1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

2. NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN
LÍMITE
ACERCAMIENTO
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x
se aproxima a un valor a, podemos
escribir:
lim f(x) = L
x→a

3. LÍMITES
 lim
x →a +
f(x) = L
lim f(x) = 
x→a  lim
x →a −
f(x) = L
Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y vale L

4. REGLAS PARA CALCULAR
LÍMITES
lim[ f(x) ± g(x)] = lim[ f(x)] ± lim[ g(x)]
x →a x →a x →a
lim[ f(x).g(x)] = lim[ f(x)]. lim[ g(x)]
x →a x →a x →a
lim[ f(x)/g(x)] = lim[ f(x)] / lim[ g(x)]
x →a x →a x →a
lim[K.g(x)] = K lim[ g(x)]
[ ]
x →a x →a
lim[ f(x)] = lim f(x)
n n
x →a x →a

5. EJERCICIO 1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de y
x=1?
2
1
x
1 5
Lim f(x) no existe
x 1

6. EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
y
x=1?
3
2
x
1 5
Lim f(x) = L =2
x 1

7. EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de y
x=1?
2
1
x
1 5
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1

8. EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
f (x)
5
3.5
3
x
-3 -2 3
Encuentre:
a) lim f(x)
x→3
−
b) lim f(x)
x→3
c) lim f(x) d) lim f(x)
x→0 x→2
−

9. PASOS A SEGUIR PARA EL
CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:
 Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2:
 INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos
notables, racionalización, sustitución de alguna
identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

10. PROBLEMA 1
Evalúe los siguientes límites:
x +4 −2
1) lim , Rpta : 1/4
x →0 x
1+ x − 1− x
2) lim , Rpta : 1
x →0 x
1/3 1/3
 x + x−2 
2
 −3  −3
3) lim  3 x − 4x 2 + 3x  ; Rpta :  2  = 2

3
x →1    
x 2 + 2, si x ≤ 3

4) lim f(x); donde f(x) = 
x →3 1/ x + 1, si x > 3


11. PROBLEMA 2
Utilice las reglas para calcular límites para
determinar:
x4 −1 x −2
1) lim 2) lim
x →1 x - 1 x →2 4 - x2
x −b − a −b
3) lim 2 2
, a >b
x →a x −a
4x − x 2
4) lim
x →4 2 − x
2x − 4, x ≤ 0
5) lim f(x); f(x) = 
x →0 x + 1, x > 0

12. PROBLEMA 3
 Utilice propiedades para hallar los
siguientes límites:
2x (x − 1)
a. lim−
x →1 x −1
x+2
b. lim − (x + 3)
x →−2 (x + 2)

13. LÍMITES INFINITOS
 Utilice propiedades para hallar los
siguientes límites:
2x (x − 1)
a. lim−
x →1 x −1
x+2
b. lim − (x + 3)
x →−2 (x + 2)

14. PROBLEMA 4
 Con la información que aparece a
continuación, construya el gráfico de
F(x):
lim+ F(x) = 4; lim− F(x) = 2
x →3 x →3
F(3) = 3;F( −2) = 1

15. PROBLEMA 5
 Con la información que aparece a
continuación, construya el gráfico de
F(x):
lim+ F(x) = -1; lim− F(x) = 1
x →0 x →0
lim+ F(x) = 1; lim− F(x) = 0
x →2 x →2
F(2) = 1;F(0) indefinida

16. TEOREMA DEL SANDWICH
 En caso de que se cumpla la siguiente
relación (para toda x perteneciente a
algún intervalo abierto que contenga a
c): g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
 y además se cumple: g(x) = lim h(x) = L
lim
x→ c x→ c
lim f(x) =L
 Entonces: x→c

17. TEOREMA DEL SANDWICH
y
h(x)
f(x)
L
g(x)
x
c

18. PROBLEMA
 1. Si 2 − x 2 ≤ f(x) ≤ 2cosx, para toda x
Halle lim f(x)
x →0
 2. Dada la función
g(x)=xsen(1/x).
Estime : lim g(x)
x→0
(trabaje gráficamente)

19. PROBLEMA
A partir de la gráfica de la función:
f(x) = x cos( 1
2
3 )
x
Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:
lim f(x)
x→0
*Confirma tu resultado con una demostración

20. PROBLEMA
Analice el comportamiento de la función dada
cerca de x = - 4
5
f(x) =
(x + 4)2
Esta función muestra un comportamiento
consistente alrededor de x = - 4,
se puede decir que este límite vale ∞
5 5
lim = lim−
x →−4 (x + 4)2 x →−4 (x + 4)
2
5
= lim+ = +∞
x →−4 (x + 4)
2

21. Gráficamente...
y
5/(x+4)^2
16
14
12
10
8
6
4
2
0 x
-8 -6 -4 -2 0 2 4
x