentes
e las situaciones ejemplos
con creados
por mí, dondelos nombresde los personajes mis familiares mis amigosy a quienes
son o
agradezco "inconsulta"
su colaboración.
. Ta!, susfenfado GérardVergnaud,
lo por sicólogo,pertenecientela comunidatd didactas la
a de de
matemática que
francesa intenta parfirde la teoríade loscampos
a conceptualesexplicar proceso
el
de formación conceptos el niño. Estateoríasurgióy se desarrolló partirde losaprendizajes
de en a
matemáticos, profundizando específicamente las estructurasaditiva y muttipticatiya.
en Nos
inspiramos este
en autorparael desarrollo este
de libro.
tr

4. IstfuGtufas ymult¡il¡catiua: tGót¡G0
ad¡t¡ua marco
*.F---*E'#,,'1. Las hipótesiscentrales
(en
La teoríade los camposconceptuales adelante,
TCC) de Vergnaudse basa en tres
hipótesiscentrales:
S Eldesarrollo los conceptos explicaa partirde las relaciones
de se que guardanunos
que y
conotros;relaciones se dan longitudinaltransversalmente.
# Un conceptoadquieresu sentidoen funciónde la multiciplicidad problemas los
de a
cuales responde. Sólo el conjunto de las diferentes situaciones cubren las
propiedades relaciones constituyen núcleo un concepto.
y que el de
@ Por último,relacionandoestas dos hipótesisanteriores, adquisición
la conceptual
se
desarrolladurante un período prolongado. manejo de todas las propiedades
El y
relacionesque implican conceptos cumplea travésde una largahistoria
los se donde
progresivamente amplíao especiflca poderdeacción.
se su
ffi.EF,- 2. Losconceptos
Vergnaud proponeun criteriopragmático
paradefinirun concepto:
elfuncionamiento
de los conceptos situaciones
en constituye y
condición criterio su adquisición.
de Así, un
conceptocomprende tres aspectos:
@ el conjunto situacionesqueotorgan
de sentido concepto
al
& losconocimientosimplícitosen la acción (invariantesoperatorias)
S el conjuntode las representaciones simbólicas del concepto,sus propiedades,
las
diferentessituaciones sus procedimientos tratamiento
y de
ffirytr&-g..{Fffi 3. Las s ituaciones
Deestamanera, TCChaceaparecer todasu fuerza papel lassituaciones
la con el de o
problemas. conceptualización matemáticas
La en implicala elaboración medios
de
que
intelectuales permitan progresivamente tratamiento situaciones
el de cadavez más
complejas. ejemplo, alumnosólo podráconstruir sentido la adición la
Por el el de y
sustracción entraen contacto una granvariedad situaciones necesiten
si con de que de
estasoperaciones para su resolución. variedad situaciones
Esa de sólo puedenser
comprendidas su totalidad lo largo varios
en a de años; quehaysituaciones adición
ya de
que el niño ya comprende preescolares,
en mientras que otras todavíapresentarán
dificultadesterminar Primaria.
al la
La teoría de los campos conceptuales ofrece una clasificación diferentes
de
que
situaciones puedenpresentarse. Decimos que una situación distingue otra
se de
porqueapelaa un "razonamiento" diferente porque
y estadiferencia traducepor los
se
de de y que
desniveles éxitos fracasos losalumnos losrecursos ellosponen juego.
y en
ffi€S' 4. Conocimientosimplícitosen la acción
En el procesode conceptualización matemáticas, frecuente
en es que no sean
para por
explícitas el alumno, razones lascuales
las procede tal o cualmanera que
de o
ffi
{¡g

