1. “ Abriendo el Juego ”
Dos Guiños:
1) Guiño hacia la
Planificación: Estudio de
Clases, japonés.
2) Guiño hacia el tipo de
Problemas: Problemas
Abiertos.

2. Palabras Previas:
 Reiterada INVITACION.
 NO soy profesor de Básica.
 Dos carreras distintas: Prof. Básica/ vs / Prof. Media.
 Partir desde la humildad.
 Yo estaría contento si: Abro algún sentido, si enseño (aprendo) al menos
una cosa a(de) un(a) otro(a).
 “Repasar las materias de 1ro. a 4to. toma 4 años”.
 Plan de trabajo para este encuentro:

3. Primeras sugerencias a una revisión comparativa
(en paralelo) al currículum de 1ro. a 4to.
Comentarios:
1) Comparación curricular con Bolivia (desde los textos).
2) Necesidad de estar al tono del actual paradigma
estadístico/estocástico.
3) En esencia, estos Ejes Temáticos están en todos los niveles
preuniversitarios de la educación chilena.
4) ¿Cuáles son los ejes más “OLVIDADOS” en la Enseñanza Media?
Ideas: Paquete de Ondas, Principio de
Incertidumbre, Humildad de la ciencia ….

4. (Grandes) Problemas de la Humanidad en los
cuatro Ejes Temáticos:
Números Modelación
Ley de
Álgebra
formación fenómenos
Números naturales
Primos con álgebra.
Realidad Geometría
Atómica como Fractal como
Realidad geometría de la
Estadística. naturaleza.
Geometría
Datos Y Azar

5. Primeras sugerencias a una revisión comparativa
(en paralelo) al currículum de 1ro. a 4to.Básico.
Este currículum nos
sugiere –incluso al
interior de un mismo
curso- una
arquitectura
"CURRICULAR en
ESPIRAL" y esto se
asocia a algo que
todos hemos
aprendido de las
matemáticas, y es que
"Todas las nociones
matemáticas están
interrelacionadas".
Entonces, en todos
los niveles,
proyectivamente, se
vuelven a trabajar
ideas centrales, en
varias oportunidades,
es decir, acá no
subyace la idea de
que una materia se vio
una vez y nunca más
volverá a ser tocada.

6. Primeras sugerencias a una revisión comparativa
(en paralelo) al currículum de 1ro. a 4to.Báico.
Cuarto Básico
Tercero Básico
La primera instancia que se ve la
división es en 3ro. Básico, no
tiene la forma que como adultos
sabemos, allí se habla de
"reparto equitativo", y esto es el
germen de la división.
Luego, más tarde, en 4tp básico,
se introduce la escritura de la
división, con el símbolo propio de
la operación y se enseña
abiertamente el algoritmo de ella
(incluyendo en este nivel el
División como Reparto concepto de RESTO)
Equitativo División Algorítmica

7. Habilidades – Ejes Temático
Primer Ciclo Enseñanza Básica

8. Pensar en estos espacios curriculares
desde la óptica de la COMPLEJIDAD
 La complejidad es una realidad, como lo es que en toda
manifestación humana intervienen los pensamientos, las
emociones, el lenguaje, la corporalidad de manera
simultánea. Complejo, a decir de Morin (2004), significa
aquello que forma un tejido conjunto. El pensamiento
complejo permite la divergencia, lo objetivo y subjetivo,
analizar y sintetizar al mismo tiempo, deshacer y
reconstruir algo nuevo. Nos permite comprender el
potencial creativo como fase de construcción y
reconstrucción de la realidad en una dinámica
organizadora y reconstructiva de orden y caos.

9. Instalando Preguntas/Sugerencias:
Tres Ejes al Azar
que para mi
son sugestivos:
Planificación Didácticas Evaluación
Problemas
Método de Estudio ¿Algoritmistas
de Clases Japonés Abiertos
en Matemáticas. Vs. Abacistas?
TEXTO
Problema Abierto: En
matemática escolar se
Clases dice que un problema
Solución es abierto si éste no
dispone de
Usada Asesoría procedimientos
estándares para
En Método Externa solucionarlo, o bien, el
problema tiene varias
SINGAPUR soluciones.

10. ¿Algoritmistas vs. Abacistas?
¿Cómo Resuelve el Método Singapur?: En un comienzo, la
introducción de un nuevo concepto, parte SIN ahondar las razones
matemáticas que las sustentan. Más tarde, se introducen las
representaciones o referentes concretos. Es decir, primero se
introduce el algoritmo para luego acompañarlo con representaciones
concretas.
Las o los
Multialfabetización:
educandos entran
a un concepto
por los códigos
que más les
acomodan.
Es por esto que Múltiples
se utilizan REPRESENTACIONES
diversas formas
de representar
conceptos
matemáticos: Tránsito: Co-Pi-Si
Concreto-Pictórico-Simbólico

