p´robabilidad

1. MADE SESIÓN 4
Universidad centroamericana
“José Simeón Cañas”
Curso Propedéutico Matemático
02/2017

2. Conceptos básicos
PROBABILIDADES.
 Fenómeno aleatorio.
 Experimento aleatorio.
 Espacio muestral.
 Suceso o evento.
 Sucesos mutuamente excluyentes.
 Sucesos complementarios.
 Probabilidad de un suceso.
 Probabilidad condicional.
 Probabilidad total.
 Regla de Bayes

3. Probabilidades
Rama de la matemática que estudia los fenómenos
aleatorios.

4. Fenómeno aleatorio
Aquel fenómeno que no es posible predecir al 100%.

5. Experimento aleatorio
Estudio de un fenómeno aleatorio provocado por nuestros
mismo experimentos.

6. Espacio muestral
Un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio,
es el conjunto de resultados posibles de dicho
experimento.

7. Ejemplos:
 Ɛ1: 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧
Ɛ2: 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧
Ɛ3: 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
Ɛ4: 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
Ɛ5: 𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 10 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑝𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑖𝑛𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜

8. Suceso o evento
Es un subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo:
Ɛ1: 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧
Sean los siguientes sucesos:
 A: El resultado es par
 B: El resultado es impar
 C: El resultado es mayor a 4
 D: El resultado es menor a 4
 E: El resultado es menor a 10
 F: El resultado es igual a 6
 G: El resultado es mayor a 7

9. Operaciones con los sucesos del espacio
muestral
Los sucesos se pueden operar y producir nuevos sucesos.
Las operaciones básicas son:
 Unión (o)
 Intersección (y)
 Complemento (´)

10. Unión (o)
 La unión está asociada al conectivo “o”
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝐴 ó 𝑥 ∈ 𝐵
“O” Inclusivo: A o B B o A Ambos

11. Intersección (y)
 La intersección: (∩) asociado al conectivo“y”
𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑥 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑥}

12. Complemento (´)
 El complemento: (´) asociado al conectivo“no”
𝐶′
= 𝑥∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝐶}

13. Algunas propiedades de las operaciones
1. Ley Conmutativa
2. Ley Asociativa
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 ; 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ; 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵
3. Ley distributiva
1. 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶
2. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐶
4. Ley D’ Morgan
𝐴∪ 𝐵′
= 𝐴′
∩ 𝐵′
; 𝐴∩ 𝐵′
= 𝐴′
∪ 𝐵′
 ∗ 𝐴′ ′
= 𝐴 ∗ 𝐴∪ 𝐴 = 𝐴
 ∗ 𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴 ∗ 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
 ∗ 𝐴 ∪ 𝑆 = 𝑆 ∗ 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
 ∗ 𝑆′
=∅ ∗ 𝐴 ∩ ∅ = ∅
 ∗ ∅′
= 𝑆

14. Ocurrencia de un suceso
 Sea E un experimento aleatorio y A un suceso de E.
Cuando realizamos el experimento puede ser que el
suceso A ocurra o no.
 Decimos que A ocurrió si el resultado es uno de los
puntos de A
 Si el resultado no es ninguno de los puntos A decimos
que A no ocurrió.

15. Sucesos mutuamente excluyentes
Dos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes si la ocurrencia
de uno de ellos imposibilita la ocurrencia del otro. Es decir, no
pueden ocurrir a la vez.
 A y B son mutuamente excluyentes
 Ø es excluyente con cualquier otro.

16. Sucesos complementarios
Dos sucesos son complementarios si:
 Son mutuamente excluyentes.
 Su unión reproduce todo el espacio muestral.
 A y B son mutuamente excluyentes 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑆
 A y B son complementarios
 S y Ø son complementarios
 S y Ø son mutuamente excluyentes

17. Probabilidad de un suceso A
Es un número real comprendido entre cero y uno, que
indica el grado de ocurrencia de tal suceso.
0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1; 𝐴 𝑐 𝑆
¿Cómo calculamos P(A)?
Para el caso de n dado normal se calcularía:
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A= {2, 4,6}
𝑃 𝐴 =
#(𝐴)
#(𝑆)
3
= = 0.5
6

18. Formas de calcular la probabilidad de un
suceso.
 Empíricamente (mediante frecuencia relativa).
 Probabilidad clásica de Laplace.
 Probabilidad subjetiva.

19. Empíricamente (mediante frecuencia relativa)
Si un suceso A ocurre 𝑛 𝐴 veces en n ensayos repetido de un
experimento aleatorio, entonces:
𝑛 𝐴
𝑃 𝐴 ≈
𝑛
Ejemplo: en una línea de producción encontramos 20
artículos defectuosos en 400 inspeccionados, la probabilidad
de que un artículo salga defectuoso es: aproximadamente.
20
= 0.05
400
La probabilidad de que salda bueno es:

20. Probabilidad clásica de Laplace
(Para espacios muestrales X probables) todos los puntos de
S tienen la misma probabilidad.
La probabilidad de un seceso A se calcula como un
cociente:
𝑃 𝐴 =
#(𝐴)
#(𝑆)
Ejemplo: Lanza un dado normal ¿Cuál es la probabilidad de
obtener un número mayor que 4?

21. Probabilidad subjetiva
Si no es posible emplear ni la frecuencia relativa, ni la
probabilidad clásica se utiliza la probabilidad subjetiva. Se
evalúan las opciones disponibles y otra información
subjetiva para después estimar la probabilidad de un suceso
de interés.

22. Propiedades básicas de la probabilidad
S es un espacio muestral asociado a un E,A y B sucesos de S.La
probabilidad de los sucesos tienen las siguientes propiedades:
0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
𝑃 𝑆 = 1 ; 𝑃 ∅ = 0
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

23. 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴′
= 1

24. Sean A y B sucesos cualesquiera de S:
Entonces:
𝑎) 𝑃 𝐴∩ 𝐵′
= 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴∩ 𝐵)
𝑏) 𝑃 𝐴′
∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴∩ 𝐵)
𝑐) 𝑃𝐴 ∪ 𝐵= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴∩ 𝐵)

25. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

26. Nota: La probabilidad c se puede generalizar:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

27. Ejemplo 1
Un inversionista ha invertido en dos tipos de acciones (I y II) y
ha estimado las siguientes probabilidades:
La probabilidad de ganar en las acciones I = 0.85
La probabilidad de ganar en las acciones II = 0.70
La probabilidad de ganar en ambas acciones= 0.60
Calcular la probabilidad de los siguientes casos:
a) No gane en las acciones I
b) No gane en las acciones II
c) Gane en acciones I y no gane en acciones II
d) Gane en acciones II y no gane en acciones I
e) Gane por lo menos una de las acciones
f) Gane en solo una de las acciones
g) No gane en ninguna de las acciones

28. Ejercicio 2
 Si la probabilidad de que una familia, elegida al azar, posea
un teléfono móvil en casa es 0.92, un DVD 0.56 y que
tenga ambos bienes es 0.55, ¿Cuál es la probabilidad de
que una familia posea al menos uno de los bienes?

29. Ejercicio 3
En una universidad se publican dos semanarios A y B. se
realiza una encuesta estudiantil y se estima que el 25% lee
A, el 19% lee B y el 4% lee ambos.
a. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que lee al menos
uno de los dos periódicos?
b. ¿Qué porcentaje de estudiantes lee solamente el
semanario A?
c. ¿Qué porcentaje de estudiantes lee el A o el B pero no
ambos?

30. Ejercicio 4
En una caja hay 15 lámparas de las cuales 5 son defectuosas.
Se escogen al azar 3 lámparas. Hallar la probabilidad de que:
a. Ninguna sea defectuosa
b. Solo una sea defectuosa
c. Por lo menos una sea defectuosa.

31. Ejercicio 5
El gerente de una tienda de departamento desea determinar la relación entre
el tipo de cliente y la forma de pago.Tiene disponible la información siguiente:
Cliente Crédito Contado
Frecuente 70 50
Ocasional 40 40
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al zar
 Sea cliente frecuente?
 Pague de contado?
 Sea cliente frecuente y pague de contado?
 Sea cliente ocasional y pague de contado?
 que compre al crédito, sabiendo que es clienteocasional?
 Sea cliente ocasional, sabiendo que compra alcrédito?

32. Ejercicio 6
El departamento de créditos de un banco selecciona una
muestra de 200 clientes: 120 hombres y 80 mujeres. De los
hombres, 80 tienen tarjetas de crédito y de las mujeres, 60
tienen tarjetas de crédito. Del grupo que tiene tarjeta de crédito:
veinte de los hombres tienen saldos vencidos y 30 mujeres
tienen saldos vencidos. El gerente de créditos desea conocer la
probabilidad que un cliente seleccionado al azar sea
 Una persona con tarjeta de crédito
 Una mujer con tarjeta de crédito
 Una mujer con tarjeta de crédito sin saldo pendiente
 Un hombre con tarjeta de crédito y saldo pendiente

33. Ejercicio 7
En un lote de 25 artículos hay 18 buenos, 5 levemente
dañados y 2 inservibles. Si se selecciona al azar tres de
tales artículos, determinar la probabilidad de obtener:
a. todos buenos
b. al menos uno bueno
c. uno de cada categoría
d. más buenos que dañados

34. Probabilidad condicional (espacio muestral
restringido)
Definición de probabilidad condicional: Sean A y B sucesos
del espacio S. La probabilidad condicional del suceso B dado
A, denotada P (B/A),se define así:
También:
𝑃(𝐵 𝐴)
𝑃(𝐴 𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
=
𝑃 𝐴
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
=
𝑃 𝐵
; 𝑃(𝐴)≠0
; 𝑃(𝐵)≠0

35. Regla multiplicativa de la probabilidad
Sean A y B sucesos del S entonces
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵 𝐴
Demostración:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵)× 𝑃(𝐴 𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴
𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

36. Ejemplo
Un lote de 20 artículos tiene 5 defectuosos y 15 buenos. Si
seleccionamos 2 artículos, al azar, en orden, sin reemplazo.
¿Cuál es la probabilidad de obtener…?
a) El primero defectuoso y el segundo defectuoso
b) El primero bueno y el segundo defectuoso
e) Ambos defectuosos
f) Ambos buenos

37. La regla multiplicativa se puede generalizar?
Si, ya que se podrá tener la siguiente expresión cuando se
considera una dependencia entre la ocurrencia de sucesos.
𝑃𝐴∩ 𝐵∩ 𝐶 = 𝑃(𝐴)× 𝑃(𝐵 𝐴)× 𝑃(𝐶 𝐴∩ 𝐵)

38. Ejercicio
Un lote de 20 artículos tiene 5 defectuosos y 15 buenos.
Seleccionamos 3 artículos en orden (sin reemplazo) ¿Cuál
es la probabilidad de que:
a) El primero sea bueno y defectuosos los otros?
b) El primero y el segundo sean buenos y defectuoso el
tercero?
c) Sean 2 buenos y 1 defectuoso?

39. Independencia de sucesos
Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de uno
de ellos no se altera por el hecho de conocer que el otro
ocurrió.
Formalmente diremos que 2 sucesos A y B son independientes
si se cumple cualquiera de las siguientes propiedades.
1) 𝑃 𝐵 𝐴
2) 𝑃 𝐴 𝐵
= 𝑃 𝐵
= 𝑃 𝐴
3)𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ×𝑃 𝐵 𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Se cumple cualquiera de las 3 igualdades.

40. Ejemplo
En una bodega hay artículos (buenos y malos) que provienen de
2 proveedores (I y II). La tabla muestra la composición:
Calidad
Defectuoso Bueno Total
Proveedor
Proveedor 1
8 (25%) 32 (25%) 40
(20%) (80%) (100%)
Proveedor 2
24 (75%) 96 (75%) 120
(20%) (80%) (100%)
Total
32 128 160
(100%) (100%)
E: Seleccionamos un artículo al azar (misma posibilidad de ser
seleccionados)
Sean los sucesos:
¿SonBy 𝑉1independientes?

41. Características de la variable aleatoria.
Una definición más formal de variable aleatoria es la
siguiente:
Si “S” es un espacio muestral de una experiencia
aleatoria E, una variable aleatoria X numérica asociada a
“S” es una función:
𝑋: 𝑆 → 𝑅
Donde R es el conjunto de números reales.

42. Los valores que toma la variable en el conjunto de los
números reales se denominan “rango de la variable aleatoria
X” y lo simbolizamos 𝑅 𝑥. Otras convenciones son las
siguientes:
 𝑋, 𝑌, 𝑊, 𝑍…enmayúsculas,denotanvariablesaleatorias.
 𝑥,𝑦, 𝑤,𝑧… en minúsculas, denotan los valores de las
variables.
 𝑃 𝑋= 𝑥 ó 𝑃(𝑥):probabilidaddequelavariable aleatoria
X tome el valor de x.
 𝑃(𝑋≤ 𝑥):probabilidaddequelavariablealeatoriaX tome
valores menores o iguales que x.
𝑅𝑥: (𝑥 ∈ 𝑅/x 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑆)

43. Ejemplo 1
Se lanza un dado 3 veces, encuentre la distribución de
probabilidad para dicho experimento si la variable aleatoria
es número de veces que ocurre el 6.
Desarrollo:

44. Ejemplo 2
Lanzo un dado las veces necesarias hasta obtener un 6.
Determine la distribución de probabilidad para este
experimento.
Desarrollo:

45. Probabilidad total y regla de Bayes
Un espacio muestral S=(3,4,5,6,7,8,9,10,11) se puede
subdividir de diferentes formas. Una subdivisión, tal como
B1=(3,4,5,6), B2=(7,11),B3=(8,9,10),
recibe el nombre especial de “partición de S”, debido a que la
unión de los sucesos reproduce S y los sucesos son
incompatibles dos a dos.

46. En general se tiene que:

48. Demostración: Probabilidad total

49. Demostración: Regla de Bayes

50. Ejemplo 1
La producción de una fabrica se realiza en tres turnos, el turno
1 produce el 40%(del total de la producción), el turno 2 el 35%
y el turno 3 el resto. El 96% de lo que se produce el turno 1, el
93% del turno 2 y el 91% del turno tres en bueno.
¿Qué porcentaje de toda la producción es defectuosa?
Si un articulo tomado al azar tomado de la producción es
defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del turno
1? Del turno 2? Del turno 3?.
Si un articulo tomado al azar de toda la producción, bueno
¿Cuál es la probabilidad de que provenga del turno 1? Del
turno 2? Del turno 3?.