5. forzosamente pueda
él justificarlas.
Sucede que ciertasformas procederdel niñoparala
de
resolución problemas puedenparecer
de que "intuitivas irreflexivas"
o estánsustentadas en
un correcto que
dominioconceptual, Vergnaud explica travésde lo que él llama"teoremas
a
en acción". Ejemplo: Cuandoun niñodebecontarel totalde dos colecciones, puedeactuar
de dos maneras: juntar las dos colecciones luego contar el total o contar Cada una
y
separadamente adicionar respectivos
y sus cardinales. estesegundo
En casoel niñoaplica
un "teoremaen acción"que difícilmente pueda enunciar:el cardinaldeltotal es igual a la
suma de los cardinales de laspartes disjuntas.Dicho de olra manera,ha aplicadola teoría
de h medída, hvarhnza cons((u(va de h adrcón. Síña podrlo ponerh en prácúCapuede
inferirse poseeestainvaríancia
que oteoremaen accíón.
Del mismomodo,siel niñopartede unade lascolecciones (generalmente de mayor
la
cardinal)y sin volver a contar comienzaa agregarla otra (sobreconteo) también está
aplicando teorema acto:m + 1 +'l +'1....(n veces)equivale m + n. Esteesquema
otro en a es
intermedio entreel primerprocedimiento y y
(juntalascolecciones luegocuenta) el segundo
que utiliza teoríade la medida.
la
La TCC tratafundamentalmente sobreestosconocimientos que subyacen
implícitos
que
en las acciones sujeto.Es importante el docente
del los identifique ayudeal alumnoa
y
explicitarlos,aunquesea parcialmente a un niveladaptado la escuela, decir,sin una
y a es
formalización excesiva.
ffi'' ff'#,'Hi 5. La necesidad de la simbolización
ffi
Ya se tratede formasverbales no verbales, representaciones señalan
o las se comoel
tercer elemento esencial en la conceptualización. Pueden referirseal concepto,sus
propiedades lassituaciones
o propuestas.
La utilización formassimbólicas
de las y
paraclarificar similitudes diferencias entrelos
y
problemas facilitarla identificación de relaciones de razonamientos juego, es un
y en
medioincuéstionable para eltrabajodel maestro la escuela; resultauna ayudaparael
en
niñoy se transforma un pasointermedio
en entrela intuición niñoy la etapaposterior
del que
es la algebraica.El decir en palabraso en símbolosjuega un rol fundamentalen la
conceptualización, que segúnVergnaud, usode estossignificantes
ya el cumplen
explícitos
unatriolefunción:
S Ayudaa designar porlo tantoa identificar propiedades relaciones juego.
y las o en
@ Ayudaal razonamiento a la inferencia
o
planificar controlar acciÓn
anticipar resultados,
S Ayudaa fijarlosobjetivos, los y la
Un mismoconceptoaceptavariasformasde representación. hay más o menos
Las
pertinentes la resolución problema más o menoscercanasa las operaciones
a del o del
pensamiento sujeto. todasson
del No apropiables el mismonivelde desarrollo.
en
Para concluir, como ya sostuviéramos trabajos
tal en anteriores,
la instanciade análisisglobalde la situación previaa Ia realización
de algoritmos, hace a la verdaderaapropiacióndel problema por
parte del alumno, lo que nos llevaa prodigarnos para darleal niño
instrumentos le permitan
que mostrarsu"visiÓn" problema.
del
La simbolización utilizada este trabajobusca diferenciar
en los
"estados" y las "relaciones" y de esta manerarepresentar cadauna
de los diferentestiposde problemas aditivos multiplicativos. una
o Es
herramienta que además de ayudar a consolidar una relacióno un
razonamiento comprendido, permitedarlea los mismosun statusmás
colectivoen la clase, contribuyendo a la creaciónde un saber
así
compartido.
ffi$ffi

6. lilPFf:=* 6.E|campoconceptual
A modo introductorio
podemosdecir que se considera campo conceptual a un
un
espacio de problemas; así el campo conceptual la estructuraadifivaes el cónjuntode
de
que
situaciones necesitan parasu resolución suma,la restao la combinación ambas.
la de
Del punto de vista de la práctica,el campo conceptualestá constituido el conjunto
por
de situaciones cuyo dominioprogresivo necesitadel manejo de una gran variedadde
procedimientos conceptosen estrecha relación.Del puntó de vista téórico, un campo
y
conceptualestá.constituído el conjuntode conceptos teoremasque contribuyen
por y al
dominioprogresivo esassituaciones.
de
La definición campoconceptual
de permiteuna clasificación situaciones
de basadasen
el análisis la tarea,los procedimientos puedanintervenir las representaciones
de que y (de
y
Ienguaje simbólicas) susceptibles
deser utilizadasparasu resoiución.
Éstoexigeun doble
análisis:del punto de vista matemático implicala búsquedade problemas[abarcando
propiedades, relaciones,representaciones) otorgan
que sentido los conceptoi;del punto
a
de vistade la sicologíacognitiva
exigela búsqueda tratamiento los álumnoshacen
del que
de los mismos,así como la progresiónen sus posibilidades apropiación esas
de de
variablessituacionales.
mttrigE. l€,-ffi Las estructuras aditivas y las estructuras multiplicativas.
7.
Del mismo modo que las estructuras aditivashacen referencia las situaciones
a para
cuyotratamiento necesita la adición, sustracción ambas,las multiplicativas
se la o reúnen
a lassituaciones ponenenjuegola multiplicación, división ambas.'
que la o
A los efectosde la simplificación este trabajo,iremosdirectamente la clasificación
de a
de los problemasaditivos y multiplicativos pero permitiéndonos ambos capítulos
en
profundizarenciertosaspectosa partirdeldesarrollo estasestructuras.
de
ffi'-=¡Ei'A:B, 8. El desafío didáctico de las estructuras aditivas y multiplicativas
No se trata de una simple clasificación enunciados,sino más bien en una
de
clasificación razonamientos
de frentea problemas aditivos multiplicativos. justamente
o Es
estosrazonamientos que buscamos
los desarrollaren
nuestrosalumnos.
A veces hay problemas que puedenadmitiruna u otra clasificación,pero la mayoría
aceptanuna sola opcióny por otra partelo importante es conocerla clasificación; que
no tó
cuentaparaaquelque debaresolver problema :
un es
@ si tienefácilmente su disposición estructura le permita sentido este
a una que dar a
problema resolverlo,
y
@ si es capaz de cambiarel puntode vista y de comprender
este
problemaen otra estructuracuandoese sea el caso.
@ si disponede un conjuntode estructuras
suficientemente
variadas
que le permitanresolverdiversascategorías problemas.
de

