Estudio de la Probabilidad Conjunta. Enfoque a priori, enfoque a posteriori, enfoque axiomático, probabilidad condicional y teorema de Bayes.

1. Estadística y
Probabilidad II
Probabilidad Conjunta
Ciclo escolar 2013-2014

2. Experimentos Aleatorios
• Todos estamos familiarizados con la importancia de los
experimentos en la ciencia y en la ingeniería. Un principio
fundamental es que si efectuamos tales experimentos
repetidamente bajo condiciones aproximadamente idénticas,
obtenemos resultados que son esencialmente los mismos.
• Sin embargo, hay experimentos en los cuales los resultados no son
esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean
aproximadamente idénticas. Tales experimentos se denominan
experimentos aleatorios. Los siguientes son algunos ejemplos
– Si lanzamos una moneda el resultado del experimento es águila o sol.
– Si lanzamos un dado el resultado del experimento es uno de los
números en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}
– Si lanzamos una moneda dos veces, el resultado puede indicarse por
{AA,AS,SA,SS}, es decir dos Aguilas, Aguila primero y luego sol, etc.
– Si tenemos una máquina que produce tornillos, el resultado del
experimento es que algunos pueden estar defectuosos. Así cuando se
produce un tornillo será un miembro del conjunto {defectuoso, no
defectuoso}.

3. Espacios Muéstrales y Sucesos
• Espacio muestral: Un conjunto Ω que consiste en todos los
resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio
muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral.
Con frecuencia habrá mas de un espacio muestral que describe los
resultados de un experimento pero hay comúnmente sólo uno que
suministra la mayoría de la información. Obsérvese que Ω
corresponde al conjunto universal.
• Suceso o Evento: Un suceso es un subconjunto 𝐴 del espacio
muestral Ω, es decir es un conjunto de resultados posibles. Si el
resultado de un experimento es un elemento de 𝐴 decimos que el
suceso 𝐴 ha ocurrido. Un suceso que consiste de un solo punto de
Ω frecuentemente se llama un suceso elemental o simple.

4. El concepto de Probabilidad
• En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre
sobre si un suceso específico ocurrirá o no. Como medida de la
oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un
suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si
estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su
probabilidad es 100% o 1, pero si estamos seguros de que el suceso
no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo, si la
probabilidad es de 1/4, diríamos que hay un 25% de oportunidad de
que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra.
• Existen dos procedimientos importantes por medio de los cuales
podemos obtener estimativos para la probabilidad de un suceso.

5. Enfoque de Probabilidad
Enfoque clássico o a priori
• Si un suceso puede ocurrir
en h maneras diferentes de
un número total de n
maneras posibles, todos
igualmente factibles,
entonces la probabilidad del
suceso es h/n.
Enfoque como frecuencia
relativa o a posteriori.
• Si después de n repeticiones
de un experimento, donde n
es muy grande, un suceso
ocurre h veces, entonces la
probabilidad del suceso es
h/n.
• Esto también se llama la
probabilidad empírica del
suceso.

6. Ejemplos
Probabilidad clásica o a priori
• Supóngase que deseamos la
probabilidad de que resulte
Águila en un solo
lanzamiento de una
moneda
Probabilidad de frecuencia
relativa o a posteriori.
• Si lanzamos una moneda
1000 veces y hallamos que
532 veces resultan águilas.
¿Cuál es la probabilidad de
que en el siguiente
lanzamiento obtengamos
águila?

7. Ejemplos
• Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos
aleatorios.
– Sacar una bola de una urna donde hay 5 bolas blancas y 5 bolas negras
– Los colores de un semáforo
• Determinar o estimar la probabilidad p de los siguientes sucesos
– Una tirada de un dado resulte impar.
– Al menos un águila en dos tiradas de una moneda.
– Un As, el 10 de diamante o el 2 de picas aparezca al sacar una sola
carta de una baraja inglesa.
– La suma de los puntos de dos dados sea 7.
– Qua aparezca un Sol en la próxima tirada de una moneda si han salido
56 águilas en 100 tiradas.

8. Actividad
• Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4
bolas blancas y 5 azules. Halla la probabilidad de que la bola
extraída sea
a) Roja
b) Blanca
c) Azul
d) No roja
e) Roja o blanca
• En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios
y 10 morenos hallar la probabilidad de que el representante del
salón
a) Sea hombre
b) Sea mujer morena
c) Sea hombre o mujer

9. Eventos
• Como eventos particulares tenemos el evento seguro
Ω, ya que un elemento de Ω puede ocurrir; y el evento
∅ que se llama evento imposible, ya que un elemento
de ∅ no puede ocurrir.
• Puesto que los eventos o sucesos son conjuntos es
lógico que las proporciones relativas a eventos puedan
traducirse a lenguaje de conjuntos e inversamente. En
particular tenemos un “algebra” de eventos que
corresponde al algebra de conjuntos.

