Analisis

Carlos Ivorra Castillo

´ ´
ANALISIS MATEMATICO

Si una cantidad no negativa fuera tan pequeã n
que resultara menor que cualquier otra dada, cier-
tamente no podr´ ser sino cero. A quienes pregun-
ıa
tan qu´ es una cantidad infinitamente pequeã en
e n
matem´ticas, nosotros respondemos que es, de he-
a
cho, cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos
ı
en este concepto como se suele creer. Esos supues-
tos misterios han convertido el c´lculo de lo infinita-
a
mente pequeõ en algo sospechoso para mucha gente.
n
Las dudas que puedan quedar las resolveremos por
completo en las p´ginas siguientes, donde explicare-
a
mos este c´lculo.
a
Leonhard Euler

´
Indice General

Introducciń
o ix

Cap´
ıtulo I: Topolog´ıa 1
1.1 Espacios topol´gicos . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bases y subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Productos y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Algunos conceptos topol´gicos .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Sucesiones y series num´ricas .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Cap´
ıtulo II: Compacidad, conexiń y completitud
o 59
2.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Aplicaciones a las series num´ricas . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 86
2.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7 Apńdice: El teorema de Baire . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 96

Cap´
ıtulo III: C´lculo diferencial de una variable
a 101
3.1 Derivaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 101
3.2 C´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 104
3.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4 La diferencial de una funciń . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 115
3.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.7 La funciń exponencial . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 127
3.8 Las funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . 133
3.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.10 Apńdice: La trascendencia de e y π . . . . . .
e . . . . . . . . . . 148

v

vi ´
INDICE GENERAL

Cap´
ıtulo IV: C´lculo diferencial de varias variables
a 157
4.1 Diferenciaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
o
4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 Curvas parametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Cap´
ıtulo V: Introducciń a las variedades diferenciables
o 195
5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.3 La m´trica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . 210
5.4 Geod´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . 215
5.5 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.6 La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Cap´
ıtulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 231
6.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 238
6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 246

Cap´
ıtulo VII: Teor´ de la medida
ıa 253
7.1 Medidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.2 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.3 La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.4 El teorema de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.5 La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Cap´
ıtulo VIII: Teor´ de la medida II
ıa 287
8.1 Producto de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.2 Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.3 Medidas signadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.4 Derivaciń de medidas . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Cap´
ıtulo IX: Formas diferenciales 321
9.1 Integraciń en variedades . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.2 El ´lgebra exterior . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.3 El ´lgebra de Grassmann . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.4 Algunos conceptos del c´lculo vectorial
a . . . . . . . . . . . . . . . 348

Cap´
ıtulo X: El teorema de Stokes 359
10.1 Variedades con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.2 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.3 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.4 Aplicaciones del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.5 Las f´rmulas de Green . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 387
10.6 El teorema de Stokes con singularidades . . . . . . . . . . . . . . 390
10.7 Apńdice: Algunas f´rmulas vectoriales
e o . . . . . . . . . . . . . . 395

´
INDICE GENERAL vii

Cap´
ıtulo XI: Cohomolog´ de De Rham
ıa 399
11.1 Grupos de cohomolog´ . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 399
11.2 Homotop´ . . . . . . . . . . . . . .
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . 402
11.3 Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.4 Aplicaciones al c´lculo vectorial . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Cap´
ıtulo XII: Funciones Harmńicas
o 419
12.1 El problema de Dirichlet sobre una bola . . . . . . . . . . . . . . 420
12.2 Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
12.3 Funciones subharmńicas . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
12.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Cap´
ıtulo XIII: Aplicaciones al electromagnetismo 447
13.1 Electrost´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . 447
13.2 Magnetost´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . 450
13.3 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
13.4 La ecuaciń de ondas . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . 461
13.5 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 470

Bibliograf´
ıa 477
´
Indice de Materias 478

Introducciń
o

En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el an´lisisa
matem´tico o c´lculo infinitesimal, una potent´
a a ısima herramienta que revolucion´ o
el tratamiento matem´tico de la f´
a ısica y la geometr´ y que m´s tarde impreg-
ıa, a
nar´ las m´s diversas ramas de la matem´tica, como la estad´
ıa a a ıstica o la teor´ıa
de n´meros.
u
Esencialmente, el c´lculo infinitesimal consist´ por una parte en analizar
a ıa
o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el compor-
tamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constitu´ el ıa
c´lculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para
a
obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideraciń (elo
llamado c´lculo integral).
a
Es dif´ que un lector que no tenga ya algunas nociones de c´lculo pueda
ıcil a
entender cabalmente el p´rrafo anterior, pero las nuevas ideas eran ań m´s
a u a
dif´ıciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de texto
que se public´ con el fin de explicarlas sistem´ticamente fue el “An´lisis” del
o a a
marqu´s de l’Hˆpital. Veamos algunos pasajes:
e o
La parte infinitamente pequeã en que una cantidad variable es au-
n
mentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial
de esta cantidad.
Siguiendo la notaciń leibniziana, L’Hˆpital explica que la letra d se usa para
o o
representar uno de estos incrementos infinitamente pequeõs de una magnitud,
n
de modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc.
En ningń momento se precisa qu´ debemos entender por un aumento infi-
u e
nitamente pequeõ de una cantidad, pero en compensaciń se presentan varias
n o
reglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo:
Post´lese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infini-
u
tamente pequeã pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lo
n
que es lo mismo) que una cantidad que est´ incrementada o dismi-
a
nuida solamente en una cantidad infinitamente menor, puede consi-
derarse que permanece constante.
As´ por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta
ı,
un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos
d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx,

ix

x Introducciń
o

donde hemos despreciado el infinit´simo doble dxdy porque es infinitamente
e
menor que los infinit´simos simples x dy e y dx.
e
Es fćil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospe-
a
chas y pol´micas. Baste citar el t´
e ıtulo del panfleto que en 1734 public´ el obispo
o
de Berkeley:

El analista, o discurso dirigido a un matem´tico infiel, donde se
a
examina si los objetos, principios e inferencias del an´lisis moderno
a
estń formulados de manera m´s clara, o deducidos de manera m´s
a a a
evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe.

En esta fecha el c´lculo infinitesimal ten´ ya m´s de medio siglo de historia.
a ıa a
La razń por la que sobrevivi´ inmune a estas cr´
o o ıticas y a la vaguedad de sus
fundamentos es que muchos de sus razonamientos infinitesimales terminaban en
afirmaciones que no involucraban infinit´simos en absoluto, y que eran confir-
e
mados por la f´
ısica y la geometr´ Por ejemplo, consideremos la circunferencia
ıa.
formada por los puntos que satisfacen la ecuaciń
o

x2 + y 2 = 25.

Aplicando la regla del producto que hemos “demostrado” antes al caso en que
los dos factores son iguales obtenemos que dx2 = 2x dx e igualmente ser´ dy 2 =
a
2y dy. Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante
25 no se ve incrementada en absoluto. Si a esto aãdimos que la diferencial de
n
una suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuaciń diferencial
o

2x dx + 2y dy = 0,

de donde a su vez
dy x
=− .
dx y
Esto significa que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circun-
ferencia e incrementamos infinitesimalmente su coordenada x, la coordenada y
disminuir´ en 3/4 dx. Notemos que esto es falso para cualquier incremento finito
a
de la variable x, por pequeõ que sea, pues si valiera para incrementos suficien-
n
temente pequeõs resultar´ que la circunferencia contendr´ un segmento de la
n ıa ıa
recta
3
y − 4 = − (x − 3),
4
lo cual no es el caso. Vemos que ´sta se comporta igual que la circunferencia para
e
variaciones infinitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunque
difiere de ella para cualquier variaciń finita. La interpretaciń geom´trica es
o o e
que se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4).
El argumento ser´ nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que
a
nos proporciona un m´todo sencillo para calcular la tangente a una circunferen-
e
cia por uno cualquiera de sus puntos. De hecho el m´todo se aplica a cualquier
e
curva que pueda expresarse mediante una f´rmula algebraica razonable, lo que
o