7. { ,./
|,'
I
I ffqf'rulUoY:9. Los parámetrostomados en cuenta para la clasificación realizada
que planteala resolución estosproblemas, está dada por la
La mayordificultad de no
técnicaoperatoria emplear,sino por la naturaleza los datos del problemay de las
a de
que existenentreellos,es decirlo que se llamala estructura matemáticadel
relaciones
problema.
'fllltutmmflinM
¡rluillltlilmilmm
!m
estostresproblemas:
Consideremos
Jimri r]wMllrlllr{{tr]lffiml
a) Daniel tiene 16 ftguritas.José Luis tiene tres veces más que Daniel. ¿Cuántas
figuritas tiene José Luis?
b) Estela compró 12 cuadernos.Cadacuadernocuesfa$ 3. ¿CuántogastóEstela? FWIlte,urE'ilf,l ,]lrrc
c) El papá de Alejandro tiene 40 fotos para colocar en el álbum. En cada página se
colocan 5 fofos. ¿Cuántaspáginas del álbum va a utilizarel papá de Alejandro?
Los dos primerosproblemas resuelven
se por una multiplicación. embargo,no
Sin
tienen la misma estructuramatemática. el primer caso, hay un solo conjuntode
En
magnitudes (las figuritas)y una comparación (tres veces más) entre dos
multiplicativa
magnitudes la misma naturaleza
de (las figuritasde Daniely las de José Luis). En el
segundo problema se establece una relación multiplicativa entre dos conjuntos de
magnitudes diferentes cuadernos precio).
(los yel
y
A pesarde que el 2oproblema resuelve con una multiplicaciónel tercerocon una
se
división,ambos problemastienen la misma estructuramatemáticaque es la de la
proporcionalidad simple: dos conjuntos de magnitudes presentes y una relación
multiplicativa asociaa unay otra.Estosproblemas diferencian el lugarque ocupa
que se por
en esa relación magnitud
la que se buscay por lo tantopor la operaciónque se debe hacer
pararesolverlos. ulrl
representar
Podemos estostresproblemas la siguiente
esquemáticamente de forma: |llm|lufilllliNmrnmulMn
fflr"@},
figur,tt3.s,.,:eÉ"
fl/H
b /t
Acabamos de poner de relieve el primer parámetroimportante:la estructura
matemática del problema.Dentrode la misma estructura, que se busca conducea
lo
movilizar o cual operación, decir,la elección de la operaciónconstituye segundo
tal es un
parámetro.
ffi€ffi

8. En los problemasaditivoshemoshechola clasificación partirde la diferenciación
a de
losestados(seanmagnitudes posiciones)y relacionesquese establecen
o las entreellos.
En los problemasmultiplicativosnos basamosen los conceptosde magnÍtud y
relación para nuestraclasificación.
Estosconceptos estánampliamente desarrolladosen
los capítulosrespectivos.
Otroparámetro que podríaser tomadoen cuentaes la naturaleza el "tamaño"de los
y
númerosempleadosen el problema:enteroso decimales, menoresde 10 o "grandes",
múltiplosde 10, inferioreso superioresa 1, etc. Este último parámetroinfluye en la
que
representación se hacenlosalumnos problema porconsecuencia su capacidad
del y en
pararesolverlo.
**¡39.*.!$10. Los problemas utilizados para la clasificación: problemas aditivos y
multiplicativos
Partimos la ideaque un problema en sí mismounaficción, la cualla búsqueda
de es en
de la respuestanecesitade ciertotrabajode abstracción.
Llamamosproblemas aritméticos a aquellosdonde intervienen datos numéricosy
paracuyaresolución que poneren juegooperaciones esosnúmeros.
hay con Pararesolver
un problema aritmético debe descomponerse unidadessimples.Cada una de esas
en
unidadesconstituyeun problema aritmético simple, esto es, una situaciónque se
resuelve unasolaoperación,
con eventualmente (suma,resta,multiplicacióndivisión)
dos, o
y que consta sólo de los datos numéricosnecesarios.Precisamente estos son los
problemas encontraremos estetrabajo.
que en
La ideaes que el maestrotrabaje partirde ellos, el reconocimiento su estructura,
a de
la diferenciación de las relacionesentre sus datos, la distinción de los diversos
razonamientos entranen juegoy a partir ello, justificar o lasoperaciones
que de la elegidas.
El presentetrabajo no abarca todos los problemas aditivoso multiplicativos la
de
clasificación
realizadapor Vergnaud, sólo se limitaa presentar aquellassituacionesque
entiendepuedenproponerse nuestra
en escuela primaria.
B I B L I C-
l,}¡IVER$IDAiI
SEDi

9. GaRÍtulo
ll
deproblemas
Clasificaciún aditiuos
mffilntroducción
Cuandoparala resolución un problema operación debellevarse caboes una
de la que a
(o
adicióno una sustracción ambasoperaciones), decimosque ese problema relaciona
se
conla estructura
aditiva(campo y
conceptual) se designacornoun problemaaditivo
üffiffi y
Estadosrelaciones
que se presentasobre los problemas
La clasificación aditivosse apoya sobre dos
conceptos base:el de estado y el de relación.
de
Estados
numéricaque es un atributode un objeto
Llamamosestado a toda cuantificación
identificable. un grupode 36 personas,
(Ej: una bolsade 6kg de frutas,una temperatura
de
150). y
Distinguimos tiposde estados:estados-magnitudesestados-posiciones.
dos
ffiffi a) Estados-magnitudes
Llamamos que hacenreferencia enumeraciones
estados-magnitudes los estados
a a
o mediciones.
Ejemplos:
Q de enumeraciones:15figuritas, 657 revistas,etc.
I de mediciones magnitudes
de geométicas:una dlúanciade 27 km, un @mp & &AO nf , dc.
I de medicionesde magnitudes físicas:una personade 54 kg, una emisión de I h 30m
) de una medición de una naturaleza diferente: un pantalón de $ 35 (no puede hablarse
de medición en el mismo sentido que los anteriores,porque exisfe la posibilidad de la
variabilidad de la medida para un mismo objeto).
Apartedel hechode que algunasenumeraciones puedenreferirse números
sólo a
enteros, los estados-magnitudespueden tener valores numéricos decimales o
sexagesimales.
tffiGEW b) Estados-posiciones
Llamamosestados-posiciones los estadosque hacen referencia un orden, una
a a
escala
Ejemplos:
) deordenorango:unciclistaclasificadoen3erlugar,elpisol2deunedifrcio,elcapítulo
5 de un libro. etc.
I que expresanun "nivel":una altitudde 4807 m, una temperaturade 180,una calificación
de 8,5/12,etc.
tri
IT'

