Diseño de compensadores

Diseño de compensadores
1

 Objetivo
 Conocer y aplicar una técnica para el
diseño de compensadores con el uso de las
características de la respuesta a la
frecuencia.

 Tomada del libro de K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna

Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany
Rodríguez García

2

 Se deben considerar primeramente las
especificaciones de diseño y compararlas
con las especificaciones que tiene el sistema
original. Esto permite determinar el tipo de
compensador para cada caso.

Rodríguez García

3

 Al final del diseño se podrán calcular los

valores de las resistencias y capacitancias del
circuito con amplificadores operacionales.

Rodríguez García

4

 Se toman en consideración las especificaciones
dadas.
En frecuencia
Características
En Tiempo del Sistema

• Márgenes de
ganancia y
• Factor de fase.
• Sobrepaso amortiguamie
nto relativo • Pico de
• Tiempos resonancia.
• Frecuencias
• Ancho de
banda

Rodríguez García

5

Compensador en serie

E(s) C(s)
Gc(s) G(s)

E(s) C(s)
G1(s)

Rodríguez García

Compensador de Adelanto de Fase
6

Se toma la función de transferencia
ecuación 1

1
Ts + 1 s+
GC (s ) = KCα = KC T
αTs + 1 s+
1 Ec 1

αT
Kc es la ganancia
(1/T) y (1/αT )cero y polo respectivamente
Recordando que (1/T) < (1/αT ) y para esto α < 1

Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García

7

Se sustituye:
K Cα = K Ec. 2

y la ec. 1 se reescribe como
Ts + 1
GC (s ) = K Ec. 3
αTs + 1

Rodríguez García

8

La F. T. L. A. del sistema compensado
queda como la ec. 4

Ts + 1
GC (s )G (s ) = K G (s )
αTs + 1 Ec. 4

Donde
Gc(s) es la f. t. del compensador.
G(s) es la f. t. de la planta a compensar.

Rodríguez García

9

 Recordando que éste no modifica el ess,

entonces las características a cambiar
serán las que se relacionan
directamente con el transitorio. Sin
embargo es posible abatir el error
aumentando o disminuyendo la ganancia
del sistema.


10

 Para modificar el error agregando ganancia se

debe tener en cuenta el tipo de sistema. Y
entonces se utiliza la constante de error de
estático correspondiente (KP, KV, Ka).

Una vez definido esto se usan las ecuaciones
siguientes.


11

K P = lim s →0 G1 (s ) = lim s →0 KG (s )

KV = lim s →0 sG1 (s ) = lim s →0 sKG (s )

K a = lim s →0 s G1 (s ) = lim s →0 s KG (s )
2 2


12

 Una vez que se tienen las
características en el dominio de la
frecuencia y se ha modificado la
ganancia del sistema (en su caso), se
procede de la siguiente manera:


13

2. Se construyen los diagramas de Bode del
sistema con la ganancia modificada.

G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 5

3. Se calcula el ángulo de adelanto de fase
necesario para cumplir con la especificación.

Φ m ( jω m ) = Φ mdiseño − Φ m1 Ec. 6


14

4. Se determina el factor de atenuación α usando la
ec. 7.
1−α
senΦ m = Ec. 7
1+α

5. Calcular la ganancia a atenuar utilizando la ec. 8:

G1 ( jω ) = −20 log
1 Ec. 8
α


15

6. En el diagrama de Bode obtenido en el punto 2, se
localiza dicha ganancia y se ubica la frecuencia a
la cual se produce. Esta frecuencia será la nueva
frecuencia de cruce de ganancia ( ωm ).

Esta frecuencia permitirá definir el valor de las
singularidades del compensador.


16

7. Determine la posición del cero y del polo del
compensador.
1 1 1 ωm
ωm = ωz = = ωm α ωp = =
αT T αT α

8. Se ajusta la ganancia del compensador.

K Cα = K


17

9. Se arma la función de transferencia del
compensador de acuerdo a la ec. 1.

10. Verificar si el sistema compensado cumple las
especificaciones.

11. Se calculan los valores de las resistencias y
capacitancias del circuito.


18

R4 R2 R1C1s + 1
Gc ( s ) =
R3 R1 R2C2 s + 1


Compensador de Atraso de Fase
19

Se toma la función de transferencia
ecuación 1
1
s+
Ts + 1
GC (s ) = K C β = KC T β >1 Ec. 1
βTs + 1 s+
1
βT
Observe la semejanza con el de adelanto pero cambia la
condición.
Kc es la ganancia
(1/T) y (1/βT )cero y polo respectivamente
Recordando que (1/T) < (1/βT ) y para esto β > 1