11. CO-PI-SI
La metodología COPISI es un
abordaje metodológico en el que se
trabaja con representaciones
concretas, pictóricas y simbólicas,
donde los conceptos abstractos se
representan por signos y símbolos.
Los niños pueden solucionar
problemas en distintos niveles de
Lo Pictórico y abstracción, transitando en ambos
sentidos desde el material concreto
los Modelos a las representaciones simbólicas.
La manipulación de material
de Barras en concreto y su representación
pictórica mediante esquemas
el Método simples (cruces, marcas, círculos,
SINGAPUR: cuadraditos, marco de 10, tabla de
100 y recta numérica) permite a los
estudiantes desarrollar imágenes
mentales. Con el tiempo,
prescinden gradualmente de los
materiales y representaciones
pictóricas, y operan solamente con
símbolos.
(Texto del MINEDUC)

12. El método
SINGAPUR ha
logrado
Método SINGAPUR
resonancia por
resultados
obtenidos en
evaluaciones
internacionales
(Timms, etc.)
El método Singapur es un sincretismo de
visiones de Psicología Cognitiva y Didácticas
que tienen ya historia, podríamos decir que es
una mixtura de elementos relevantes y probos
en estas materias.
Tres pensadores en el ámbito de lo educativo
tienen especial relevancia en el método
Singapur:
Singapur trabaja bastante
menos contenidos que el 1) Jerome Bruner (Estadounidense, 1915, Psicólogo)
currículum chileno, 2) Zoltan Dienes (Húngaro, 1916, matemático)
pero en profundidad. 3) Richard Skepm ( Estadounidense, 1919-1995)

13. Imágenes de J. S. Bruner
" Cualquier materia puede ser enseñada efectivamente, en alguna forma
honradamente intelectual, a cualquier niño en cualquier fase de su
desarrollo ".
(Tomado de:
Bruner, 1960, pg. 51 ,
"On learning mathematics"
"The Matematics Teacher".)
Currículum en ESPIRAL :
" Un Currículum en Espiral es aquel en el que los temas irán apareciendo una y otra
vez, y cada nuevo tratamiento de los mismos será algo menos intuitivo y más
formalizado que el anterior, y pondría de manifiesto sus relaciones con un
conjunto cada vez mayor de conceptos matemáticos. Afirma que las estructuras
matemáticas se pueden ir formando en las mentes de los estudiantes a base de
proporcionales experiencias que les permitan desarrollar representaciones Activas
(Enactivas), Icónicas y Simbólicas, de conceptos, en ese orden. "
(Tomado de:
Manuel Alcalde Esteban. )

14. El estudio de Clases Japonés en
130 años
MATEMATICAS de VIDA !
A veces hasta 1.200 educadores observan
un clase.
Un
reducido
número de El Estudio de Clases es una actividad permanente
docentes de muchos actores del sistema educacional
planifica japonés, incluyendo todos sus profesores de
una clase, la
escuelas, a quienes se permite no sólo compartir
uno o la clase es
luego 2 clase,
docentes y analizada
observada su conocimiento y aprender de otros-y, según se
implement Es un
en público. suele reiterar, de los educandos,- sino también
an
quehacer signado por aportar como investigadores al desarrollo de la
lo colectivo.
educación en su país.

15. Problemas Abiertos:
 No hay un método tradicional de
resolverlos.
 No hay una única solución.
 Son de mucha riqueza conceptual.
 Generan discusión colectiva.
 Se recomienda: NO anticipar solución y
finalmente generar un resumen de
aprendizaje, que ojala emerja INDUCTIVO.

16. Eje Números:
Sin embargo, en el sistema
Binario, que se usa en
comunicaciones y
computación, los pesos
son diferentes:
¿Es mejor el sistema Decimal?
¿Y los Maya y su sistema Vigesimal?
¿Y los Babilonios y su base 60?
¿En qué sistema se manda
información terrena a otras posibles
civilizaciones?

17. Eje Álgebra: Un problema clásico en esta área, para este
nivel es buscar –por INDUCCIÓN- algún o
Álgebra: Rama de las algunos términos de una sucesión de
matemáticas que se ocupa de las números:
reglas y propiedades generales de
la operatoria con números, cuya ¿Cuál es el siguiente? : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; -----
validez no depende de los valores
numéricos involucrados.
Representando números por
letras, permite calcular así de
modo más general posible.
Observe Ud. un problema
planteado para octavo:
PRINCIPIO de
PARSIMONIA y
Desambiguación
¿ Y el juego de los Teléfonos ?

18. Eje Geometría: ¿Es posible
construir un
Se dan varios trozos triángulo, con
de madera y se pide
deducir en torno a la tres segmentos
pregunta: cualesquiera?
Desigualdad Triangular: En un
triángulo CUALQUIERA, la
suma de dos lados debe ser
siempre mayor que el tercero.

19. http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php
Eje Datos y Azar:
1) Vamos a realizar un experimento en COLECTIVO.
2) Cada educando(a) lanzará 10 veces una moneda.
3) Luego TABULAREMOS los resultados personales y aditando de 10 en 10
lanzamientos.
4) Para efectos de aprendizaje, vamos a dividir el número de caras por el total de
lanzamientos, y también el de sellos, en cada uno de los grupos en adicción.
5) Esto se puede hacer en un simulador de lanzamientos como el que se muestra
arriba en el link sugerido.
Detrás de esto: La
Ley de los Grandes
Números dice que
mientras más veces
repito un
experimento, la
probabilidad
Experimental se
acercará más a la
Mi lucha en Lo Hermida !!!! Probabilidad Teórica.