10. sólo puedenreferirse números
Apartedel hecho de que algunasordenaciones a
pueden tener valores numéricos decimales o
enteros, los estados-poslciones
sexagesimales.
c) Estados-magnitudesy estados-posiciones
La diferenciaciónentreestados-magnitudes y estados-posiciones, puedeen parte
que
ser interpretada comouna prolongación la oposición
de que
ordinal-cardinal se trabaja en
nrmeraóión losprimeros
en añosescolares, es un criterio
no quese hayatomado cuenta
en
parala propuesta problemas la escuela,sin embargo
de en creemos que
hastael presente,
el tomai conciencia dsta
Oe diferencia y
entre estados-magnitudes estados-posicio.nes,
aplicándola distintas
a situaciones, puedeampliarla comptensión la estructura
de aditiva
pbi p.rt" de losalumnos. porelloque incluimos parámetro ue contribuye dar un
Es este q a
statusdiferente actualalosestados-posiciones'
al
y los en
ahorala incidencia losestados-magnitudes estados-posiciones
Analicemos de
los problemas
ProPuestos.
Et rol del0 Y los números negativos
S Estados-magnitudes
En los casosde estados-magnitudes, es prácticamente
el0 inexistente. utilización
Su
un
es antinatural: grupode 0 periona,es un grupoinexistente, habitación 0 m2 no
una de
etc.
existe,
podemosconcebir númerosnegativos
los (un
para los estados-magnitudes.
Tampoco
grupo -10 personas?)
de
'S Estados-posiciones
En este caso, el 0 tiene un rol natural:la plantabaja de un edificioes denominada
muchasveces como el piso 0, la altitud0 es el niveldel mar,0o de temperatura tiene un
preciso...
sentido
tienensu lugar:el piso-2
Tambiénen los estados-posiciones, númerosnegativos
los
(subsuelo), temperatura el año-140
la -7o; correspondeun momento
a preciso la historia,
de
^t^
E TU.
y
Existen relaciones esfrecñas entre los esúados-magnitudes ios estados-
posicíones
puede haber casos en que la diferencia y estados-
entre estados-magnitudes
una
posiciones fundamentalmente
sea cuestión punto vista.
de de
Ejemplos:
S 100kmpuede conespondera estado-magnitud
un recorrida) unestado-
(distancia oa
(ind cuentakilómetroauto)
posición icadordel del
S 10horaspuede referirseunestado-magnitud
a (talhora
(iem.qo)a unestado-posición
o
deldía), elcontexto
es quepermitirá cuálde doscorresponde.
diferenciara los

11. Nosotros, ya
como expresáramos, propuestade
incorporamos distinciónnuestra
esta a
problemas,
porque
entendemos lo importante ofrecerle gamade situ'aciones
que es una
diversas permitan
que ampliar comprensión concepto
la del que strabajando.
Relaciones
Llamamos aditiva unarelación naturaleza
relación a de numérica
entredos estados.
Una relacióncumplecon ciertas
características:
I esa relaciónes un númerorelativo(positivoo negativo).Ej: 5 objetosmás en la caja A
que en la 8,"+5" expresala relación entreun estado(número objetos la cajaA) y
de de
otroestado(número objetosde cajaB)
de la
a esa relación tieneuna dirección(orientación):dosestadosrelacionados cumplen
no el
mismo rol y no son intercambiables. por ello que las relaciones traducenpor
Es se
parejasopuestas: anancia/pérdida,
g más/menos, etc.
Distinguimos dos grandes categorías de relaciones aditivas: relaciones de
transformacióny relacionesde com paración.
a)Lasrelaciones transformación
de
Las relaciones de transformación se refierena dos estadossucesivosde una
magnitud de una posición. sitúanen un cuadro
o Se cronológico.
Comosetratade un estado
que cambia,debemosconsiderar uno que llamamos
dos estados, estado inicial y el otro
que llamamosestado final.
Ejemplos:
t Unagananciao unapérdidade eltranscurso unapartida.
6frgurltasen de (+5o-5)
pisosl+3 o -3,,
a Subiro descendertres
b) Lasrelaciones comparación
de
Ellasexpresanuna comparación
numéricaentredos estados distintos indepen-
e
dientesconsiderados Mientras transformacionesdefinen partir
simultáneamente. las se a
de unacronología, comparaciones
las hacenreferencia unasimultaneidad
a temporalde
dos estados.
Llamamos estadoreferente estado
al y
con el cualcomparamosestado
referido aquelque comparado.
a es
Ejemplos:
5 añosmás de edadde una persona conrespecto una persona (*S o -Sentreel
A a B
estadoreferido eslapersona elestado
que Ay que
referente esla personaB)
6oentre
Unatemperaturasuperior(oinferior)en Rosarioy MardelPlata(+6o -O)
<} de y
Simbolizaciónestados relacíones
Hemos tomado convencionalmente para
uncuadrado representarlos (ya
estados sean
unamagnitud una posición).
o Paralas relaciones
hemostomado círculo
un (dentro
del
mismo estála información
numéricaacompañada unsigno sumar restar); flecha
de de o la
que acompaña círculoindicael "sentido" la relación. signode interrogación
al de El
simboliza
elestado larelaciónencontrar.
o a
IT

