Definición, Reglas, Conceptos y Probabilidad condicional.

1. Probabilidad
Álvaro José Flórez
1Escuela de Ingeniería Estadística
Facultad de Ingenierías
Febrero - Junio 2014

2. 1 ¾Qué es la probabilidad?
2 Denición de probabilidad
3 Conceptos de probabilidad
4 Reglas de probabilidad
5 Probabilidad Condicional

3. ¾Cuál es la probabilidad de...
... que se obtenga una cara al lanzar una moneda?
... que al lanzar dos dados la suma sea superior a seis? obtener un par?
... que un bebe recién nacido en la ciudad sea hombre?
... que al seleccionar al azar un estudiante de ingeniería sea mujer?
... que Falcao se recupere antes del mundial?
... ganarse el baloto? ... casarse antes de los 30 años? ... que llueva mañana?
.... ganar el curso de fundamentos de estadística?

4. Probabilidad
Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso
en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certeza
es basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómeno
estudiado.
Hay una probabilidad del 50 % de obtener un número par al lanzar
un dado
Es muy probable que apruebe el curso de fundamentos de
estadística
Es poco probable que me gane el baloto

5. Probabilidad
Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso
en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certeza
es basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómeno
estudiado.
• Cuanto mayor es el grado de certeza de que ocurrirá el suceso,
mayor será la probabilidad.
• La probabilidad se determina como un valor entre 0 y 1, donde
0 indica que el suceso no ocurre y 1 que el suceso ocurre con
certeza.
En el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido común
expresado con números. Laplace

6. Importancia en la estadística
La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia
estadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en la
información contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada.
Sin una adecuada compresión de las leyes básicas de la probabilidad, es
difícil utilizar la metodología estadística de manera efectiva.
¾Cómo es posible que la media obtenida de una muestra de unos pocos
hogares de todos los del país, pueda ser una estimación precisa del
promedio de toda la población?
... Si diferentes muestras darían valores distintos promedios (¯x)
La variabilidad muestral no es fatal (Azar no signica ausencia de
regularidad)

7. Aleatoriedad
Llamamos a un fenómeno aleatorio si los resultados individuales
son inciertos y, sin embargo, existe una distribución regular de los
resultados después de un gran número de repeticiones.
Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas
2 4 6 8 10
0.00.20.40.60.81.0
Lanzamientos
Proporcióndecaras

8. Aleatoriedad
Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas
0 100 200 300 400 500
0.00.20.40.60.81.0
Lanzamientos
Proporcióndecaras
El comportamiento del azar es impredecible con pocas repeticiones pero
presenta un comportamiento regula y predecible con muchas repeticiones

9. Importancia en la estadística
El nexo que une la teoría de la probabilidad y la estadística es
la noción de variable aleatoria, mostrando de esta manera cómo
puede emplearse la teoría de la probabilidad para extraer conclusiones
precisas acerca de una población sobre la base de una muestra
extraída de ella.
Extraer pautas donde hay (aparentemente) azar. Cuando se decide
que la hay, se hace con una cierta seguridad. Lo que signica que se
deja un margen para el posible error. Error, que aunque indicativo
de nuestra ignorancia, está al menos acotado dentro de unos ciertos
límites.

10. Denición de probabilidad
Probabilidad Clásica (Laplace)
Si un experimento que está sujeto al azar, puede ocurrir de n maneras
mutuamente excluyentes e igualmente verosímiles (probables) y si nA
de estas poseen un atributo A, la probabilidad de A es la fracción
nA/n
Al lanzar un dado ¾Cuál es la probabilidad de que el resultado sea
par?
Al lanzar dos monedas ¾Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

11. Denición de probabilidad
Los inconvenientes de denir la probabilidad de esta forma son:
• No es válida cuando los posibles resultados no son
equiprobables
• A veces no es posible contar los posibles resultados

12. Denición de probabilidad
Los inconvenientes de denir la probabilidad de esta forma son:
• No es válida cuando los posibles resultados no son
equiprobables
• A veces no es posible contar los posibles resultados
Probabilidad Frecuentista (Bernouilli)
Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones y
nB de los resultados son favorables a un atributo B, el límite de
nB/n conforme n se vuelva grande, se dene como la probabilidad
del atributo B

13. Deniciones de probabilidad
Fig: Distribución muestral de la probabilidad de obtener una cara en
lanzamiento de una moneda
10 lanzamientos
Proporción
Densidad
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
012345
100 lanzamientos
Proporción
Densidad
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02468
50 lanzamientos
Proporción
Densidad
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0123456
1000 lanzamientos
Proporción
Densidad
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
05101520

14. Denición de probabilidad
Los inconvenientes de denir así la probabilidad son los siguientes:
• En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones del
experimento.
• Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento
pueden variar a lo largo del tiempo.