xi

supera con creces a las tćnicas con las que contaba la geometr´ anal´
e ıa ıtica antes
del c´lculo infinitesimal.
a
A lo largo del siglo XIX la matem´tica emprendi´ un proceso de funda-
a o
mentaciń que termin´ con una teor´ formal donde todos los conceptos estń
o o ıa a
perfectamente definidos a partir de unos conceptos b´sicos, los cuales a su vez
a
estń completamente gobernados por unos axiomas precisos. Las ambigëdades
a u
del c´lculo infinitesimal fueron el motor principal de este proceso. En los aõs
a n
sesenta del siglo XX se descubri´ que una delicada teor´ l´gica, conocida como
o ıa o
an´lisis no estńdar permite definir rigurosamente cantidades infinitesimales
a a
con las que fundamentar el c´lculo a la manera de Leibniz y L’Hˆpital, pero no
a o
es ´se el camino habitual ni el que nosotros vamos a seguir. Lo normal es erra-
e
dicar los infinit´simos de la teor´ pero no as´ el formalismo infinitesimal. En
e ıa, ı
ocasiones los s´ımbolos dy, dx aparecen en ciertas definiciones “en bloque”, sin
que se les pueda atribuir un significado independiente, como cuando se define
la derivada de una funciń y = y(x) mediante
o
dy y(x + ∆x) − y(x)
= l´
ım .
dx ∆x→0 ∆x
De este modo, el cociente de diferenciales tiene el mismo significado que
para Leibniz, en el sentido de que al calcularlo obtenemos el mismo n´mero o
u
la misma funciń que ´l obten´ pero con la diferencia de que ya no se trata de
o e ıa,
un cociente de diferenciales, no es un cociente de nada. La definiciń anterior
o
nos permite hablar de dy/dx, pero no de dy o de dx.
No obstante se puede ir m´s lejos y dar una definiciń adecuada de dx y dy
a o
de modo que se pueda probar la equivalencia
dy
= f (x) ⇐⇒ dy = f (x) dx.
dx
Es algo parecido al paso de una relaciń algebraica como xy 2 = x + 4y 3 ,
o
donde x e y son, digamos, n´meros reales indeterminados, a la misma expresiń
u o
entendida como una igualdad de polinomios, donde ahora x e y son indetermina-
das en un sentido matem´tico muy preciso. Por ejemplo, segń una definiciń
a u o
habitual del anillo de polinomios R[x, y], la indeterminada x es la aplicacińo
de los pares de n´meros naturales en R dada por x(1, 0) = 1 y x(i, j) = 0
u
para cualquier otro par, es decir, algo que en nada recuerda a “un n´mero real
u
indeterminado”.
Al introducir las formas diferenciales muchos libros modernos insisten en
recalcar que los objetos como dx son “puramente formales” —como las indeter-
minadas en un anillo de polinomios—, que no tienen un singificado intr´ ınseco,
sino que simplemente son objetos diseãdos para que se comporten segń ciertas
n u
reglas que se adaptan a las propiedades de las derivadas e integrales. Llegan
incluso a perdir disculpas por lo excesivamente vac´ y abstracta que resulta la
ıa
teor´ en torno a ellos. Explican que, pese a ello, merece la pena el esfuerzo de
ıa
familiarizarse con ella porque al final se ve su gran (y sorprendente) utilidad.
En este libro insistiremos en todo momento en que las diferenciales tienen
un significado intr´ınseco muy concreto e intuitivo, y trataremos de evidenciarlo

xii Introducciń
o

desde el primer momento, de modo que —sin desmerecer la profundidad de la
teor´ıa— su utilidad y buen comportamiento no resulta sorprendente en absoluto.
Su interpretaciń no ser´, naturalmente la de incrementos infinitesimales, sino
o a
la de aproximaciones lineales, aceptables —al menos— en los alrededores de los
puntos. Esta interpretaciń los mantiene en todo momento muy cerca de los
o
hipot´ticos infinit´simos en los que estń inspirados.
e e a
Muchos libros de f´ ısica continán trabajando con razonamientos infinitesi-
u
males al estilo antiguo, los cuales les permiten llegar r´pidamente y con fluidez
a
a resultados importantes a cambio de sacrificar el rigor l´gico. Aqu´ adopta-
o ı
remos una posiciń intermedia entre los dos extremos: seremos rigurosos, pero
o
no formalistas, daremos pruebas sin saltos l´gicos, pero llegaremos a resultados
o
enunciados de tal modo que resulten “transparentes” en la prćtica, emulando
a
as´ la fluidez de los razonamientos infinitesimales.
ı
Hay un caso en que los razonamientos infinitesimales estń plenamente jus-
a
tificados, y es cuando se trata de motivar una definiciń. Por ejemplo, a partir
o
de la ley de gravitaciń de Newton para dos masas puntuales puede “deducirse”
o
que el campo gravitatorio generado por una distribuciń continua de masa con-
o
tenida en un volumen V con densidad ρ viene dado por
Z
ρ(y)
E(x) = −G (x − y) dy.
V kx − yk3
La deducciń no puede considerarse una demostraciń matem´tica, pues
o o a
la f´rmula anterior tiene el status l´gico de una definiciń, luego es un sin-
o o o
sentido tratar de demostrarla. En todo caso se podr´ complicar la definiciń
ıa o
sustituyńdola por otra que mostrara claramente su conexiń con las masas
e o
puntuales y despu´s probar que tal definiciń es equivalente a la anterior. La
e o
prueba se basar´ en la posibilidad de aproximar integrales por sumas finitas
ıa
y con toda seguridad ser´ bastante prolija. Esta opciń ser´ absurda tanto
ıa o ıa
desde el punto de vista formal (¿para qu´ sustituir una definiciń sencilla por
e o
otra complicada?) como desde el punto de vista f´ ısico (¿para qu´ entrar en
e
disquisiciones ≤–δ que acabarń donde todos sabemos que tienen que acabar?).
a
En cambio, un argumento en t´rminos de infinit´simos convence a cualquiera
e e
de que esta definiciń es justamente la que tiene que ser.1
o
Del mismo modo podemos convencernos de que el potencial gravitatorio
determinado por una distribuciń de masa ρ debe ser
o
Z
ρ(y)
V (x) = −G dy.
V kx − yk
Ahora bien, de aceptar ambos hechos tendr´ıamos como consecuencia la re-
laciń E = −∇V , pues el potencial de un campo de fuerzas es por definiciń
o o
la funciń que cumple esto. Sin embargo esto ya no es una definiciń, sino una
o o
afirmaciń sobre dos funciones que podr´ ser falsa en principio y que, por con-
o ıa
siguiente, requiere una demostraciń. Muchos libros de f´
o ısica dan por sentado
1A
cualquiera menos a un formalista puro, quien no le encontrar´ sentido, pero es que,
a
como alguien dijo, “un formalista es alguien incapaz de entender algo a menos que carezca de
significado.”

xiii

este hecho, incurriendo as´ en una laguna l´gica que nosotros cubriremos. As´
ı o ı
pues, cuando el lector encuentre en las p´ginas que siguen un razonamiento en
a
t´rminos de diferenciales deber´ observar que o bien desemboca en una defi-
e a
niciń o bien est´ completamente avalado por teoremas previos que justifican
o a
las manipulaciones de diferenciales.
Este libro ha sido escrito siguiendo cuatro gu´ principales:
ıas
• Presentar los resultados m´s importantes del an´lisis matem´tico real.
a a a
Concretamente abordamos el c´lculo diferencial e integral de una y va-
a
rias variables reales, las ecuaciones diferenciales ordinarias y, aunque no
hay ningń cap´
u ıtulo dedicado espec´ıficamente a ellas, estudiamos varias
ecuaciones en derivadas parciales: la ecuaciń de Lagrange, la de Poisson,
o
la ecuaciń de ondas y las ecuaciones de Maxwell. Tambiń planteamos
o e
la ecuaciń del calor, si bien no entramos en su estudio. Aunque, como
o
ya hemos dicho, nos centramos en el an´lisis real, estudiamos las series
a
de potencias complejas, introduciendo en particular la exponencial y las
funciones trigonom´tricas complejas, y a partir de la teor´ de funciones
e ıa
harmńicas y el teorema de Stokes demostramos algunos de los resultados
o
fundamentales sobre las funciones holomorfas (esencialmente el teorema
de los residuos).
• Justificar todas las definiciones, sin caer en la falacia formalista de que
la l´gica nos da derecho a definir lo que queramos como queramos sin
o
tener que dar explicaciones. Pensemos, por ejemplo, en la definiciń de
o
a
´rea de una superficie. Muchos libros se limitan a definirla mediante una
f´rmula en t´rminos de expresiones coordenadas, sin m´s justificaciń que
o e a o
la demostraciń de su consistencia (de que no depende del sistema de
o
coordenadas elegido). Otros aceptan como “motivaciń” el teorema de
o
cambio de variables, considerando que es natural tomar como definiciń o
de cambio de variables entre un abierto de Rn y un abierto en una variedad
lo que entre dos abiertos de Rn es un teorema nada trivial. No podemos
resumir nuestro enfoque en pocas l´ ıneas, pero invitamos al lector a que
preste atenciń a la justificaciń de ´ste y muchos otros conceptos.
o o e
• Mostrar la fundamentaciń del c´lculo infinitesimal cl´sico, en lugar de
o a a
sustituirlo por otro c´lculo moderno mucho m´s r´
a a ıgido y abstracto. Por
ejemplo, a la hora de desarrollar una teor´ de integraciń potente es
ıa o
imprescindible introducir la teor´ de la medida abstracta y sus resultados
ıa
m´s importantes. A ello dedicamos los cap´
a ıtulos VII y VIII, pero tras
ello, en el cap´
ıtulo siguiente, envolvemos toda esta teor´ abstracta en
ıa
otra mucho m´s el´stica y natural, la teor´ de formas diferenciales, que
a a ıa
requiere a la anterior como fundamento, pero que termina por ocultarla,
de modo que a partir de cierto punto es muy rara la ocasiń en que se
o
hace necesario trabajar expl´ıcitamente con las medidas y sus propiedades.
• Mostrar la aplicaciń y la utilidad de los resultados te´ricos que presen-
o o
tamos. Las primeras aplicaciones tienen que ver con la geometr´ pero
ıa,
paulatinamente van siendo desplazadas por aplicaciones a la f´ ısica. En

