Presentación de Redes de alcantarillado y agua potable
Modelo de Kronig Peney y Bandas
1. Modelo de Bandas Parte 1:
Método de Krönig-Penney para
potenciales periódicos
Melissa Yaqueno -
Andrés Escárraga
Física del Estado Sólido
Dr Héctor Sanchez
Escuela de Ingeniería de Materiales
Universidad del Valle
2. Electrones libres en gas de Fermi
Los núcleos están
ionizados en el metal
porque los electrones
exteriores (valencia)
están “ desligados” y
fluyen en una nube
electrónica entre si.
+ + + + +
Esquema de cristal monovalente. Nube
electrónica.
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
3. Donde , para condiciones de limite periódico de
un cubo de lado L
)rk(
)r(
i
e
Modelo de electrones Libres
El principio de Exclusión de Pauli, prohíbe ocupar un
nivel de energía, por más de dos electrones con
diferente Spin.
El nivel máximo de energía es llamado Energía de
Fermi.
Estas son las energías permitidas.
El comportamiento libres de los electrones se describen por:
4. Origen del Band Gap
Band Gap o Brecha de energía
)rk(
)r(
i
e
Cada punto representan las
Energías permitidas para k ,
depende de la densidad electrónica
E versus vector de onda k para un electrón en una red de parámetro a.
Valor positivo de k indica que electrón se mueve en dirección positiva de x y viceversa.
Los estados de energía del electrón libre se ven perturbados por la influencia de los
iones, se convierte en un electrón casi libre entre dos puntos de la red.
El comportamiento de los electrones
YA NO es el mismo.
???)r(
5. Funciones de onda de un electrón en un potencial
periódico
Longitud de ondas de electrones es mucho mayor que el parámetro a, así que
las funciones de onda y las bandas de energía son similares a cuando U=0.
01 U
)( tkxi
Ae
m
k
E
2
22
ak
U
01
Funciones de onda son ondas planas y
bandas de energía son parabólicas
ak
U
01 Las ondas de los electrones son retrodispersados así que se forman ondas
estacionarias:
tiikxikxtkxitkxi
eeeAeeC
2
1)()(
ak
U
01 Longitudes de onda de electrones se aproximan al parámetro “a”, así que
las ondas se empiezan a retrodispersar. )()( tkxitkxi
BeAe
AB
6. Origen del Band Gap
axiikx
axiikx
ee
ee
/
2
/
1
a
x
ee axiaxi
cos2//
21
/ /
1 2 2 sini x a i x a x
e e i
a
Las funciones de onda del electrón en k=±𝑛π/𝑎, no son ondas viajera tipo exp(iπx/a) de
electrones libres, donde hay igual número de ondas que viajan a la derecha e izquierda.
Debido al efecto de la reflexión de Bragg, las ondas que viajan a la derecha son
reflejadas a la izquierda y viceversa.
Entonces la onda no viaja ni a la derecha ni a la izquierda sino que se mantiene
estacionaria.
Ondas viajeras electrón
libre
7. Origen del Band gap
Sinusoidal
CosenoidalPrimer zona de Brillouin
/ /
1 2 2 sini x a i x a x
e e i
a
a
x
ee axiaxi
cos2//
21
8. Un gap de energía Eg ocurre cuando el vector de onda es k=±π/a (primer zona
de Brilliouin), y en adelante otros Eg ocurren para k=±𝑛π/a, donde las ondas
son reflejadas. Donde G es un vector de la red reciproca.
Ley de Bragg
Es decir con k=±𝒏π/a
se satisface la ley de
Bragg.
10. LAS CURVAS SON LA ENERGÍA SEGÚN COULOMB Y LAS RECTAS SON LA
ENERGÍA SEGÚN BOHR
Consideraciones
El potencial de interacción con los iones es periódico
La energía potencial del cristal es periódica
La interacción con los núcleos atómicos es de corto alcance. Está decae muy
rápidamente al alejarse
Energía potencial del
electrón
REPRESENTACION DEL CAMPO DE ENERGÍA POTENCIAL DEL
CRISTAL UNIDIMENSIONAL
11. Densidad electrónica en una red periódica
Para una onda viajera tenemos que la densidad de probabilidad es p=
exp(-ikx) *exp(ikx) = 1, es decir constante. En un potencial periódico la densidad de
probabilidad de carga electrónica no es constante para la combinación de sus dos
ondas planas.
)rk(
)r(
i
e
La función de onda ψ(+) agrupa la carga electrónica (negativa) bajo la influencia de los
núcleos de iones positivos, donde la energía potencial del electrón es el menor.
ψ(-) agrupa la carga electrónica lejos de la influencia de los iones, donde la E potencial
del electrón es mayor.
Esta diferencia de energía entre estos dos estados se conoce como Eg, gap de energía.
12. Teorema de Bloch y funciones de ondas
En 1928 Bloch demostró que la solución de la ecuación
de Schrödinger para electrones en un potencial
periódico es el producto de una onda plana por una
función que represente la periodicidad de la red.
ErU
m
)(
2
2
2
)()( rUTrU
Donde la energía potencial es
invariante baja un vector de
traslación de red T
rki
kk
erur
)()(
“Función de onda de Bloch”
)()( ruTru kk
donde
cwbvauT
y
Felix
Bloch
1905-1983
14. El Modelo Krönig-Penney
En 1931 Krönig y Penney aproximaron el potencial experimentado por los electrones en
una red unidimensional como una sucesión de pozos de potencial finitos.
Tamaño del pozo se debe al espaciamiento de los átomos en la red. Entre ellos se
encuentran barreras de potencial, que representan la energía potencial V0 que un electrón
debe ganar para salir de la influencia del átomo o ion positivo.
De esta manera, encontraron posible realizar un modelo matemático del
comportamiento de los electrones (movimiento) dentro de un cristal aproximado
pero útil para describir las características físicas del comportamiento cuántico de
los electrones en redes periódicas.
18. Referencias
• Introduction to Solid State Physics. Charles Kittel
• Física Cuantica. Eisberg-Resnick
• Clases de State Solid Chemistry. MIT Opencourse ware