10. Eventos
• Empleando las operaciones de conjuntos en sucesos en
Ω podemos obtener otros sucesos en Ω. Asi si 𝐴 y 𝐵
son eventos, entonces
 𝐴 ∪ 𝐵 es el evento “A o B o ambos”
 𝐴 ∩ 𝐵 es el evento “A y B”
 𝐴′ es el evento “no A”
 𝐴 − 𝐵 es el evento “A, pero no B”
• Si los conjuntos correspondientes a los eventos A y B
son disjuntos, es decir 𝐴 ∩ B = ∅, frecuentemente
decimos que los sucesos son mutuamente excluyentes.
Esto quiere decir que no pueden ocurrir ambos

11. Axiomas de Probabilidad
• Ambos enfoques, el clásico y el de frecuencias
relativas, presentan serias dificultades. El
primero debido a la vaguedad de las palabras
“igualmente factibles” y el segundo debido a
la vaguedad incluida en un “número muy
grande”.
• A causa de estas dificultades los matemáticos
en los últimos años se han orientado en un
enfoque Axiomático utilizando conjuntos.

12. Axiomas de Probabilidad
• Supóngase que tenemos un espacio muestral Ω. A cada
evento 𝐴 de Ω asociamos un numero real 𝑃(𝐴), es decir 𝑃 es
una función de valores reales. 𝑃 es llamada una función de
probabilidad, y 𝑃(𝐴) la probabilidad del evento 𝐴, si se
satisfacen los axiomas siguientes.
Axioma 1. Para cada evento A de Ω
𝑃(𝐴) ≥ 0
Axioma 2. Para cada evento seguro Ω
𝑃(Ω) = 1
Axioma 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes,
es decir 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

13. Algunos Teoremas Importantes sobre
Probabilidad
• 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
• 𝑃(∅) = 0
• 𝑃(𝐴’) = 1 − 𝑃(𝐴)
• 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

14. Ejemplo
• Si 𝑃(𝐴) = 0.62, 𝑃(𝐵) = 0.49, 𝑃(𝐶) = 0.25,
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.35, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.20,
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 0.18, calcule
• 𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) =
• 𝑃 𝐴’ =
• 𝑃(𝐴 − 𝐵) =

15. Probabilidad Condicional
(Introducción)
• En una urna se tienen 9 bolas rojas, 7 azules y
8 bolas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de
que al sacar dos bolas se obtengan dos bolas
blancas?
a) Si al sacar la primera bola, esta se devuelve a la
urna.
b) Si al sacar la primera bola, esta no se devuelve.

16. Probabilidad Condicional
• Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos tales que 𝑃(𝐴) > 0. Denotamos por 𝑃(𝐵|𝐴) la
probabilidad de 𝐵 dado que 𝐴 ha ocurrido. Puesto que se sabe que 𝐴 ha
ocurrido, se convierte en el nuevo espacio muestral remplazando el
original Ω. De aquí llegamos a la definición.
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
• O también
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)
• En palabras, la ecuación anterior nos dice la probabilidad de que tanto A y
B ocurran simultáneamente.
• Si 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 entonces se dice que 𝐴 y 𝐵 son eventos independientes
entre si, es decir, la ocurrencia de 𝐵 no depende en nada de si ocurre 𝐴 o
no.

17. • Cual es la probabilidad de obtener una bola roja y una azul
de una urna donde hay 4 bolas rojas, 6 bolas blancas y
5 bolas azules
a) Con remplazo
b) Sin remplazo
• Calcule la probabilidad de obtener dos ases al sacar dos
cartas de la baraja inglesa
a) Con remplazo
b) Sin remplazo
• Si 𝑃(𝐴) = 0.62, 𝑃(𝐵) = 0.49, 𝑃(𝐶) = 0.25, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
0.35, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.20, 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0.18, calcule
a) 𝑃 𝐴 𝐵 =
b) 𝑃 𝐵 𝐴 =
c) 𝑃 𝐵 𝐶 =

18. Teorema de Bayes
• Si 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴 𝑛 son eventos mutuamente excluyentes
y cuya unión es el espacio muestral Ω. Si 𝐵 es otro evento
cualquiera, entonces se da el siguiente teorema importante
𝑃(𝐴 𝑘|𝐵) =
𝑃 𝐴 𝑘 𝑃 𝐵 𝐴 𝑘
𝑃 𝐴𝑗 𝑃 𝐵 𝐴𝑗
𝑛
𝑗=1
• Esto nos permite hallar las probabilidades de los diferentes
sucesos que pueden causar la ocurrencia de 𝐵.
• Por esta razón con frecuencia se hace referencia al teorema
de Bayes como teorema de las causas.