xiv Introducciń
o

la medida de lo posible hemos evitado presentar las aplicaciones como
animales enjaulados en un zool´gico, es decir, desvinculadas de sus con-
o
textos naturales, de manera que den m´s la impresiń de anćdotas que
a o e
de verdaderos ´xitos del c´lculo infinitesimal. En el caso de la f´
e a ısica va-
mos introduciendo los conceptos fundamentales (velocidad, aceleraciń, o
fuerza, energ´ etc.) segń van siendo necesarios, de modo que de estas
ıa, u
p´ginas podr´ extraerse una sucinta introducciń a la f´
a ıa o ısica. En lo to-
cante a la geometr´ por los motivos explicados en el segundo punto nos
ıa,
hemos restringido a trabajar con subvariedades de Rn , es decir, hemos evi-
tado la definiciń abstracta de variedad para tener as´ una interpretaciń
o ı o
natural de los espacios tangentes y su relaciń con la variedad. En algu-
o
nos ejemplos concretos necesitamos que el lector est´ familiarizado con la
e
geometr´ proyectiva, la teor´ de las secciones cńicas y otros puntos de
ıa ıa o
la geometr´ pre-diferencial. Los hemos marcado con un asterisco. Nin-
ıa
guno de estos ejemplos es necesario para seguir el resto del libro. Uno de
ellos, el del plano proyectivo, lo usamos de forma no rigurosa para ilustrar
la necesidad de una definiciń m´s general de variedad, mostrando que
o a
muchos de los conceptos que definimos para una subvariedad de R3 son
aplicables formalmente al caso del plano proyectivo, si bien la teor´ de
ıa
que disponemos no nos permite justificar esta aplicaciń. o
De los puntos anteriores no debe leerse entre l´ ıneas una cierta aversiń hacia
o
el an´lisis abstracto. Al contrario, creemos que este libro puede ser continuado
a
de forma natural en muchas direcciones: la teor´ espectral, la teor´ de distri-
ıa ıa
buciones, el an´lisis de Fourier, el c´lculo variacional, la teor´ de funciones de
a a ıa
variable compleja, la geometr´ diferencial y la topolog´ general.
ıa ıa
Por citar algunos ejemplos, nosotros probamos que el problema de Dirichlet
tiene soluciń en una familia muy amplia de abiertos para unas condiciones de
o
frontera dadas, pero la resoluciń expl´
o ıcita en casos concretos requiere de la
transformada de Fourier, que en general se aplica a muchas otras ecuaciones
en derivadas parciales. Por otra parte, la transformada de Fourier permite des-
componer una onda en su espectro continuo de frecuencias. Cuando se estudia
la soluciń de la ecuaciń de ondas en abiertos distintos de todo R3 aparecen
o o
las ondas estacionarias, que llevan al an´lisis espectral y, en casos particulares,
a
a la teor´ de series de Fourier o de las funciones de Bessel entre otras. Los
ıa
problemas de gravitaciń o electromagnetismo que involucran masas y cargas
o
puntuales o corrientes elćtricas unidimensionales pueden unificarse con los pro-
e
blemas que suponen distribuciones continuas de masas, cargas y corrientes a
trav´s de la teor´ de distribuciones.
e ıa
Tampoco nos gustar´ que las comparaciones que hemos hecho con otros
ıa
libros se interpreten a modo de cr´ıtica. Tan s´lo queremos hacer hincapi´ en que
o e
nuestros objetivos son distintos a los de muchos otros libros. Somos conscientes
de que nuestro prop´sito de justificar las definiciones m´s all´ de una motivaciń
o a a o
m´s o menos dudosa nos ha llevado a seguir caminos mucho m´s profundos y
a a
laboriosos que los habituales, por lo que, a pesar de su carćter autocontenido
a
en lo tocante a topolog´ y an´lisis, es muy dif´ que este libro sea de utilidad
ıa a ıcil
a un lector que no cuente ya con una cierta familiaridad con la materia. Por ello

xv

es obvio que un libro cuya finalidad principal sea didćtica, o bien que quiera
a
profundizar m´s que nosotros en f´
a ısica o geometr´ diferencial, deber´ pasar por
ıa a
alto muchas sutilezas en las que nosotros nos hemos detenido.
Comentamos, para terminar, que al lector se le supone unicamente unos cier-
´
tos conocimientos de ´lgebra, especialmente de ´lgebra lineal, y algunas nociones
a a
elementales de geometr´ (salvo para los ejemplos marcados con un asterisco).
ıa
Espor´dicamente serń necesarios conocimientos m´s profundos, como para la
a a a
prueba de la trascendencia de e y π, sobre todo en la de π, o al estudiar el
concepto de orientaciń, donde para interpretar el signo del determinante de
o
una biyecciń af´ usamos que el grupo especial lineal de Rn est´ generado por
o ın a
las transvecciones. Ninguno de estos hechos se necesita despu´s.e

Cap´
ıtulo I

Topolog´
ıa

La topolog´ puede considerarse como la forma m´s abstracta de la geo-
ıa a
metr´ ıa. El concepto principal que puede definirse a partir de la estructura
topol´gica es el de aplicaciń continua, que viene a ser una transformaciń rea-
o o o
lizada sin cortes o saltos bruscos o, dicho de otro modo, que transforma puntos
pr´ximos en puntos pr´ximos. Los resultados topol´gicos son aplicables tanto a
o o o
la geometr´ propiamente dicha como a la descripciń de otros muchos objetos
ıa o
m´s cercanos a la teor´ de conjuntos general, si bien aqu´ nos centraremos en
a ıa ı
la vertiente geom´trica. Al combinarla con el ´lgebra obtendremos el c´lculo
e a a
diferencial, que constituye la herramienta m´s potente para el estudio de la
a
geometr´ ıa.

1.1 Espacios topol´gicos
o
Segń acabamos de comentar, una aplicaciń continua es una aplicaciń que
u o o
transforma puntos pr´ximos en puntos pr´ximos. Nuestro objetivo ahora es
o o
definir una estructura matem´tica en la que esta afirmaciń pueda convertirse
a o
en una definiciń rigurosa. En primer lugar conviene reformularla as´ una apli-
o ı:
caciń continua es una aplicaciń que transforma los puntos de alrededor de un
o o
punto dado en puntos de alrededor de su imagen. En efecto, si cortamos una cir-
cunferencia por un punto P para convertirla en un segmento, la transformacińo
no es continua, pues los puntos de alrededor de P se transforman unos en los
puntos de un extremo del segmento y otros en los puntos del otro extremo, luego
no quedan todos alrededor del mismo punto. En cambio, podemos transformar
continuamente (aunque no biyectivamente) una circunferencia en un segmento
sin m´s que aplastarla.
a