20. ¿Matemáticas y Budismo?
Intuiciones ….

21. ¿Qué es un MODELO Matemático?
Modelo: Conjunto de presunciones sobre como funciona un sistema.
Ejemplo : Nicolás Copérnico construyó un modelo del sistema solar con el sol en el
centro (heliocéntrico), opuesto al modelo aceptado hasta ese entonces donde se
presumía que la tierra era el centro del universo. En ciencias hoy es casi imposible
trabajar sin un modelo. Hay modelos determinísticos, que son los que no tienen varianza
en sus coeficientes, y hay modelos estocásticos, que presentan variaciones al azar en
sus coeficientes.
(Diccionario Científico, Sergio Prenafeta Jenkin, Edi Ediciones/ICM Iniciativa Científica
del Milenio - año 2007).
Modelo : El modelo es una formulación que imita un fenómeno del mundo real y por
medio del cual podemos efectuar predicciones.
Modelo Matemático : Proceso por el cual se hace una abstracción matemática del
mundo real. Luego se aplican argumentos matemáticos para alcanzar conclusiones
matemáticas. Finalmente las conclusiones matemáticas se interpretan en función de
sistemas reales. Es una estructura conceptual basada en el conocimiento representado
por combinaciones de elementos físicos y matemáticos.
(ODUM, E., 1972)

22. En torno a los Modelos/Paradigmas
Evolución de Paradigmas según Khun:
Primero: Un modelo de la realidad se instala como paradigma
dominante, debido a que explica de mejor forma la realidad. Durante este
tiempo se acumula saber y se producen falsaciones de aspectos
parciales.
Segundo: El paradigma no lo explica todo, hay límites. Esas dudas, a
medida que se intentan solucionar y resisten se convierten en
anomalías. El paradigma comienza a debilitarse. Se ofrecen ajustes
parciales.
Tercero: Lo anterior se soluciona con una substitución del paradigma
por uno nuevo.
Las revoluciones científicas consisten en que un programa de
investigación reemplaza a otro (superándolo de modo progresivo). Esta
metodología proporciona una nueva reconstrucción racional de la
ciencia …. Acá subyace la idea de progreso lineal, indefinido ….
Precisiones Lakatosianas …. (Sociales/Núcleo)

23. Teorema de Pitágoras
como primer derrumbe Paradigmático
Pitágoras y sus seguidores creían que
los números eran como los dioses:
puros e inmunes a los cambios de
materia. La devoción por los números
del 1 al 10 se transformó cuasi en una
especie de politeísmo …
OBSERVARON QUE LAS CUERDAS
EN VIBRACIÓN PRODUCEN
SONIDOS ARMÓNICOS CUANDO
LAS RAZONES ENTRE LAS
LONGITUDES DE LAS CUERDAS
SON NÚMEROS ENTEROS.

24. Teorema de Pitágoras
como primer derrumbe
Paradigmático
Necesidad de
ampliar los
conjuntos
numéricos ….
Plimton
322
Nacimiento de los
Números Irracionales ….

25. Budismo y Realidad
El Budismo sostiene que la realidad, en definitiva, no se puede comprender por medio de
conceptos o ideas. Nagarjuna, uno de los filósofos de la corriente mahayana, empleaba una
dialéctica altamente sofisticada para mostrar limitaciones de todos los conceptos de la
realidad.
Penrose, está en este texto y
sobretodo en su título, mostrando
el camino inacabado hacia la
realidad, describiendo incluso
históricamente este proceso en
ascenso, que modelamiento tras
modelamiento, se va acercando –
quizás en un camino final
imposible- a lo que es
verdaderamente la realidad …..

26. Budismo y Desafío/Educación
Un budista no debiese buscar la iluminación sólo para si mismo, sino que debiese tener la
promesa de ayudar a otros seres a alcanzar el Buda antes de entrar en el Nirvana. El
origen de esta idea radica en la propia decisión consciente del Buda, de regresar al mundo
para enseñar el camino de salvación a sus congéneres, los seres humanos.
"La mayor influencia de la tradición budista
en mi propia forma de pensar ha sido
la del énfasis en el papel central de la compasión
en la adquisición del pensamiento.
Según el punto de vista budista,
NO puede haber sabiduría sin compasión,
lo que para mi significa que la ciencia carece de valor si no va
acompañada de una preocupación social."
Frijot Capra, -aullando con los lobos- Libro: Sabiduría Insólita.

27. Zona de Recursos (Lugares, Libros, Webs):
 Recursos Método Singapur:
- Centro Felix Klein – Usach.
-
http://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2012/04/exposiciontaller-metodo-sin
 Recursos Estudio Clases Japonés:
- El Estudio de Clases Japonés en Matemáticas, PUCV Ediciones, 2007
- El Enfoque de Resolución de Problemas – En la enseñanza de la Matémática
a partir del estdio de Clases, PUCV Editores, 2009.
 Recursos Problemas Abiertos: