estadística

1.  ¿Cuáles son los resultados posibles en cada ruleta al girar la flecha?
 Si en ambas ruletas se entrega un premio cuando la flecha se detiene en la sección
amarilla o en la marrón ¿Cuál color elegirían? ¿Por qué?
 ¿En qué color es más probable que se detenga la flecha de la ruleta B? ¿Por qué?
 ¿Cuán probable es que la flecha de la ruleta A se detenga en la región negra? ¿Por
qué?
 ¿En qué color es menos probable que se detenga la flecha de la ruleta B? ¿Por qué?

2. Nociones básicas e ideas introductorias.
Tipos de probabilidad. Probabilidad simple.
Probabilidad conjunta de eventos. Regla de la adición.

3.  El origen de la probabilidad se encuentra ligado fuertemente a los juegos de azar.
Fue Laplace quién unificó las ideas de varios matemáticos (Fermat, Pascal,
Lagrange, Bayes, Bernoulli, etc.) y compiló la primera teoría general de
probabilidad.
 Posteriormente surgió el interés por aplicarla a problemas sociales y económicos.
Por ejemplo: la industria de seguros, surgida en el siglo XIX, requería un
conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida, con el fin de calcular las
primas de las pólizas. En la actualidad, la teoría matemática de la probabilidad es
la base para las aplicaciones estadísticas, tanto en investigaciones sociales como
en la toma de decisiones en diversos ámbitos como el comercio, marketing,
seguros, etc.

4.  ¿Qué se entiende por la palabra probabilidad?
Una probabilidad es un valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad
de que un evento en particular ocurra, tal como el aumento en el precio de una
acción, un día lluvioso, que caiga el cinco al lanzar un dado, que gane determinado
equipo en algún deporte, etc.
En todos estos casos, la probabilidad es una razón o fracción cuyo valor varía entre
0 y 1 inclusive.
Un evento que no tiene oportunidad de ocurrir (por ejemplo, un evento imposible)
tiene una probabilidad de 0.
Un evento que ocurrirá con toda seguridad (es decir, un evento seguro) tiene una
probabilidad de 1.
Las probabilidades también se expresan como fracciones (
1
6
,
1
2
,
8
9
) o como decimales
(0,167; 0,500; 0,889) que están entre cero y uno.

5.  Un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo. Por ejemplo, al
lanzar una moneda al aire, si cae cruz es un evento, y si cae cara es otro evento.
De manera análoga, si sacamos una carta de un mazo de cartas, el tomar el uno de
espadas es un evento. Otro ejemplo de evento es ser elegido de entre cien personas
para responder a una pregunta.
Cada posible resultado de una variable es un evento.
 La actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento.
Utilizando un lenguaje formal, podríamos hacer la siguiente pregunta: en un
experimento de lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad del evento cara? Y,
desde luego, si la moneda no está cargada y tiene la misma probabilidad de caer
en cualquiera de sus dos lados (sin posibilidades de que caiga parada), podríamos
responder, “
1
2
” o “0.5”.
 Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio
muestral del experimento. En el de lanzar una moneda, el espacio muestral es
S = {cara, cruz}
La colección de todos los eventos posibles se llama espacio muestral.

6.  ¿Cuál es el espacio espacio muestral del experimento de lanzar al azar un dado?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 ¿Y si se lanzan dos dados?
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3)….
(3,1) (3,2)…
(4,1)….
(5, 1) ….
(6,1)….
 ¿Podrían identificar el espacio muestral de lanzar al azar dos monedas?
S= {(cara,cara), (cara,cruz), (cruz,cara), (cruz,cruz)}

7.  Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos
puede tener lugar a un tiempo. Considere de nuevo el ejemplo de la moneda.
Tenemos dos resultados posibles, cara y cruz. En cualquier lanzamiento
obtendremos una cara o una cruz, nunca ambas. En consecuencia, se dice que los
eventos cara y cruz en un solo lanzamiento son mutuamente excluyentes.
 De manera parecida, usted puede pasar o reprobar una materia o, antes de que
termine el curso, desertar y no obtener calificación. Solamente uno de esos tres
resultados es posible, por tanto, se dice que son eventos mutuamente excluyentes.
 La pregunta fundamental que se debe formular al decidir si ciertos eventos son
mutuamente excluyentes es: ¿pueden ocurrir dos o más de tales eventos al mismo
tiempo? Si la respuesta es afirmativa, los eventos no son mutuamente excluyentes.

8.  ¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos
dados?
a) Un total de cinco puntos y un cinco en un dado.
b) Un total de siete puntos y un número par de puntos en ambos dados.
c) Un total de ocho puntos y un número impar de puntos en ambos dados.
d) Un total de nueve puntos y un dos en uno de los dados.
e) Un total de diez puntos y un cuatro en un dado.