1

2 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

Una forma de dar rigor al concepto de “puntos de alrededor” de un punto
dado es a trav´s de una distancia. Veremos que no es lo suficientemente general,
e
pero s´ muy representativa. La formalizaciń algebraica de la geometr´ eucl´
ı o ıa ıdea
se lleva a cabo a trav´s de Rn . Su estructura vectorial permite definir los puntos,
e
rectas, planos, etc. y a ´sta hay que aãdirle la estructura m´trica derivada del
e n e
producto escalar:
Xn
xy = xi yi .
i=1
A partir de ´l se definen los dos conceptos fundamentales de la geometr´
e ıa
m´trica: la longitud de un vector y el ńgulo entre dos vectores. En efecto, la
e a
longitud de un vector es la norma
v
u n
√ uX
kxk = xx = t x2 ,
i
i=1

y el ńgulo α que forman dos vectores no nulos x, y viene dado por
a
xy
cos α = .
kxk kyk
Estas estructuras son demasiado particulares y restrictivas desde el punto
de vista topol´gico. La medida de ńgulos es un sinsentido en topolog´ y la de
o a ıa,
longitudes tiene un inter´s secundario, pues no importan las medidas concretas
e
sino tan s´lo la nociń de proximidad. En primer lugar generalizaremos el
o o
concepto de producto escalar para admitir como tal a cualquier aplicaciń que
o
cumpla unas m´ ınimas propiedades:
Definiciń 1.1 Usaremos la letra K para referirnos indistintamente al cuerpo
o
R de los n´meros reales o al cuerpo C de los n´meros complejos. Si α ∈ K,
u u
la notaciń α representar´ al conjugado de α si K = C o simplemente α = α
o ¯ a ¯
si K = R. Si H es un K-espacio vectorial, un producto escalar en H es una
aplicaciń · : H × H −→ K que cumple las propiedades siguientes:
o
a) x · y = y · x,
b) (x + y) · z = x · z + y · z,
c) (αx) · y = α(x · y),
d) x · x ≥ 0 y x · x = 0 si y s´lo si x = 0,
o
para todo x, y, z ∈ H y todo α ∈ K.
Notar que a) y b) implican tambiń la propiedad distributiva por la derecha:
e
x · (y + z) = x · y + x · z.
Un espacio prehilbertiano es un par (H, ·), donde H es un K-espacio vectorial
y · es un producto escalar en H. En la prćtica escribiremos simplemente H en
a
lugar de (H, ·).
Si H es un espacio prehilbertiano, definimos su norma asociada como la
√
aplicaciń k k : H −→ R dada por kxk = x · x.
o

1.1. Espacios topol´gicos
o 3

Ejemplo Un producto escalar en el espacio Kn viene dado por

x · y = x1 y1 + · · · + xn yn .
¯ ¯
p
De este modo, kxk = |x1 |2 + · · · + |xn |2 .

Teorema 1.2 Sea H un espacio prehilbertiano y sean x, y ∈ H. Entonces

a) (desigualdad de Schwarz) |x · y| ≤ kxk kyk.

b) (desigualdad triangular) kx + yk ≤ kxk + kyk.

Demostracion: a) Sean A = kxk2 , B = |x · y| y C = kyk2 . Existe un
´
n´mero complejo α tal que |α| = 1 y α(y · x) = B. Para todo n´mero real r se
u u
cumple

0 ≤ (x − rαy) · (x − rαy) = x · x − rα(y · x) − rα(x · y) + r2 y · y.
¯

¯
Notar que α(x · y) = B = B, luego A − 2Br + Cr2 ≥ 0. Si C = 0 ha de
¯
ser B = 0, o de lo contrario la desigualdad ser´ falsa para r grande. Si C > 0
ıa
tomamos r = B/C y obtenemos B 2 ≤ AC.
b) Por el apartado anterior:

kx + yk2 = (x + y) · (x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y
≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .

Notar que x · y + y · x es un n´mero real, luego
u

x · y + y · x ≤ |x · y + y · x| ≤ |x · y| + |y · x|.

La norma permite definir una distancia entre puntos con la que formalizar
el concepto de proximidad que nos interesa, pero para ello no es necesario que
la norma provenga de un producto escalar. Conviene aislar las propiedades de
la norma que realmente nos hacen falta para admitir como tales a otras muchas
aplicaciones:

Definiciń 1.3 Si E es un espacio vectorial sobre K, una norma en E es una
o
aplicaciń k k : E −→ [0, +∞[ que cumpla las propiedades siguientes:
o

a) kvk = 0 si y s´lo si v = 0.
o

b) kv + wk ≤ kvk + kwk.

c) kα vk = |α| kvk,

para v, w ∈ E y todo α ∈ K.

4 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

Un espacio normado es un par (E, k k) en estas condiciones. En la prćtica
a
escribiremos E, sin indicar expl´
ıcitamente la norma.
Es inmediato comprobar que la norma de un espacio prehilbertiano es una
norma en el sentido general de la definiciń anterior. En particular Kn es un
o
espacio normado con la norma del ejemplo anterior, que recibe el nombre de
norma eucl´ıdea. El teorema siguiente nos da otras dos normas alternativas. La
prueba es elemental.

Teorema 1.4 Kn es un espacio normado con cualquiera de estas normas:
v
n u n
X uX © Ø ™
kxk1 = |xi |, kxk2 = t |xi |2 , kxk∞ = m´x |xi | Ø i = 1, . . . , n .
a
i=1 i=1

Notar que para n = 1 las tres normas coinciden con el valor absoluto. El
hecho de que estas tres aplicaciones sean normas permite obtener un resultado
m´s general:
a

Teorema 1.5 Sean E1 , . . . , En espacios normados. Entonces las aplicaciones
siguientes son normas en E = E1 × · · · × En .
v
n u n
X uX © Ø ™
kxk1 = kxi k, kxk2 = t kxi k2 , kxk∞ = m´x kxi k Ø i = 1, . . . , n .
a
i=1 i=1

Adem´s se cumplen las relaciones: kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ .
a

´
Demostracion: Tenemos kxki = k(kx1 k, . . . , kxn k)ki para i = 1, 2, ∞.
Usando el teorema anterior se ve inmediatamente que son normas.
v v
u n uX
p uX u n X
kxk∞ = kxk2 ≤ t∞ kxi k2 = kxk2 ≤ t kxi k2 + 2 kxi k kxj k
i=1 i=1 i<j

v√ !2
u n
u X n
X
= t kxi k = kxk1 ≤ kxk∞ = nkxk∞ .
i=1 i=1

Notemos tambiń que las normas del teorema 1.4 coinciden con las construi-
e
das mediante este ultimo teorema a partir del valor absoluto en K.
´
Ø Ø
Ejercicio: Probar que en un espacio normado se cumple Økxk − kykØ ≤ kx − yk.

Como ya hemos comentado, desde un punto de vista topol´gico el unico
o ´
inter´s de las normas es que permiten definir la distancia entre dos puntos como
e
d(x, y) = kx − yk. Sin embargo, a efectos topol´gicos no es necesario que una
o
distancia est´ definida de este modo.
e

o 5

Definiciń 1.6 Una distancia o m´trica en un conjunto M es una aplicaciń
o e o
d : M × M −→ [0, +∞[ que cumpla las propiedades siguientes

a) d(x, y) = 0 si y s´lo si x = y,
o

b) d(x, y) = d(y, x),

c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),

para todos los x, y, z ∈ M .

Un espacio m´trico es un par (M, d) donde M es un conjunto y d una dis-
e
tancia en M . Como en el caso de espacios normados escribiremos M en lugar
de (M, d).
Todo espacio normado E es un espacio m´trico con la distancia definida
e
por d(x, y) = kx − yk. Las propiedades de la definiciń de norma implican
o
inmediatamente las de la definiciń de distancia. En particular en Kn tenemos
o
definidas tres distancias:
v
n u n
X uX
d1 (x, y) = |xi − yi |, d2 (x, y) = t (xi − yi )2 ,
i=1 i=1

© Ø ™
d∞ (x, y) = m´x |xi − yi | Ø 1 ≤ i ≤ n .
a
M´s en general, estas f´rmulas permiten definir distancias en cualquier pro-
a o
ducto finito de espacios m´tricos. La prueba del teorema siguiente es muy
e
sencilla a partir de los teoremas 1.4 y 1.5.

Teorema 1.7 Sean M1 , . . . , Mn espacios m´tricos. Sea M = M1 × · · · × Mn .
e
Entonces las aplicaciones d1 , d2 , d∞ : M × M −→ [0, +∞[ definidas como sigue
son distancias en M :
n
X
d1 (x, y) = d(xi , yi ),
i=1
v
u n
uX
d2 (x, y) = t d(xi , yi )2 ,
i=1

d∞ (x, y) = m´x{d(xi , yi ) | 1 ≤ i ≤ n}.
a

Adem´s se cumplen las relaciones d∞ (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ n d∞ (x, y).
a

Definiciń 1.8 Sea M un espacio m´trico, x ∈ M y ≤ > 0 (en estos casos
o e
sobreentenderemos ≤ ∈ R). Definimos

B≤ (x) = {y ∈ M | d(x, y) < ≤} (Bola abierta de centro x y radio ≤).
0
B≤ (x) = {y ∈ M | d(x, y) ≤ ≤} (Bola cerrada de centro x y radio ≤).

6 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

La figura muestra las bolas de centro (0, 0) y radio 1 para las tres m´tricas
e
que hemos definido en R2 .

d2 d1 d∞

Las bolas con otros centros son trasladadas de ´stas, y las bolas de otros
e
radios son homot´ticas. Las bolas abiertas se diferencian de las cerradas en que
e
las primeras no contienen los puntos del borde. El inter´s de las bolas reside
e
en que una bola de centro un punto P contiene todos los puntos de alrededor
de P , por pequeõ que sea su radio. Observar que el concepto de “puntos de
n
alrededor” es un tanto escurridizo: Segń lo que acabamos de decir, ningń
u u
punto en particular (distinto de P ) est´ alrededor de P , pues siempre podemos
a
tomar una bola suficientemente pequeã como para que deje fuera a dicho punto.
n
Esto significa que no podemos dar sentido a la afirmaciń “Q es un punto de
o
alrededor de P ”, pero lo importante es que s´ tiene sentido decir “El conjunto A
ı
contiene a todos los puntos de alrededor de P ”. Esto sucede cuando A contiene
una bola cualquiera de centro P , y entonces diremos que A es un entorno de P .
Aunque el concepto de entorno podr´ tomarse como concepto topol´gico b´sico,
ıa o a
lo cierto es que es m´s c´modo partir de un concepto “m´s regular”: diremos
a o a
que un conjunto es abierto si es un entorno de todos sus puntos. Los conjuntos
abiertos tienen las propiedades que recoge la definiciń siguiente:
o

Definiciń 1.9 Una topolog´ en un conjunto X es una familia T de subconjun-
o ıa
tos de X a cuyos elementos llamaremos abiertos, tal que cumpla las propiedades
siguientes:
a) ∅ y X son abiertos.
b) La uniń de cualquier familia de abiertos es un abierto.
o
c) La intersecciń de dos abiertos es un abierto.
o
Un espacio topol´gico es un par (X, T), donde X es un conjunto y T es una
o
topolog´ en X. En la prćtica escribiremos simplemente X en lugar de (X, T).
ıa a

Sea M un espacio m´trico. Diremos que un conjunto G ⊂ M es abierto si
e
para todo x ∈ G existe un ≤ > 0 tal que B≤ (x) ⊂ G. Es inmediato comprobar
que los conjuntos abiertos as´ definidos forman una topolog´ en M , a la que
ı ıa
llamaremos topolog´ inducida por la m´trica. En lo sucesivo consideraremos
ıa e
siempre a los espacios m´tricos como espacios topol´gicos con esta topolog´
e o ıa.
En el p´rrafo previo a la definiciń de topolog´ hemos definido “abierto”
a o ıa
como un conjunto que es entorno de todos sus puntos. Puesto que formalmente

o 7

hemos definido los espacios topol´gicos a partir del concepto de abierto, ahora
o
hemos de definir el concepto de entorno.
Si X es un espacio topol´gico, U ⊂ X y x ∈ U , diremos que U es un entorno
o
de x si existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂ U .
Es inmediato comprobar que en un espacio m´trico U es entorno de x si y
e
s´lo si existe un ≤ > 0 tal que B≤ (x) ⊂ U , es decir, si y s´lo si U contiene a
o o
todos los puntos de alrededor de x, tal y como hab´ ıamos afirmado.

Ejemplo El intervalo I = [0, 1], visto como subconjunto de R, es entorno de
todos sus puntos excepto de sus extremos 0 y 1, pues si 0 < x < 1 siempre
podemos tomar ≤ = m´ ın{x, 1 − x} y entonces B≤ (x) = ]x − ≤, x + ≤[ ⊂ I. En
cambio, I no contiene todos los puntos de alrededor de 1, pues toda bola de
centro 1 contiene puntos a la derecha de 1 y ninguno de ellos est´ en I. El caso
a
del 0 es similar. En particular I no es abierto.
El teorema siguiente recoge las propiedades b´sicas de los entornos. La
a
prueba es inmediata.

Teorema 1.10 Sea X un espacio topol´gico, x ∈ X y Ex la familia de todos
o
los entornos de x.

a) Un conjunto G ⊂ X es abierto si y s´lo si es un entorno de todos sus puntos.
o

b1) X ∈ Ex .

b2) Si U ∈ Ex y U ⊂ V ⊂ X entonces V ∈ Ex .

b3) Si U , V ∈ Ex entonces U ∩ V ∈ Ex .

Puesto que los abiertos pueden definirse a partir de los entornos, es obvio que
si dos topolog´ sobre un mismo conjunto tienen los mismos entornos entonces
ıas
son iguales. Las desigualdades del teorema 1.7 implican que una bola para
una de las tres distancias definidas en el producto M contiene otra bola del
mismo centro para cualquiera de las otras distancias. De aqu´ se sigue que
ı
un subconjunto de M es entorno de un punto para una distancia si y s´lo o
si lo es para las dem´s, y de aqu´ a su vez que las tres distancias definen la
a ı
misma topolog´ en el producto. En particular, las tres distancias que tenemos
ıa
definidas sobre Kn definen la misma topolog´ a la que llamaremos topolog´
ıa, ıa
usual o topolog´ eucl´
ıa ıdea en Kn .
´
Esta es una primera muestra del carćter auxiliar de las distancias en topo-
a
log´ Cuando queramos probar un resultado puramente topol´gico sobre Rn
ıa. o
podremos apoyarnos en la distancia que resulte m´s conveniente, sin que ello su-
a
ponga una p´rdida de generalidad. La distancia d2 es la distancia eucl´
e ıdea y por
lo tanto la m´s natural desde un punto de vista geom´trico, pero las distancias
a e
d1 y d∞ son formalmente m´s sencillas y a menudo resultan m´s adecuadas.
a a

8 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

Ejemplo Es fćil definir una distancia en Kn que induzca una topolog´ dis-
a ıa
tinta de la usual. De hecho, si X es un conjunto cualquiera podemos considerar
la distancia d : X × X −→ R dada por
Ω
1 si x 6= y,
d(x, y) =
0 si x = y

Es fćil ver que efectivamente es una distancia y para todo punto x se cumple
a
que B1 (x) = {x}, luego {x} es un entorno de x, luego es un abierto y, como
toda uniń de abiertos es abierta, de hecho todo subconjunto de X es abierto.
o
La m´trica d recibe el nombre de m´trica discreta y la topolog´ que induce es
e e ıa
la topolog´ discreta. Un espacio topol´gico cuya topolog´ sea la discreta es un
ıa o ıa
espacio discreto.
En un espacio discreto un punto no tiene m´s punto a su alrededor que ´l
a e
mismo. Esta topolog´ es la m´s adecuada para conjuntos como N o Z, pues,
ıa a
efectivamente, un n´mero entero no tiene alrededor a ningń otro.
u u
Las bolas abiertas de un espacio m´trico son abiertas. Esto es fćil de ver
e a
intuitivamente, pero el mero hecho de que las hayamos llamado as´ no justifica
ı
que lo sean:

Teorema 1.11 Las bolas abiertas de un espacio m´trico son conjuntos abiertos.
e

´
Demostracion: Sea B≤ (x) una bola abierta y sea y ∈ B≤ (x). Entonces
d(x, y) < ≤. Sea 0 < δ < ≤ − d(x, y). Basta probar que Bδ (y) ⊂ B≤ (x). Ahora
bien, si z ∈ Bδ (y), entonces d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < δ + d(x, y) < ≤, luego
en efecto z ∈ B≤ (x).

1.2 Bases y subbases
Hemos visto que la topolog´ en un espacio m´trico se define a partir de las
ıa e
bolas abiertas. El concepto de “bola abierta” no tiene sentido en un espacio
topol´gico arbitrario en el que no tengamos dada una distancia, sin embargo
o
hay otras familias de conjuntos que pueden representar un papel similar.

Definiciń 1.12 Sea X un espacio topol´gico. Diremos que una familia B de
o o
abiertos de X (a los que llamaremos abiertos b´sicos) es una base de X si para
a
todo abierto G de X y todo punto x ∈ G existe un abierto B ∈ B tal que
x ∈ B ⊂ G.
Si x ∈ X diremos que una familia E de entornos (abiertos) de x (a los que
llamaremos entornos b´sicos de x) es una base de entornos (abiertos) de x si
a
todo entorno de x contiene un elemento de E.