15. Denición de probabilidad
Los inconvenientes de denir así la probabilidad son los siguientes:
• En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones del
experimento.
• Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento
pueden variar a lo largo del tiempo.
Probabilidad Subjetiva o Personal
El grado de creencia o convicción con respecto a la ocurrencia de
una armación. Representa un juicio personal acerca de un fenómeno
impredecible.
la probabilidad de un suceso puede, y debe, variar en función de la nueva
información recibida respecto del suceso
Estos grados de creencia tiene como única restricción el que pertenezcan
a una persona racional y coherente

16. Conceptos de probabilidad
Espacio Muestral (S)
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio. Estos pueden ser nitos, innitos numerables o continuos
Evento
Cualquier resultado o conjunto de resultados de un fenómeno
aleatorio, es decir que A es un suceso si A ⊆ S.
Complemento (A )
El complemento de un evento A con respecto a S es el conjunto de
todos los elementos de S que no están en A.

17. Conceptos de probabilidad
Unión (A ∪ B)
La unión de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todos
los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.
Intersección (A ∩ B)
La intersección de dos eventos A y B, es el evento que contiene a
todos los elementos comunes de A y B.
Eventos mutuamente excluyentes (A ∩ B = ∅)
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si estos eventos no
tienen ningún elemento en común.

18. Conceptos de probabilidad
Representación gráca de la relación entre eventos y el espacio
muestral (Diagrama de Venn)
Fig: Diagrama de Venn
• A ∩ B =
• A ∩ B ∩ C =
• A ∪ B =
• A ∪ (B ∩ C) =
• A ∩ B =

19. Conceptos de probabilidad
Representación gráca de la relación entre eventos y el espacio
muestral (Diagrama de Venn)
Fig: Diagrama de Venn
• A ∩ B = 1,2
• A ∩ B ∩ C = 1
• A ∪ B = 1,2,3,4,6,7
• A ∪ (B ∩ C) = 1,2,3,4,7
• A ∩ B = 4,7

20. Conceptos de probabilidad
Se tienen los sucesos A, B y C, exprese en lenguaje de la teoría de
conjuntos las siguientes operaciones:
1 Ocurren A y al menos uno de los otros dos.
2 Ocurre A y uno sólo de los otros dos.
3 Ocurre uno de los tres, pero no dos a la vez.
4 Ocurre C, pero no lo hacen ni A ni B
5 Ocurren al menos dos de los tres
6 No ocurre ninguno de los tres.

21. Reglas de la probabilidad
1 La probabilidad de cualquier suceso A (P(A)) cumple que:
0 ≤ P(A) ≤ 1
2 Si S es el espacio muestral de un modelo de probabilidad,
entonces:
P(S) = 1
3 Para cualquier suceso A,
P(A ) = 1 − P(A)
4 Si A y B son dos suceso cualesquiera se verica que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
5 Si A ⊆ B entonces P(A) ≤ P(B)

22. Reglas de la probabilidad
1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
2 Si A, B y C son eventos cualesquiera, entonces:
P(A ∪ B ∪ C) =P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C)
− P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
3 Si A1, A2, . . . , Ak son eventos mutuamente excluyentes,
entonces:
P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(Ak)

23. Ejemplo
Al lanzar dos dados y se tiene los siguientes eventos:
A: La suma de los dos dados es igual a 7
B: El resultado de los dados sean menores que 5
¾Cuál es la probabilidad de A ∪ B?
Un sistema que contiene dos componentes A y B, y se conecta de
manera que este funciona si cualquier componente funciona. Se sabe
que la probabilidad de que A funcione es P(A) = 0,9 y la de B es
P(B) = 0,8 y la probabilidad de ambos es P(A ∩ B) = 0,72 ¾Cuál
es la probabilidad de que el sistema trabaje?

24. Ejemplo
De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40
inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13
inglés y castellano. Se eligen al azar una persona y se desea saber:
• ¾Cuál es la probabilidad de que no hable francés?
• ¾Cuál es la probabilidad de que hable castellano?
• ¾Cuál es la probabilidad de que entienda sólo en castellano?
• ¾Cuál es la probabilidad de que sólo hable un idioma?
• ¾Cuál es la probabilidad de que hable los tres idiomas?

25. Ejemplo
De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40
inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13
inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:
Si se selecciona una persona que habla castellano ¾Cuál es la
probabilidad de que hable ingles también?

26. Ejemplo
De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40
inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13
inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:
Si se selecciona una persona que habla castellano ¾Cuál es la
probabilidad de que hable ingles también?
La probabilidad condicionada establece la
probabilidad de un suceso (la persona habla
inglés) bajo la condición de que se conoce
otro suceso (la persona habla español)

27. Probabilidad Condicional
Sean A y B dos eventos que se encuentran en un espacio muestral
S de manera tal que P(B) 0. La probabilidad condicional de A al
ocurrir el evento B, se puede calcular como:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
, P(B) 0
De aquí se puede observar que:
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)
La probabilidad condicional permite una alteración de la probabilidad
de un evento a la luz de mayor información.