9.  Existe una buena forma de ilustrar, por medio de diagramas, este ejemplo y otros
conceptos de probabilidad. Usamos una representación gráfica conocida como
diagrama de Venn, en honor al matemático inglés del siglo XIX, John Venn. En
tales diagramas, el espacio muestral completo se representa mediante un
rectángulo y los eventos se representan como partes de ese rectángulo.

10.  Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, sus partes correspondientes en el
rectángulo sí se intersectarán:
 El círculo de la izquierda (de gris oscuro) representa todos los eventos que son
parte de A. El círculo de la derecha (de gris claro) representa todos los eventos que
son parte de B. El área contenida dentro del círculo A y el círculo B (área central),
es la intersección de A y B (se escribe A ∩ B), porque es parte de A y también de B.
El área total de los dos círculos es la unión de A y B (se escribe A ∪ B) y contiene
todos los resultados que son sólo parte del evento A, sólo parte del evento B, o
parte de ambos A y B. El área en el diagrama fuera de A ∪ B contiene los
resultados que no son parte ni de A ni de B.

11.  En la teoría de probabilidad, se utilizan símbolos para simplificar la presentación
de ideas.
P (A) = la probabilidad de que el evento A suceda
Generalmente se utiliza la letra P para denotar una probabilidad. También es
común utilizar letras mayúsculas como A, B y C para denotar eventos específicos
de un experimento. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra el evento A lo
denotamos como P(A)

12. Existen diferentes formas para definir la probabilidad de un evento basadas en
formas distintas de calcular o estimar la probabilidad. Seleccionar uno de los tres
enfoques siguientes dependerá de la naturaleza del problema.
El enfoque clásico o "a priori" para definir la probabilidad es proveniente de los
juegos de azar. Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base
de las siguientes dos condiciones:
 El espacio muestral (S) del experimento es finito (su número total de elementos
es un número natural n = 1, 2, 3, …).
 Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables (tienen la
misma posibilidad de ocurrir).
𝑃 𝐴 =
𝑛 (𝐴)
𝑛 (𝑆)
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

13.  La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito
de resultados igualmente probables. Lamentablemente, hay situaciones prácticas
que no son de este tipo y la definición “a priori” no se puede aplicar. Por ejemplo, si
se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto
tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca
artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente
probables. Para responder a estas preguntas podemos utilizar el enfoque empírico,
en el cual para determinar los valores de probabilidad se requiere de la
observación y de la recopilación de datos. La definición empírica se basa en la
frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de
repeticiones del experimento. En otras palabras, la definición empírica se basa
número de veces que ocurrió el evento entre el número total de repeticiones del
experimento. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene
después de realizar el experimento un cierto número grande de veces.
 P(A) se estima de la siguiente forma:
Este enfoque de probabilidad no implica ningún supuesto previo de igualdad
de probabilidades.
𝑃 𝐴 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖ó 𝐴
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖ó 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

14.  Al calcular probabilidades con este método de frecuencias relativas obtenemos una
aproximación en vez de un valor exacto. A mayor número de veces que repitamos
el experimento, más cerca estará la aproximación del valor real. Esta propiedad se
enuncia en forma de teorema, el cual se conoce comúnmente como la ley de los
números grandes.
Conforme un experimento se repite una y otra vez, la probabilidad de frecuencias
relativas de un evento tiende a aproximarse a la probabilidad real.
Cuando se usa la definición empírica, es importante tomar en cuenta los siguientes
aspectos:
 La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del
valor real.
 Cuanto mayor sea el número de repeticiones del experimento, tanto mejor será
la estimación de la probabilidad.
 La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a
aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta
definición depende de que las condiciones en que se realizó el experimento sean
repetidas idénticamente.

15.  El enfoque subjetivo define la probabilidad de un evento en base al grado de
confianza que una persona tiene de que el evento ocurra, teniendo en cuenta toda
la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones,
creencias personales y otra información indirecta relevante. Debido a que el valor
de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina
también como enfoque personalista.
 El enfoque subjetivo no depende de la repetitividad de ningún evento y permite
calcular la probabilidad de sucesos únicos. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de
que un edificio colapse ante un terremoto? Este evento puede que ocurra o que
nunca ocurra, pero es lógico pensar que no podemos repetir los terremotos un
número grande de veces y contar el número de veces que el edificio colapsa para
calcular esa probabilidad. Sin embargo, un especialista en el área puede asignar
una probabilidad basada en su juicio de toda la información relevante a la que
pueda tener acceso.