En estos t´rminos la propia definiciń de los abiertos m´tricos (junto con el
e o e
hecho de que las bolas abiertas son realmente conjuntos abiertos) prueba que
las bolas abiertas son una base de la topolog´ m´trica, y tambiń es claro que
ıa e e

1.2. Bases y subbases 9

las bolas abiertas de centro un punto x forman una base de entornos abiertos
de x. Pero estos conceptos son mucho m´s generales. Pensemos por ejemplo que
a
otras bases de un espacio m´trico son las bolas abiertas de radio menor que 1, las
e
bolas abiertas de radio racional, etc. Cualquier base determina completamente
la topolog´ y en cada ocasiń puede convenir trabajar con una base distinta.
ıa o

Teorema 1.13 Sea X un espacio topol´gico.
o
a) Una familia de abiertos B es una base de X si y s´lo si todo abierto de X
o
es uniń de abiertos de B.
o
b) Si B es una base de X y x ∈ X entonces Bx = {B ∈ B | x ∈ B} es una
base de entornos abiertos de X.
c) Si para cada punto xS X el conjunto Ex es una base de entornos abiertos
∈
de x entonces B = Ex es una base de X.
x∈X

´
Demostracion: a) Si B es una base de X y G es un abierto es claro que
G es la uniń de todos los abiertos de B contenidos en G, pues una inclusiń es
o o
obvia y si x ∈ G existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ G, luego x est´ en la uniń
a o
considerada. El rec´
ıproco es obvio.
b) Los elementos de Bx son obviamente entornos de x y si U es un entorno
de x entonces existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂U, y a su vez existe B ∈ B
tal que x ∈ B ⊂ G, luego B ∈ Bx y B ⊂ U . Esto prueba que Bx es una base
de entornos abiertos de x.
c) Si G es un abierto de X y x ∈ G, entonces G es un entorno de x, luego
existe un entorno b´sico B ∈ Ex tal que x ∈ B ⊂ G y ciertamente B ∈ B. Como
a
adem´s los elementos de B son abiertos, tenemos que B es una base de X.
a
Una forma habitual de definir una topolog´ en un conjunto es especificar una
ıa
base o una base de entornos abiertos de cada punto. Por ejemplo, la topolog´ ıa
m´trica puede definirse como la topolog´ que tiene por base a las bolas abiertas
e ıa
o como base de entornos de cada punto x a las bolas abiertas de centro x. No
obstante, para que una familia de conjuntos pueda ser base de una topolog´ ıa
ha de cumplir unas propiedades muy simples que es necesario comprobar. El
teorema siguiente da cuenta de ellas.

Teorema 1.14 Sea X un conjunto y B una familia de subconjuntos de X que
cumpla las propiedades siguientes:
S
a) X = B,
B∈B

b) Si U , V ∈ B y x ∈ U ∩ V entonces existe W ∈ B tal que x ∈ W ⊂ U ∩ V .
Entonces existe una unica topolog´ en X para la cual B es una base.
´ ıa

´
Demostracion: Definimos los abiertos de X como las uniones de elementos
de B. Basta comprobar que estos abiertos forman realmente una topolog´ pues
ıa,
ciertamente en tal caso B ser´ una base y la topolog´ ser´ unica.
a ıa a´

10 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

El conjunto vac´ es abierto trivialmente (o si se prefiere, por definiciń). El
ıo o
conjunto X es abierto por la propiedad a).
La uniń de abiertos es obviamente abierta (una uniń de uniones de ele-
o o
mentos de B es al fin y al cabo una uniń de elementos de B).
o
Sean G1 y G2 abiertos y supongamos que x ∈ G1 ∩G2 . Como G1 es uniń de o
elementos de B existe un U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ G1 . Similarmente x ∈ V ⊂ G2
con V ∈ B. Por la propiedad b) existe W ∈ B tal que x ∈ W ⊂ U ∩V ⊂ G1 ∩G2 .
As´ pues, x est´ en la uniń de los conjuntos W ∈ B tales que W ⊂ G1 ∩ G2 , y
ı a o
la otra inclusiń es obvia, luego G1 ∩ G2 es uniń de elementos de B.
o o
El teorema siguiente nos da las condiciones que hemos de comprobar para
definir una topolog´ a partir de una familia de bases de entornos abiertos.
ıa

Teorema 1.15 Sea X un conjunto y para cada x ∈ X sea Bx una familia no
vac´ de subconjuntos de X tal que:
ıa

a) Si U ∈ Bx , entonces x ∈ U .

b) Si U , V ∈ Bx , existe un W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V .

c) Si x ∈ U ∈ By , existe un V ∈ Bx tal que V ⊂ U .

Entonces existe una unica topolog´ para la cual cada Bx es una base de entornos
´ ıa
abiertos de x.
S
´
Demostracion: Sea B = Bx . Veamos que B cumple las condiciones
x∈X
del teorema anterior para ser base de una topolog´ en X. Por la condiciń a)
S ıa o
tenemos que X = B.
B∈B
Si U , V ∈ B y x ∈ U ∩ V , entonces U ∈ By y V ∈ Bz para ciertos y, z.
Existen U 0 , V 0 ∈ Bz tales que U 0 ⊂ U y V 0 ⊂ V (por la condiciń c). Existe
o
W ∈ Bx tal que W ⊂ U 0 ∩ V 0 (por la condiciń b). As´ x ∈ W ⊂ U ∩ V con
o ı
W ∈ B.
Por lo tanto B es la base de una topolog´ en X para la que los elementos
ıa
de cada Bx son abiertos y, en particular, entornos de x. Si A es un entorno de x
para dicha topolog´ existe un U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ A. Por definiciń de B,
ıa, o
existe un y ∈ X tal que U ∈ By , y por c) existe un V ∈ Bx tal que V ⊂ U ⊂ A.
Esto prueba que Bx es una base de entornos de x.
Las bases de entornos determinan los entornos y por tanto la topolog´ es
ıa,
decir, se da la unicidad.

Ejemplo Como aplicaciń de este teorema vamos a convertir en espacio to-
o
pol´gico al conjunto R = R ∪ {−∞, +∞}. Para ello definimos como base de
o
entornos abiertos de cada n´mero real x al conjunto los entornos abiertos de x
u
en R con la topolog´ usual, la base de entornos abiertos de +∞ est´ formada
ıa a
por los intervalos ]x, +∞], donde x var´ en R, y la base de entornos abiertos
ıa
de −∞ la forman los intervalos [−∞, x[, donde x var´ en R. Con esto estamos
ıa

1.3. Productos y subespacios 11

diciendo que un conjunto contiene a los alrededores de +∞ si contiene a todos
los n´meros reales a partir de uno dado, y an´logamente para −∞.
u a
Es fćil comprobar que las familias consideradas cumplen las propiedades
a
del teorema anterior, luego definen una topolog´ en R.
ıa
Teniendo en cuenta que hemos definido los entornos abiertos de los n´meros
u
reales como los entornos abiertos que ya tienen en la topolog´ usual, es inme-
ıa
diato que un subconjunto de R es abierto en la topolog´ usual de R si y s´lo si
ıa o
lo es en la topolog´ que hemos definido en R.
ıa
Hay un concepto an´logo a los de base y base de entornos que es menos
a
intuitivo, pero mucho m´s prćtico a la hora de definir topolog´ Se trata del
a a ıas.
concepto de subbase:

Definiciń 1.16 Sea X un espacio topol´gico. Una familia de abiertos S es
o o
una subbase de X si las intersecciones finitas de elementos de S forman una base
de X.

Por ejemplo, es fćil ver que los intervalos abiertos ]a, b[ forman una base de
a
R (son las bolas abiertas). Por consiguiente, los intervalos de la forma ]−∞, a[
y ]a, +∞[ forman una subbase de R, pues son abiertos y entre sus interseccio-
nes finitas se encuentran todos los intervalos ]a, b[ (notar adem´s que cualquier
a
familia de abiertos que contenga a una base es una base).
La ventaja de las subbases consiste en que una familia no ha de cumplir
ninguna propiedad en especial para ser subbase de una topolog´
ıa:

Teorema 1.17 Sea X un conjunto y S una familia de subconjuntos de X.
Entonces existe una unica topolog´ en X de la cual S es subbase.
´ ıa

´
Demostracion: Sea B la familia de las intersecciones finitas de elementos
T
de S. Entonces X = G ∈ B y obviamente la intersecciń de dos intersec-
o
G∈∅
ciones finitas de elementos de S es una intersecciń finita de elementos de S;
o
luego si U , V ∈ B tambiń U ∩ V ∈ B, de donde se sigue que B es la base de
e
una topolog´ en X, de la cual S es subbase. Claramente es unica, pues B es
ıa ´
base de cualquier topolog´ de la que S sea subbase.
ıa

1.3 Productos y subespacios
Hemos visto que el producto de una familia finita de espacios m´tricos es
e
de nuevo un espacio m´trico de forma natural (o mejor dicho, de tres formas
e
distintas pero equivalentes desde un punto de vista topol´gico). Ahora veremos
o
que la topolog´ del producto se puede definir directamente a partir de las
ıa
topolog´ de los factores sin necesidad de considerar las distancias. M´s ań,
ıas a u
podemos definir el producto de cualquier familia de espacios topol´gicos, no
o
necesariamente finita.