12. matemáticadeproblemas
Laestructura los
ftffimffi,üffi Esquemáticame
Llamamos estructura un problema
de aditivo modode combinación los estados
al de y
parte-p
la relación
las relaciones. diagrama:a, bycd
La competencia los alumnospara resolver
de de no
problemas adicióno sustracción
sinode la comprensión estas
de o decimales. d
Uno
¡ depende dominio la técnica estasoperaciones,
dei de de
determinar, siendo
diferentes combinaciones.
El estudiode las diferentes nos lleva a señalarcuatrograndesgrupos,
estructuras
, pasibles sertrabajados nivelescolar.
cle a
partesen un todo) 2) La transforma
$sffiffiffiffffi 1) La relación parte-parte-fodo (composición de
Sólo conciernen los estados-magnitudes: estadorepresenta
a un eltodo, los otrosdos
sentidosi estamosdeterminando el Dos estados ru
se
a cada una de las partes.La expresión 3+5 adquiere 'tfirl:; el estadoinicial"
a t
númerode personas un en grupo (tresniñasy cincovarones), el peso de dos bolsasde
o_
nar3nitudes como a I
frutas.pero no tieneningún sentido decimos
si llegóen 3er lugary otroen
que un corredor
¡rlel: va.Llegamos
a: así
5o,o que en una ciudadhay 3 gradosde temperatura otra5.grados. se corresponde
yen (No
lugaro con Bo t-emperatura). lo tantoestaestructura abarcaa losestados-
de Por no
"oh "ia"
poslcrones.
problemas: ¡/ Andrésestájuga
Estarelación sólopermiteconsiderardoscategoríasde
mesa;estáen el a
¡'obtieneun 5.
t buscareltotalconociendo partes
las
7l'lasta qué casillet
e buscaruna eltotalylalsotra/sparte/s
parteconociendo
t1El1fil.'
#@r*sN1írsl@f!¡!¡t?!¡¡|ll¡Miler¡ffi¡r
3peración realiz
a
.---@ Mitenatiene 7 bolitasazulesy 4 verdes. bolitas
¿ Cu ántasbo litastiene en total? azules
suma
a realizar:
Operación
bolitas
sI$es
Er r, Gonzalotiene 8I
saftidacon MaríaJ
_-_-*_*-@ ¿Cuántas bolitast
2ípersonasPara
Rosanainvitó
sucumPleaños. hombres
@l 3peración realiz
a
Trece ellasson
de hombres.
invitó?
Cuánta muieres
s
¿ [ElR"'onu'
resta
Operaciónrealizar:
a mujeres
tr/
----& Virginia salió comPrasY
de gastÓ t¡ María Noeljugab
$ lSentotal. en el casillero 7; de:
Enel supermercado
$ 12,enla librería
gastÓ
eldiario.
$ 5 y por últimocomPrÓ
super'
mercadoE1 eldado,puso su fc|
¿Quéocurrióen la ¡
: retrocedido?
I ¿Cuánto
Operación
pagóporesteúltimo?
a realizar: suma una
una Y
E
librería
¿Cu
Speraciónarealiza
I oiu,io trr
resta dosrestas
o sucesivas.

13. Esquemática mentepodemos representar
parte-parte-todo el siguiente
la relación con
diagrama:a, y cdesignan
b números enteros
o decimales. es
Unode estosnúmeros a
determinar, siendolosdemásconocidos
2) La transformación de esfados (Unatransformación
opera sobre un estado inicial
paradarun estadofinal)
Dos estadosse relacionan por una transformaeión. búsquedapuede orientarse
La
elestado finalo la transformación puedeconcerniralos estados-
haciael estadoinicial, y
magnitudescomo a los estados-posiciones. transformación
La puede ser positivao
negativa.Llegamos a seistiposde
así problemas.
Transformación
*--g a) Andrésestá jugandoa unjuegode
mesa,' esfá en el casillero9, tira eldado
y obtiene un 5.
¿Ha staqué casillero pu ede avanzar?
@
obtuvocon
el dado
Operación realizar:
a suma
r-----_-@ b) Gonzalotiene I bolitas,juega una
partida con María José y pierde 3.
¿ Cuántas bo litastieneahora?
Operación realizar:
a resta
E
bolitas quetiene
"F-
c) María Noeljugaba con Andrés; estaba
-@ en el casillero 7; despuésde habertirado
el dado, pusosu ficha en el casillero 11.
¿Qué ocurrió en la partida:ha avanzado
o retrocedido? ¿ Cuántos casilleros?
Operación realizar:
a resta
donde
casillero casillero
donde
estaba llega

14. "
B
r- [-----€p
W 1!
d) Martíntenía 16 botitas,despuésde
haberjugado una pattidacon Cecilia,
la
tiene 12.¿QuéocurriÓen Paftida:
o Casopartic
-n este caso ¡a
:,r*: 3 nayque
ha ganadoo Perdido? 5n el casoen'
I Cuántasbolitas? li: * - : alcnessuc€s'
¡
resta
Operación realizar:
a =_en-nplos:
a Alejandray
:antidadde C
L-+ e) Nicotás acabade avanzar3 casilleros
en el tablerodejuego' Ahora estáen el
@con
obtiene el dado
enia nada. frere
--^i^
::nía $ 130"
^^)^
a,
10.
casillero ¿Dóndetenía suficha , QuésumaS;
antesde estaiugada?
donde
cas¡llero casillerodonde - 3jrquehacer
: Operación realizar:resta
a
estaba llega
¿ ¡ ¿tto t¡I]tsr;
-
f) Sofíaacaba de perder 5 bolitas
@
--^-44-E^^
jpot¡ludI io¿
-=---@ Ahoratiene3.
-
iugando con Estefanía. '*:,lsrA qüe gaa
antesde perdió
tr-
_¡-r'f3Q
¿Cuántastenía T !-r- ¿
comenzareliuego?
Operación realiza suma
a r: bolitas
uetenía
tr
bolitas
-t-x
:ia
--.---=>
ñ:e2n=G
/ -
¿
uetiene
La representación un diagrama
con
permitejustifica maneraeconómica
rde
el pasaje la rePresentación
de del
problema la rePresentación la
a de " r-> - -= -_ : :
(l
solución. : estadoinicial;
T:transformación, estado
F: final)
*iI
ffis@P1ffif*lL
--: : ; l :
rft¡tll#
Cátculo n um érico y cálc ulo rel aciona I
Si llamamos "cálculonumérico" lasoperaciones adición de sustracción"cálculo
a de y y
dr J
relacional" los razonamientos
a necesarios para determinar hay que sumar o restar,
si
u"mor que ta relaciónestado inicial - transformación- estadofinal permite comprender
I,mm lS:a:r:S Se
la diferencia entre el cálculonumérico el cálculorelacional, que hay 6 cálculos
y ya rÍllüIlrilimn1]Íffi 1r"É
s mJ -É
y
relacionales sólo 2 cálculos numéricos. los 6 casospresentados, se resuelven
(De 4 con
F .l.gmemfd@
una sustracción dos con una adición). relación
y La parte - _parte - todo sólo ofrecedos smHffimtü|?:;: É
poriOitiO"O"s cálculorelacional
de que se corresponden términoa términocon los dos
bálculos numéricos de adición sustracción. casoc, Virginia,
y (El implicala combinaciónde
ü üt ,.Jl,tlji:ÍE{-r; fErS
operaciones). lo cúalvemosque la relación
Con parte- parte- todo,a pesarde su 5 ]ft rrlFF- -E
fuerte peso conceptual,no nos ayuda para la diferenciación cálculo numéricodel
"rnár del I rflm:iÉ *És
relacional, paradespejartodas dificultades
ni laé de razonamiento pueden
que encontrarlos ü lil 5l ri:
alumnos. üMi.fllrñfiiljr{r;t'üd" t
.* r €mma i+errs
4{l/tt@1rrmrir*Ín:
Wtrffi

15. Caso particular: transformación definida por dos parejas de estados
En este caso la transformaciónestá dada por dos paresde estados.En el caso más
simplehayquehallarun término siendounode lostérminos
entrecuatro, el0.
En el casoen que ninguno los términos
de sea 0, la resolución problema
del necesita2
operactones
sucestvas.
a) Alejandroy Andrés reciben la misma
cantidadde dinero.Alejandroque no
tenía nada, tiene ahora $ 75. Andrés Alejandro
-) Alejandro
tenía$130. tenía tíene
¿Qué sumade dinerotieneahora?
Andrés
E tr
Hayquehaceruna
operación: suma
una teníaF3d.|
b) En unaernpresase acuerdaotorgar
unapartidafijaa todoel personal. Sr.
El
Nogaraque gananormalmente 720
$
por mes,cobróestemes 870.La Sra.
$
Cassina ganahabitualmente935
$
por mes.¿Cuántocobrará estemes?
Operaciones y
a realizar: sustracción
una
unaadición
Generalizando, diagrama
este permite
representareste de problemas: b,
tipo a,
c y d sondatosnuméricos.Tresde
estosdatosson conocidos, (convengamos
quesi unode ellos el 0, no constará el
es en
enunciado) debiéndosehallar cuarto.
el
3) La compncíón de esfados (Unarelación
cuantificada
operacomparando estados)
dos
Dos estadosse ligan por una relación comparación.
de Estos estadosse toman en
cuenta simultáneamente.(referentecomparaciónreferido)
- -
Elreferidodesigna cantidad
la comparada;elreferentela cantidad relación la cual
en a
se establece comparación.
la
S a) An a tiene tres a ñosmás q ue Daniel.Danieltiene 13. ¿ Cuál es la edad de Ana?
El númerode añosde Danieles el referente.El número añosde Ana es el referido.
de
3 añosde máses la comparacióncuantificada.
+ b) En una carrera, Milena //egó seis lugares antes que Santiago, quien clasificó en
décimo lugar.¿Cómo clasifrcóMilena? ,
a Q Estela tiene 16 años. Alejandro tiene 12. ¿Cuántos años menor que Esfe/a es
Alejandro?
2l

16. & d) Andrés vive en el segundo piso.Su primo Matías estáen el noveno.¿cuántos pisos
debe subirAndréscuandovaajugara lo de Matías?
@ e/ José Luistiene 9 años menosque su hermanaMónica.Ét acabade cumptir12 años.
¿ Cuántos años tien e M ónica?
* flCórdoba registró ayer 29o de temperatura, To más que Mendoza. ¿Qué temperatura
hubo en estaúltimaciudad?
La comparación cantidades magnitudes unasituación
de o es frecuente
entrelos niños
desdetemprana edad.Pero para que estascomparaciones conduzcan problemas
a de
adicióno sustracción necesario
es sean conocidas que haya una
que dos cantidades y
tercera desconocida.Es decir que en la relaciónreferido-comparación-referente,es
necesario que cada uno de los términostengaun valornumérico,comoen los ejemplos
antescitados.
Esta comparación entre un referidoy un referente por una relacióncuantificable
da La recta se orientad
lugar a 6 situacionesdiferentes como podemosapreciar el siguiente
en cuadro.Para -:: luce pormásgue o ,-"n
comprender mejorel esquema elegido precisemos que, el referente colocadebajo;
se la
relacióncomparativa representa unaflecha
se con q ue va del referente referido.
al Nosotros encontram
-'sultar más sencilla. prf
,i,mflerryw*i+]rrrit*_ -: rzamos el cuadrc I
en
=-t'e el esquemade a
El referidoél chico
el referente ::nnparación. otra ra
Por
rit}.$s,.Iffi#.i el referente : : ^rpara)
con el referen:
el :::e grupode problema
- ineromayor(searefe'e
Xr Mirena
flf
-
-'a flecha que indique r
:,lro de la relación
e
(cuan
;: ¡¡erda laderecha.
a
Daniel
trj@ santiasotr-)@
¡. -J! I ni t I i,P#|irwi:-
Generalizando,
:i:"¡ oaración.
tene
Conside re..
¡,.1q
':-:ero a detefminar.
'_-;"':i i L
F
Sebusca la
refación
Matías
EJf Alejandro@|
Andrés
E)@ Estela
@)@ W.l "'rü Recapitutación
)g
Sebusca el tlasta aquí hemos fi
referente y
:s:.lcturaaditiva no se h
Córdoba
E*. José
Luis
E*a
:-: a experiencia
:---:'a) comprendido
son
muest
':':rente (Mónicay Mendo
r
Tampoco pn
elclásico
Mendoza
a)@ Mónica
Ej@
r: :: iRosana) el másfá
es
:-:b'iemadio lugar a una
: - -ando. El casomásráp
::snlnución un estado
de il
"=,.:iver niño problem
al
wss

17. La representación utilizada
aquí facilita comprensión la relación
la de y
entreel referido
el referente,pero a menudo resultadificultosapara los niños por lo que hay quienes
pnefieren utilizarla
rectanumérica
comovemosaquí:
y
Oiferencia el referenteel referido,
entre expresada
entre dosestados
porla comparación los
E *not delos números
dos
ser
:uede elreferente
La recta se orientade izquierda derecha.La diferencia
a entre los dos nú
traducepor másque o menosque,segúnel sentido la lectura
de elegido.
Nosotrosencontramos que aunque la representación la recta numéricapuede
en
resultarmás sencilla,presentainconvenientes subsanadoscon la representación que
utilizamos el cuadro.Del puntode vistade la forma,no hay una diferencia
en sustancial
entre el esquema de la transformación estados y el de la recta numéricade la
de
comparación. Por otra parte,no permiteuna clara distinción entre el referido(lo que se
compara) (conqué se lo compara), cuales importante
con el referente lo paracomprender
este grupo de problemas. Por último,como el lugar a la derechade la recta,es para el
númeromayor(seareferente referido), líneaque representa comparación
o la la deberáser
unaflecha que indique elsentido quedebeleerse comparacióntrabajarelcambio
en la o de
signode la relación(cuandoello sea necesario) queremos
si que la lecturase haga de la
2quierdaa la derecha.
tenemosdos diagramasdiferentespara representar relaciónde
Generalizando, la
Consideremos b y c comodatosnuméricos,
comparación. a, dondedos son conocidos el
y
tercero determinar.
a
jl:¡]!W
Recapitulación
Hasta aquí hemos llegado a 17 tipos de problemasdiferentesa resolvercon la
estructuraaditivay no se han vistotodoslos casos.Antesde continuar, buenodestacar
es
que la experienciamuestra que los problemas dondese buscael esfadoinicial (Nicolás y
Sofía)son comprendidos por
más tardíamente los niñosal igualque los de búsqueda del
referente(Mónicay Mendoza).
Tampoco clásicoproblema la búsqueda una parteconociendo otrapartey el
el de de la
todo (Rosana) el más fácilmente
es por
comprendido los alumnos. Justamente estetipo de
problemadio lugar a una corrientedidácticaque privilegió suma en la que falta un
la
sumando. casomás rápidamente
El comprendido porel niñosobrela sustracción el de la
es
disminución un estadoinicial(Gonzalo).
de Cabeagregarque somoscontrarios enseñara
a
resolveral niño problemas este tipo con el esquemade la suma en la que falta un
de
as

