estadistica clase de probabilidad

1. Probabilidades
Jorge Osada, Med, Mg(Epi)
Unidad de Epidemiología
Facultad de Medicina
Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo

2. Introducción
• Necesario para la inferencia estadística
• Basado en los juegos de azar
• Cuantificación de la incertidumbre
• Fenómeno determinista (igual) / Fenómeno aleatorio (no predecible)

3. Fenómeno Aleatorio
• Suceso elemental: Posibles resultados (letras minúsculas)
• Espacio muestral: Todos los posibles resultados
• Suceso (aleatorio) : Conjunto de sucesos elementales (letras
mayúsculas)
• Suceso seguro (suceso=espacio muestral) / Suceso imposible
(suceso=vacio ó φ)

4. • Fenómeno aleatorio (no predecible)
• Suceso elemental (1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6)
• Espacio muestral (1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6)
• Suceso (aleatorio): Números pares (2 y 4 y 6)
• Suceso seguro (suceso=espacio muestral) /
Suceso imposible (suceso= φ)
• Fenómeno aleatorio (no predecible)
• Suceso elemental (cara ó cruz)
• Espacio muestral (cara y cruz)
• Suceso (aleatorio): Cara
• Suceso seguro (suceso=espacio muestral) /
Suceso imposible (suceso= φ)

5. Relaciones y Operaciones entre sucesos
• A⊂B (incluido)
• Ejemplo: A= 1, 2 y B= 1, 2, 3
• A=B (igual)(A⊂B y B⊂A)
• A∪B (unión) “ó”
• Ejemplo: A= 2, 4 y B= 1, 2, 3 // A∪B= 1, 2, 3, 4
• A∩B (intersección) “y”
• Ejemplo: A= 2, 4 y B= 1, 2, 3 // A∩B= 2
• Suceso incompatible: A∩B= φ
• Ā (suceso contrario o complementario) “no”: 2 sucesos incompatibles cuya unión
es el suceso seguro
• A-B (diferencia)
• Ejemplo: A= 2, 4 y B= 1, 2, 3 // A-B= 4

7. Frecuencias y Ley del Azar
• Frecuencias relativas
• Ley del azar: En una larga serie de pruebas, la frecuencia relativa de
un suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número fijo llamado
probabilidad de suceso.

8. Probabilidad
• Probabilidad frecuentista: Límite de la frecuencia relativa cuando N
tiende al infinito. Depende de la repetición del evento para cálculo
• Probabilidad subjetiva/personal: Para situaciones no repetibles.
Depende del grado personal de creencia del investigador en la
verificación del suceso

9. Propiedades

10. Regla de Laplace
• Axioma (Postulado de indiferencia)
• Si un fenómeno aleatorio cualquiera puede dar lugar a K sucesos elementales
distintos y no se conoce razón alguna que favorezca la presentación de uno
respecto a los otros, debe admitirse que todos los sucesos tienen igual
probabilidad (igual a 1/K)
• Si el postulado de indiferencia es aplicable, la probabilidad de un
suceso es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y
el número de casos posibles del fenómeno.

11. Probabilidad Condicionada
• P(A) → P(A│E): Probabilidad que suceda A, cuando se sabe que ha
ocurrido E
• La probabilidad de un suceso condicionado por el otro es el cociente
entre la probabilidad de la intersección de ambos y la probabilidad
del condicionante
• La probabilidad de la intersección de 2 sucesos no imposibles es la
probabilidad de uno de ellos por la probabilidad del segundo cuando
se ha verificado el primero

12. Ejemplos
El porcentaje de mujeres que sobreviven a la extirpación y
tratamiento de un cáncer de ovario en un estadio inicial es de un
60% a los 2 años y de un 48% a los 6 años. ¿Cuál es la probabilidad
de que una mujer que ha sobrevivido 2 años sobreviva 6 años?
P(S6│S2) = P(S2S6)/P(S2) = P(S6)/P(S2) = 0,48/0,60 = 0,80 = 80%
El 80% de las que sobreviven a 2 años sobreviven también a 6 años
Calcular la probabilidad de obtener 2 ases al extraer 2 cartas al azar
de una baraja de 40 naipes
P(A1∩A2) = P(A1) x P(A2│A1) = (4/40)(P(A2│A1))
(4/40)(4/40) = 0,01
(4/40)(3/39) = 0,0077

13. Dependencia e Independencia de Sucesos
• Independientes: Si la verificación de uno no influye en la probabilidad
de verificación del otro
• Si A y B son independientes:
• P(A) = P(A│B)
• P(A∩B) = P(A) x P(B)
• Si A y B son incompatibles: P(A∪B) = P(A) + P(B)
• Si A y B son compatibles: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
• Si A y B son independientes: P(A∩B) = P(A) x P(B)
• Si A y B son dependientes: P(A∩B) = P(A) x P(B│A)

14. Teorema de Bayes
• Probabilidad de tener enfermedad P(A): Probabilidad a priori
• Probabilidad de tener enfermedad cuando se sabe que tiene un
conjunto de síntomas P(A│B): Probabilidad a posteriori
• Probabilidad que una persona sana tenga los síntomas P(B│A) y
Probabilidad que una persona enferma tenga los síntomas P(B│Ā) :
Verosimilitudes
• Si A1, A2, …, AK son K sucesos incompatibles 2 a 2 y exhaustivos (la
unión de todos ellos es el suceso seguro) y B es un suceso cualquiera,
entonces:

15. Ejemplo
Si en un curso hay 3 grupos de la misma asignatura y el 50%, 40% y
10% de los alumnos está en cada uno de ellos, y si al final del curso
aprueban la asignatura el 30%, 98% y 20% de los alumnos de cada
grupo, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar, y
que esté aprobado, proceda del primer grupo?