12 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

Definiciń 1.18 Sean {Xi }i∈I espacios topol´gicos. Consideremos su pro-
o Q o
ducto cartesiano X = Xi y las proyecciones pi : X −→ Xi que asignan
i∈I
a cada punto su coordenada i-´sima. Llamaremos topolog´ producto en X a la
e ıa
que tiene por subbase a los conjuntos p−1 [G], donde i ∈ I y G es abierto en Xi .
i

T Una base de la topolog´ producto la forman los conjuntos de la forma
ıa
p−1 [Gi ], donde F es un subconjunto finito de I y Gi es abierto en Xi .
i
i∈F Q
Equivalentemente, la base est´ formada por los conjuntos
a Gi , donde cada
i∈I
Gi es abierto en Xi y Gi = Xi salvo para un n´mero finito Q ´
u de ındices. Al
conjunto de estos ´
ındices se le llama soporte del abierto b´sico
a Gi .
i∈I
Si el n´mero de factores es finito la restricciń se vuelve vac´ de modo que
u o ıa,
un abierto b´sico en un producto X1 × · · · × Xn es simplemente un conjunto de
a
la forma G1 × · · · × Gn , donde cada Gi es abierto en Xi .
En lo sucesivo “casi todo i” querr´ decir “todo ´
a ındice i salvo un n´mero
u
finito de ellos”.

Teorema 1.19 Sean {Xi }i∈I espacios topol´gicos, para cada i sea Bi una base
o
Q
de Xi . Entonces los conjuntos de la forma Gi , donde cada Gi est´ en Bi o
a
i∈I Q
es Xi (y casi todos son Xi ) forman una base de Xi .
i∈I

´
Demostracion: Consideremos la topolog´ T en el producto que tiene
ıa
por subbase a los conjuntos p−1 [Gi ] con Gi en Bi (y, por consiguiente, tieen
i
por base a los abiertos del enunciado). Como ciertamente estos conjuntos son
abiertos para la topolog´ producto, tenemos que todo abierto de T lo es de
ıa
la topolog´ producto. Rec´
ıa ıprocamente, un abierto subb´sico de la topolog´
a S ıa
producto es p−1 [Gi ], con Gi abierto en Xi . Entonces Gi =
i B, donde cada
SB∈Ai
Ai es un subconjunto de Bi . Por lo tanto p−1 [Gi ] =
i p−1 [B] es abierto
i
B∈Ai
de T. Por consiguiente todo abierto de la topolog´ producto lo es de T y as´
ıa ı
ambas topolog´ coinciden.
ıas
En lo sucesivo, a pesar de que en el producto se puedan considerar otras
bases, cuando digamos “abiertos b´sicos” nos referiremos a los abiertos indicados
a
en el teorema anterior tomando como bases de los factores las propias topolog´ıas
salvo que se est´ considerando alguna base en concreto.
e
Tal y como anunci´bamos, el producto de espacios topol´gicos generaliza al
a o
producto de espacios m´tricos (o de espacios normados). El teorema siguiente
e
lo prueba.

Teorema 1.20 Si M1 , . . . , Mn son espacios m´tricos, entonces la topolog´ in-
e ıa
ducida por las m´tricas de 1.7 en M = M1 × · · · × Mn es la topolog´ producto.
e ıa

´
Demostracion: Como las tres m´tricas inducen la misma topolog´ s´lo
e ıa o
es necesario considerar una de ellas, pero para la m´trica d∞ se cumple B≤ (x) =
e

1.3. Productos y subespacios 13

B≤ (x1 )×· · ·×B≤ (xn ), luego la base inducida por la m´trica es base de la topolog´
e ıa
producto.
La definiciń de topolog´ producto es sin duda razonable para un n´mero
o ıa u
finito de factores. Sin embargo cuando tenemos infinitos factores hemos exigido
una condicińQ finitud que no hemos justificado. En principio podr´
o de Q ıamos
considerar en Xi la topolog´ que tiene por base a los productos
ıa Gi con Gi
i∈I i∈I
abierto en Xi (sin ninguna restricciń de finitud). Ciertamente estos conjuntos
o
son base de una topolog´ a la que se le llama topolog´ de cajas, y el teorema
ıa ıa
siguiente muestra que no coincide con la topolog´ producto que hemos definido.
ıa
La topolog´ producto resulta ser mucho m´s util que la topolog´ de cajas.
ıa a ´ ıa
Teorema 1.21 Sea {Xi }i∈I una familia de espacios topol´gicos. Los unicos
Q Q o ´
abiertos en Xi de la forma Gi 6= ∅ son los abiertos b´sicos, es decir, los
a
i∈I i∈I
que adem´s cumplen que cada Gi es abierto y Gi = Xi para casi todo i.
a
Q
´
Demostracion: Supongamos que Gi es un abierto no vac´ıo. Con-
Q i∈I Q
sideremos un punto x ∈ Gi . Existir´ un abierto b´sico
a a Hi tal que
Q Q i∈I i∈I
x∈ Hi ⊂ Gi , luego para cada ´
ındice i se cumplir´ xi ∈ Hi ⊂ Gi , y como
a
i∈I i∈I
casi todo Hi es igual a Xi , tenemos que Gi = Xi para casi todo i. Adem´s tene-
a
mos que Gi es un entorno de xi , pero dado cualquier elemento a ∈ Gi siempre
Q
podemos formar un x ∈ Gi tal que xi = a, luego en realidad tenemos que Gi
i∈I
es un entorno de todos sus puntos, o sea, es abierto.
Nos ocupamos ahora de los subespacios de un espacio topol´gico. Es evidente
o
que todo subconjunto N de un espacio m´trico M es tambiń un espacio m´trico
e e e
con la misma distancia restringida a N ×N . Por lo tanto tenemos una topolog´ıa
en M y otra en N . Vamos a ver que podemos obtener la topolog´ de N ıa
directamente a partir de la de M , sin pasar por la m´trica.
e
Teorema 1.22 Sea X un espacio topol´gico (con topolog´ T) y A ⊂ X. De-
o ıa
finimos TA = {G ∩ A | G ∈ T}. Entonces TA es una topolog´ en A llamada
ıa
topolog´ relativa a X (o topolog´ inducida por X) en A. En lo sucesivo so-
ıa ıa
breentenderemos siempre que la topolog´ de un subconjunto de un espacio X es
ıa
la topolog´ relativa.
ıa
Demostracion: A = X ∩ A ∈ TA , ∅ = ∅ ∩ A ∈ TA .
´
Sea C ⊂ TA . Para cada G ∈ C sea UG = {U ∈ T | U ∩ A = G} 6= ∅ y sea
VG la uniń de todos los abiertos de UG .
o
De este modo VG es un abierto en X y VG ∩ A = G.
[ [ [
G= VG ∩ A, y VG ∈ T, luego G ∈ TA .
G∈C G∈C G∈C

Si U , V ∈ TA , U = U ∩ A y V = V 0 ∩ A con U 0 , V 0 ∈ T. Entonces
0

U ∩ V = U 0 ∩ V 0 ∩ A ∈ TA , pues U 0 ∩ V 0 ∈ T. As´ TA es una topolog´ en A.
ı ıa

14 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

Ejemplo Consideremos I = [0, 1] ⊂ R. Resulta que ]1/2, 1] es abierto en I,
pues ]1/2, 1] = ]1/2, 2[ ∩ I y ]1/2, 2[ es abierto en R. Sin embargo ]1/2, 1] no es
abierto en R porque no es entorno de 1. Intuitivamente, ]1/2, 1] no contiene a
todos los puntos de alrededor de 1 en R (faltan los que estń a la derecha de 1),
a
pero s´ contiene a todos los puntos de alrededor de 1 en I.
ı
La relaciń entre espacios y subespacios viene perfilada por los teoremas
o
siguientes. El primero garantiza que la topolog´ relativa no depende del espacio
ıa
desde el que relativicemos.
Teorema 1.23 Si X es un espacio topol´gico (con topolog´ T) y A ⊂ B ⊂ X,
o ıa
entonces TA = (TB )A .
´
Demostracion: Si U es abierto en TA , entonces U = V ∩ A con V ∈ T,
luego V ∩ B ∈ TB y U = V ∩ A = (V ∩ B) ∩ A ∈ (TB )A .
Si U ∈ (TB )A , entonces U = V ∩ A con V ∈ TB , luego V = W ∩ B con
W ∈ T. As´ pues, U = W ∩ B ∩ A = W ∩ A ∈ TA . Por lo tanto TA = (TB )A .
ı

Teorema 1.24 Si B es una base de un espacio X y A ⊂ X, entonces el con-
junto {B ∩ A | B ∈ B} es una base de A.
´
Demostracion: Sea U un abierto en A y x ∈ U . Existe un V abierto
en X tal que U = V ∩ A. Existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ V , luego
x ∈ B ∩ A ⊂ V ∩ A = U . Por lo tanto la familia referida es base de A.
Similarmente se demuestra:
Teorema 1.25 Si Bx es una base de entornos (abiertos) de un punto x de un
espacio X y x ∈ A ⊂ X, entonces {B ∩ A | B ∈ Bx } es una base de entornos
(abiertos) de x en A.
Teorema 1.26 Sea M un espacio m´trico y sea A ⊂ M . Entonces d0 = d|A×A
e
es una distancia en A y la topolog´ que induce es la topolog´ relativa.
ıa ıa
´
Demostracion: Una base para la topolog´ inducida por la m´trica de A
ıa e
ser´ la formada por las bolas
ıa
0
B≤ (x) = {a ∈ A | d0 (x, a) < ≤} = {a ∈ X | d(x, a) < ≤} ∩ A = B≤ (x) ∩ A,
d d

pero ´stas son una base para la topolog´ relativa por el teorema 1.24.
e ıa

Teorema 1.27 Sea {Xi }i∈I una familia de espacios topol´gicos y para cada i
Q oQ
sea Yi ⊂ Xi . Entonces la topolog´ inducida en
ıa Yi por Xi es la misma
i∈I i∈I
que la topolog´ producto de los {Yi }i∈I .
ıa
(La base obtenida por el teorema 1.24 a partir de la base usual de la topolog´
ıa
producto es claramente la base usual de la topolog´ producto.)
ıa
Ejercicio: Probar que la topolog´ que hemos definido en R induce en R la topolog´
ıa ıa
eucl´
ıdea.

1.4. Algunos conceptos topol´gicos
o 15

1.4 Algunos conceptos topol´gicos
o
Dedicamos esta secciń a desarrollar el lenguaje topol´gico, es decir, a intro-
o o
ducir las caracter´
ısticas de un espacio y sus subconjuntos que pueden definirse
a partir de su topolog´ Hasta ahora hemos visto unicamente los conceptos de
ıa. ´
abierto y entorno. Otro concepto importante es el dual conjuntista de “abierto”:

Definiciń 1.28 Diremos que un subconjunto de un espacio topol´gico es ce-
o o
rrado si su complementario es abierto.

Por ejemplo, un semiplano (sin su recta frontera) es un conjunto abierto,
mientras que un semiplano con su frontera es cerrado, pues su complementario
es el semiplano opuesto sin su borde, luego es abierto. Pronto veremos que la
diferencia entre los conjuntos abiertos y los cerrados es precisamente que los
primeros no contienen a los puntos de su borde y los segundos contienen todos
los puntos de su borde. En importante notar que un conjunto no tiene por qu´ e
ser ni abierto ni cerrado. Baste pensar en el intervalo [0, 1[.
Ejercicio: Sea X = [0, 1] ∪ ]3, 4]. Probar que ]3, 4] es a la vez abierto y cerrado en X.
Las propiedades de los cerrados se deducen inmediatamente de las de los
abiertos:

Teorema 1.29 Sea X un espacio topol´gico. Entonces:
o
a) ∅ y X son cerrados.
b) La intersecciń de cualquier familia de cerrados es un cerrado.
o
c) La uniń de dos cerrados es un cerrado.
o

Puesto que la uniń de abiertos es abierta, al unir todos los abiertos con-
o
tenidos en un conjunto dado obtenemos el mayor abierto contenido en ´l. Si-
e
milarmente, al intersecar todos los cerrados que contienen a un conjunto dado
obtenemos el menor cerrado que lo contiene:

Definiciń 1.30 Sea X un espacio topol´gico. Llamaremos interior de un
o o
conjunto A ⊂ X al mayor abierto contenido en A. Lo representaremos por
◦
int A o A. Llamaremos clausura de A al menor cerrado que contiene a A. Lo
◦
representaremos por cl A o A. Los puntos de A se llaman puntos interiores de
A, mientras que los de A se llaman puntos adherentes de A.
◦
As´ pues, para todo conjunto A tenemos que A⊂ A ⊂ A. El concepto de
ı
punto interior es claro: un punto x es interior a un conjunto A si y s´lo si A es
o
un entorno de x. Por ejemplo, en un semiplano cerrado, los puntos interiores
son los que no estń en el borde. El teorema siguiente nos caracteriza los puntos
a
adherentes.

Teorema 1.31 Sea X un espacio topol´gico y A un subconjunto de X. Un
o
punto x es adherente a A si y s´lo si todo entorno de x corta a A.
o

16 Cap´
ıtulo 1. Topolog´
ıa

´
Demostracion: Supongamos que x es adherente a A. Sea U un entorno
de x. Existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂ U . Basta probar que G ∩ A 6= ∅.
Ahora bien, en caso contrario X G ser´ un cerrado que contiene a A, luego
ıa
A ⊂ X G, mientras que x ∈ A ∩ G.
Rec´ıprocamente, si x tiene esta propiedad entonces x ∈ A, ya que de lo
contrario X A ser´ un entorno de x que no corta a A.
ıa
Vemos, pues, que, como su nombre indica, los puntos adherentes a un con-
junto A son los que “estń pegados” a A, en el sentido de que tienen alrededor
a
puntos de A. Por ejemplo, es fćil ver que los puntos adherentes a un semi-
a
plano abierto son sus propios puntos m´s los de su borde. Veamos ahora que el
a
concepto de borde corresponde a una nociń topol´gica general:
o o

Definiciń 1.32 Sea X un espacio topol´gico y A ⊂ X. Llamaremos frontera
o o
de A al conjunto ∂A = A ∩ X A.

As´ los puntos frontera de un conjunto son aquellos que tienen alrededor
ı,
puntos que estń en A y puntos que no estń en A. Esto es claramente una
a a
definiciń general del “borde” de un conjunto. Por ejemplo, la frontera de un
o
trińgulo la forman los puntos de sus lados.
a

Teorema 1.33 Sea X un espacio topol´gico. Se cumple:
o
◦ ◦
a) Si A ⊂ X entonces A⊂ A ⊂ A, adem´s A es abierto y A es cerrado.
a
◦
b) Si A ⊂ B ⊂ X y A es abierto entonces A ⊂B .

c) Si A ⊂ B ⊂ X y B es cerrado entonces A ⊂ B.
◦ ◦
d) Si A ⊂ B ⊂ X entonces A⊂B y A ⊂ B.

e) Si A, B ⊂ X, entonces int (A ∩ B) = int A ∩ int B, A ∪ B = A ∪ B.
◦
f ) A ⊂ X es abierto si y s´lo si A =A, y es cerrado si y s´lo si A = A.
o o
B X
g) Si A ⊂ B ⊂ X, entonces A = A ∩ B.

h) Si A ⊂ X, entonces int (X A) = X cl A y cl (X A) = X int A.

´
Demostracion: Muchas de estas propiedades son inmediatas. Probaremos
s´lo algunas.
o
e) Claramente A ∪ B ⊂ A ∪ B, y el segundo conjunto es cerrado, luego
A ∪ B ⊂ A ∪ B. Por otra parte es claro que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B, luego
tenemos la otra inclusiń. La prueba con interiores es idńtica.
o e
g) Observemos en primer lugar que los cerrados de B son exactamente las
intersecciones con B de los cerrados de X. En efecto, si C es cerrado en X
entonces X C es abierto en X, luego B ∩ (X C) = B C es abierto en B,
luego B (B C) = B ∩ C es cerrado en B. El rec´ ıproco es similar.

Analisis

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Similar a Analisis

Similar a Analisis (20)

Más de Newton Huamaní castro

Más de Newton Huamaní castro (20)

Analisis