28. Ejemplo
De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40
inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13
inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:
Si se selecciona una persona que habla castellano ¾Cuál es la
probabilidad de que hable ingles también?

29. Ejemplo
De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40
inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13
inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:
Si se selecciona una persona que habla castellano ¾Cuál es la
probabilidad de que hable ingles también?
A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con
el propósito de determinar el número de lectores de El País y El
Tiempo. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 40 %
de los habitantes leen El País, el 36 % lee El Tiempo y un 18 % lee
ambos periódicos. Si se selecciona al azar a un lector de El Tiempo,
¾Cuál es la probabilidad de que también lea El País?

30. Probabilidad Condicional
Dos eventos A y B son estadísticamente independientes, si y solo si:
P(A|B) = P(A)
De este resultado se obtiene que:
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
P(B|A) = P(B)

31. Probabilidad Condicional
Regla multiplicativa
Si, en un experimento, los eventos A1, A2, . . . , Ak pueden ocurrir,
entonces:
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1) . . .
P(Ak|A1A2 . . . Ak−1)
Si los eventos son independientes, entonces
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak) = P(A1)P(A2)P(A3) . . . P(Ak)

32. Ejemplo
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran
conectados entre sí como lo muestra la siguiente gura, donde
las probabilidades indican la seguridad de que el componente
funcione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de un
componente en particular es independiente del de las demás, ¾Cuál
es la probabilidad de que el sistema trabaje?

33. Ejemplo
Se sacan tres cartas de una baraja ordinaria, si se denen los
siguientes eventos: La primera carta es un as de diamantes (A),
la segunda es de diamantes (cualquiera) (B), la tercer carta es negra
y mayor que 3 pero menor que 7 (C). ¾Cuál es la probabilidad de
que se den los tres eventos?
En un juego de tiro al blanco, la probabilidad de que el jugador 1 de
en el blanco es 1/6, la del jugador 2 es de 1/4 y la del jugador 3 es
de 1/3. Si cada uno dispara una sola vez, de forma independiente,
al blanco. ¾Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado
solamente una vez?

34. Teorema de Probabilidad Total
Si los eventos B1, B2, . . . , Bk constituyen una división del espacio
muestral S, de tal forma que P(Bk) = 0 para i = 1, 2, . . . , k
entonces para cualquier evento A de S:
P(A) =
k
i=1
P(Bi ∩ A) =
k
i=1
P(Bi)P(A|Bi))

35. Ejemplo
Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres
distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50 % del total se compra
a B1 mientras que a B2 y B3 se les compra un 20 % y 30 %
respectivamente. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1,
B2 y B3 es 5, 10 y 12 % respectivamente. Si todos los circuitos
se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor.
Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta
contenga un circuito defectuoso.

36. Ejemplo
Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres
distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50 % del total se compra
a B1 mientras que a B2 y B3 se les compra un 20 % y 30 %
respectivamente. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1,
B2 y B3 es 5, 10 y 12 % respectivamente. Si todos los circuitos
se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor.
Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta
contenga un circuito defectuoso.
Si se selecciona al azar un circuito y sale defectuoso, ¾Cuál es la
probabilidad de qué sea del fabricante B1?

37. Regla de Bayes
Si los eventos B1, B2, . . . , Bk constituyen una división del espacio
muestral S, de tal forma que P(Bk) = 0 para i = 1, 2, . . . , k,
entonces para cualquier evento A en S, tal que P(A) = 0
P(Br|A) =
P(Br ∩ A)
k
i=1 P(Bi ∩ A)
=
P(Br)P(A|Br))
k
i=1 P(Bi)P(A|Bi)

38. Ejemplo
Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso
es 90 % able cuando la persona es culpable y 99 % cuando es
inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos
el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable
¾Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el
crimen?

39. Ejemplo
Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso
es 90 % able cuando la persona es culpable y 99 % cuando es
inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos
el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable
¾Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el
crimen?
Si el polígrafo indica que es inocente ¾Cuál es la probabilidad de que
este individuo sea inocente?

40. Ejemplo
Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso
es 90 % able cuando la persona es culpable y 99 % cuando es
inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos
el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable
¾Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el
crimen?
Si el polígrafo indica que es inocente ¾Cuál es la probabilidad de que
este individuo sea inocente?
¾Cuál es la probabilidad de que el polígrafo acierte?

41. Ejercicio
Un taxi se vio implicado en un accidente nocturno con choque y
huida posterior. Hay dos compañías de taxis en la ciudad, la Verde y
la Azul. El 85 % de los taxis de la ciudad son Verdes y el 15 % Azules.
Un testigo del accidente identicó el taxi como Azul. El tribunal
comprobó la abilidad del testigo bajo las mismas circunstancias
que había la noche del accidente y llegó a la conclusión de que el
testigo identicaba correctamente cada uno de los colores en el 80 %
de las ocasiones. Luego de las declaraciones del testigo ¾Cuál es la
probabilidad de que el taxi implicado en el accidente fuera en efecto
azul?