16.  Un dado estándar tiene seis caras. Cada cara contiene uno, dos, tres, cuatro, cinco o
seis puntos. Si usted tira el dado, ¿cuál es la probabilidad de que caiga la cara de cinco
puntos?
T = Cara de 5 puntos
P (T) = 1/6 = 0,1667
 Queremos seleccionar una ficha al azar de un envase que contiene una cantidad
desconocida de fichas de color rojo, azul, verde y amarillo. Para determinar la
probabilidad de cada evento posible, seleccionamos 50 fichas al azar con reemplazo (la
ficha seleccionada vuelve a introducirse en el envase para la próxima selección). La
siguiente tabla resume las frecuencias (veces que ocurren) de cada moneda.
Según los datos recopilados, si seleccionamos una
ficha de este envase,
¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo?
P (R) = 15/50 = 0,3
¿cuál es el evento menos probable?
¿cuál es el evento más probable?
Ficha
obtenida
Frecuencia
Ficha roja 15
Ficha azul 12
Ficha verde 18
Ficha amarilla 5

17.  Probabilidad simple: una probabilidad sencilla quiere decir que sólo un evento puede
llevarse a cabo. Se le conoce como probabilidad marginal o incondicional. Se refiere a
la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, P(A).
 Supongamos que se hace una rifa entre 50 miembros de un grupo escolar de un viaje
gratis al Festival Nacional de Rock. La rifa consiste en sacar el boleto premiado de un
total de 50 boletos. Cualquiera de los estudiantes podría calcular su probabilidad de
ganar mediante la siguiente formulación:
𝑃 𝐺 =
1
50
𝑃 𝐺 = 0,2
En este caso, la posibilidad de que un estudiante gane es de 1 entre 50, debido a que
tenemos la certeza de que los eventos posibles son mutuamente excluyentes, es decir,
solamente un estudiante puede ganar.
Caso especial:
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝑛𝑜 𝐴 = 1
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴 = 1

18.  Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13
picas y 13 tréboles -A, 2, 3, … , 10, J, Q, K-) y 26 son rojas (13 corazones y 13
diamantes), halle la probabilidad de que la carta sea
 una K.
 roja.
 de diamante.

19.  Probabilidad conjunta: se refiere a la probabilidad de ocurrencia que implica a dos
o más eventos.
 Si estos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta
probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente
excluyentes. Esta regla se expresa simbólicamente de la siguiente manera:
𝑃 𝐴 𝑜 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 (𝐵)
Cinco estudiantes por igual capaces esperan la fecha en que se les hará una
entrevista para trabajar en el verano. La compañía solicitante ha anunciado que
contratará a sólo uno de los cinco, mediante una elección aleatoria. El grupo está
formado por los estudiantes siguientes: Bruno, Helena, Juan, Sandra y Walter. Si
nuestra pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que Juan o Sandra sean elegidos?,
la probabilidad puede ser calculada de la siguiente manera:
𝑃 𝐽 𝑜 𝑆 = 𝑃 𝐽 + 𝑃 (𝑆)

20.  Calculemos una vez más la probabilidad de que sucedan dos o más eventos.
 ¿Cuál es la probabilidad de que una familia de este pueblo, escogida al azar, tenga
cuatro o más hijos?
 ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga cinco o menos hijos?
Datos del
tamaño de
familia
Número de hijos 0 1 2 3 4 5 6 o más
Proporción de familias que tienen esa
cantidad de hijos
0,05 0,10 0,30 0,25 0,15 0,10 0,05

21.  Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten
al mismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de adición. Por
ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de sacar un uno o una carta de espadas de un
mazo de barajas españolas? Obviamente, los eventos uno y espadas pueden
presentarse juntos, pues podríamos sacar un uno de espadas. En consecuencia,
uno y espadas no son eventos mutuamente excluyentes.
 Debemos ajustar la ecuación anterior para evitar el conteo doble, es decir, tenemos
que reducir la probabilidad de obtener un uno o una carta de espadas por la
posibilidad de obtener ambos eventos juntos. Como resultado de lo anterior, la
ecuación correcta para la probabilidad de uno o más eventos que no son
mutuamente excluyentes es:
𝑃 𝐴 𝑜 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 (𝐴 𝑦 𝐵)

22.  Los empleados de una cierta compañía han elegido a cinco de ellos para que los
representen en el consejo administrativo y de personal sobre productividad. Los
perfiles de los cinco elegidos son:
Este grupo decide elegir un vocero, la elección se efectúa sacando
de un sombrero uno de los nombres impresos. Nuestra pregunta
es, ¿cuál es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya
edad esté por arriba de 35 años?
P (M o 35 años) = 2/5 + 2/5 – 1/5 = 3/5 = 0,6
Hombre 30
Hombre 32
Mujer 45
Mujer 20
Hombre 40