Rodríguez García

20

Definiendo:
KC β = K Ec. 2

La ec. 1 se reescribe como
Ts + 1
GC (s ) = K Ec. 3
βTs + 1

Rodríguez García

21

La F. T. L.A. del sistema compensado es

Ts + 1
GC (s )G (s ) = K G (s )
βTs + 1 Ec. 4

Ts + 1 Ts + 1
GC (s )G (s ) = KG (s ) = G1 (s )
βTs + 1 βTs + 1
Donde
Gc(s) es la f. t. del compensador.
G(s) es la f. t. de la planta a compensar.

Rodríguez García

22

 Al igual que el compensador de

adelanto, será necesario iniciar con
la modificación de la ganancia para
disminuir el error en estado estable.
Para ello referirse a la sección
correspondiente.

Rodríguez García

23

2. Construye los diagramas de Bode del sistema
con la ganancia modificada.

G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 5

3. De la especificación calcula el ángulo que se
requiere para cumplir.

θ1 (ωm ) = −180° + Φ m Ec. 6


24

4. En el diagrama de Bode identifica este ángulo y
determina la frecuencia donde se produce. Esta
frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de

ganancia (ωm ).

5. Determina cuanto vale la magnitud en ese valor
de frecuencia.


25

6. Determine el factor de atenuación β. Para ello se

localiza la magnitud en ωm.

G1 ( jωm ) = 20 log β Ec. 7


26

7. Determine la posición del cero y del polo del
compensador.
ωm ωm ωz
≤ ωz ≤ ωp =
10 2 β
8. Se obtiene la ganancia del compensador.

K Cα = K


27


especificaciones.



28

R4 R2 R1C1s + 1
Gc ( s ) =
R3 R1 R2C2 s + 1


Compensador de Atraso-Adelanto
29

Se toma la función de
transferencia de la ecuación 1

1 1
s+ s+
GC (s ) = K C
T1 T2
α <1y β >1 Ec 1
1 1
s+ s+
αT1 βT2
Kc es la ganancia
(1/T) y (1/βT) cero y polo respectivamente de atraso
(1/T) y (1/αT) cero y polo respectivamente de adelanto


Compensador de Atraso-Adelanto de Fase
30

 Al igual que el compensador de

adelanto, será necesario iniciar con
la modificación de la ganancia para
disminuir el error en estado estable.
Para ello referirse a la sección
correspondiente.

Rodríguez García

31

2. Dibuje los diagramas de Bode del sistema con la
ganancia modificada.

G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 2


32

3. Se diseña de la parte de atraso:

a. Se calcula el ángulo necesario para cumplir la
especificación de margen de fase

Φ m ( jω m ) = Φ mdiseño − Φ m1 Ec. 3


33

b. Se busca en los D. B. la frecuencia en que se
produce la fase. Esta frecuencia será la nueva
frecuencia de cruce de ganancia (ωm).

c. Se obtiene el valor del factor de atenuación β,
utilizando la ec. 4:
β −1
senΦ m =
β +1
Ec. 4


34

d. Determine la posición del cero y del polo del
compensador de acuerdo al procedimiento
del compensador de atraso.

ωm ωm ωz
≤ ωz ≤ ωp =
10 2 β


35

4. Diseñe la red de adelanto.

a) En el diagrama de Bode se identifica el valor de
la ganancia en la frecuencia de cruce de
ganancia (ωm).

b) Se calcula un punto igual a P=(ωm, -G(ωm,)).

Rodríguez García

36

c. Trazamos una recta con pendiente igual a 20
dB/déc que pase por la atenuación necesaria y
la frecuencia de cruce de ganancia.

d. La frecuencia del cero es igual a la frecuencia
de cruce con la línea de -20 dB.

e. La frecuencia del polo es igual a la frecuencia
de cruce con la línea de 0 dB.


37

5. Se obtiene la ganancia del compensador

K Cα = K
especificaciones.

Rodríguez García

Compensador de Atraso-Adelantoe
38


especificaciones.



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