18. sumando, quedejamos ladounadisminución
ya de (operaciónsimple la comprensión
a del
alumno) para reemplazarlapor una operaciónde complementación que implica CuandoEstetafestñ
mayorcomplejidad. quedebemos
conceptualmente Lo privilegiarno queelalgoritmo
es sea s:tpapácumptió41'ú
hecho por
másfácilmente el alumnosinola comprensión lo queestáhaciendo.
de EsteañoEsfela
¿Qué edadtienesu
,W precisiones
Otras
0 Sobre estructuras
/as aditivas
Cperacionesarealiz;ln
En el procesode conceptualización las estructuras
de aditivas,hay aspectosque es unasumay unaresta
importante que el maestrotenga presente. el casode la relación transformación,
En de es
difícil que un alumno sea competente para hallar el estado inicial,conociendola Generalizando,ef
y
transformaciónel estadofinalsi antesno ha comprendido rnenos
al implícitamente: 'epresenta estetipooe
c y d sondatosnumérm
@ la diferencia y
entreestado transformación queunode ellos puede
+ la diferencia estadoinicialyestadofinal
entre io estarpresente s
en
& la relación inversión
de entrela transformación
directaque hacepasardelestadoinicial Ceellos sonconocidos
recíproca hacepasardelestado
alestadofinaly la transformación que finalal estado a determinar.
inicial.
de el debecomprender:
Paralelamente, la relación comparación, alumno
en W" 4) La composición &
Í¿r: Carlugara unatercera
r
e entrereferente referido: es lo quese compara conqué
la diferencia y qué y
€ ef carácterinversode la relaciónentre el referentey el referido(si A tiene 3 años más 3uandodos trans
que B, Btienetres añosmenosque A) nfi:r:so un aumento una
y
ms;_:t ransformacio nes se
De ahí la importancia la confrontación como etapa posterior la búsquedade
de a esas Lransformaciones co
solucionesa las situacionespropuestas.El maestro debe propiciar la instanciade pr:c emas utilizaremos
re
desarrolladas el niñoparaprecisar diferencias
verbalización la o las acciones
de por las de *si.nfo inicial_trans
casosde problemas.
losdistintos ffis:-ansformaciones.
![iúf , .,..,i*-y]ffi,ifi$##g#ist$*]*¿1w;
Casoparticular: la comparaciónestádefínidapordos pares de estados at Sofíajugó dos yecesa
-a primera vez ganó g
La comparación está dada por dos paresde estados. el caso más simplehay que
En :egundavez perdió3
hallarun términoentre cuatro,siendouno de los términos 0. El 0 puede indicarse
el ¿Quépasóatfinat?
explícitamenteno.
o 16anó o perdió? ¿C
En el casoen que ninguno lostérminos 0, la resolución problema
de sea del necesita
dosoperaciones sucesivas. Sebuscala tra
Ejemplos:
---@ Anatenía18 añoscuando naciósu s.i,
Biancagasfó g 39 en Oos
hermano JoséLuis.Hoy,
José Luis :ampactos. pero comoh
fesfeiósus
15años. Ana s ara venderofros discos
¿Quéedadtiene Ana? 'eEresara casavioquenl
su
@)o (
,ag nenosdeIo queteníaantes
,:s drscos. Cuánto
¿ dinero
i6- @ Á
:En la revenfa de /os discps?
Operación
a realizar: suma
una José 3uscamos segunda
la transñ
Luís
José _É.co.mparacióng15 menos q
:stadoinicialy
elestado final
ció m
:3tl3trl-o"fna nco pues
G?{

19. SuPaPá
CuandoEstel festejó l5 añog
a
supapácumplió años.
41
sus --"ffil---
SuPaPá
,-A
Este Estelacumplió años.
año 24 r - - r /f
edadtiene papá?
su
¿Qué , -,, '
-l?Jl
@'/ Estela
Estela
Operaciones
a realizar:
y
unasuma unaresta
Generalizando, siguiente
el diagrama
representa estetipode relacióna, b,
:
c y d sondatosnuméricos; (convengamos
que unode ellospuede 0 y porello
ser
no estarpresente elenunciado)
en tres
de ellos y
sonconocidos elcuarto
a determinar.
(Dostransformaciones componen
4) La composiciónde dos transformacíones se
paradar lugara unatercera)
Cuando dos transformaciones suceden
se (dosaumentos sucesivos, disminu-
dos
o y
ciones unaumento unadisminucióna la inversa)
o problemas suscitan, que
otros se ya
estas transformacionescombinan
se entre ellas se puede
y solicitar
hallar resultante
el de
esastransformaciones combinadas alguna lastransformaciones
o de simples. estos
En
problemas utilizaremos
representacionessimilares las utilizadas los problemas
a para de
estado inicialtransformación-estadoperolosenunciados aportarán
final, sólo datossobre
lastransfo ciones.Vea
rma moslosejemplos iguientes
s :
jugó dosvecesa lasfrguritas.
a) Sofía
Laprimeravez ganóSfiguritas;
la
segundavezperdió3.
zQué pasó alfrnal?
¿Ganó o perdió?¿Cuántas?
Sebusca transformación
la compuesta
b) Bianca gastó $ 38 en dosdiscos
compactos. Pero como h abía llevado
p ara venderofros discos usados,a/
regresar a su casa vio que tenía $15
menos de lo que tenía anfesde comprar
/os discos.¿Cuánto dinerorecuperó
con la reventa de los discos?
Buscamos segunda
la transformación.
La comparación menosentreel
$15
y
estadoinicial el estadofinalequivale
a latransformación compuesta-15
?5