Transformada Z aplicaciones

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 3
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción
considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su
velocidad.
– Roger Penrose, La mente nueva del emperador, 1996, México.

Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 de
señales discretas

Si dos secuencias 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 tienen transformada Z
𝑥1 𝑛
𝑧
𝑋1 𝑧
y
𝑥2 𝑛
𝑧
𝑋2 𝑧
Entonces la suma lineal de ambas secuencias
𝑥 𝑛 = 𝛼1 𝑥1 𝑛 + 𝛼2 𝑥2 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 = 𝛼1 𝑋1 𝑧 + 𝛼2 𝑋2 𝑧 𝟑. 𝟓
Esto quiere decir que la suma lineal de dos o mas secuencias discretas es
igual a la suma lineal de las transformadas 𝑍 de las secuencias discretas.
3.2 Propiedades de la transformada 𝑍
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3
Linealidad

Ejemplo 3.6: Determine la transformada 𝑧 de las señal
𝑥 𝑛 = cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
Solución: Utilizando la identidad de Euler
𝑥 𝑛 = cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 =
1
2
𝑒 𝑗𝜔0 𝑛
𝑢 𝑛 +
1
2
𝑒−𝑗𝜔0 𝑛
𝑢(𝑛)
Entonces la 𝑇𝑍 se obtiene
𝑋 𝑧 =
1
2
𝑍 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛
𝑢(𝑛) +
1
2
𝑍 𝑒−𝑗𝜔0 𝑛
𝑢(𝑛)
Haciendo 𝛼 = 𝑒±𝑗𝜔0
𝑒 𝑗𝜔0 𝑛
𝑢 𝑛
𝑧 1
1 − 𝑒 𝑗𝜔0 𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
y
𝑒−𝑗𝜔0 𝑛
𝑢 𝑛
𝑧 1
1 − 𝑒−𝑗𝜔0 𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
Linealidad

Ejemplo 3.6:
Por lo tanto
𝑋 𝑧 =
1
2
1
1 − 𝑒 𝑗𝜔0 𝑧−1
+
1
2
1
1 − 𝑒−𝑗𝜔0 𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
Finalmente
cos 𝜔0 𝑢 𝑛
𝑧 1 − 𝑧−1 cos 𝜔0
1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 𝟑. 𝟔
Linealidad

Si tenemos una señal discreta con su respectiva transformada 𝑍
x 𝑛
𝑧
X 𝑧
entonces
x 𝑛 − 𝑘
𝑧
z−kX 𝑧 , 𝟑. 𝟕
La 𝑅𝑂𝐶 de 𝑧−𝑘 𝑋 𝑧 es la misma que la de 𝑋(𝑧) excepto para 𝑧 = 0 si 𝑘 > 0 y
𝑧 = ∞ si 𝑘 < 0.
Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 6
Desplazamiento temporal

Ejemplo 3.7: Determine Aplicando la propiedad de desplazamiento en el
tiempo, determine la transformada 𝑧 de 𝑥2 y 𝑥3 a partir de 𝑥1
𝑥1 = 1, 2,5,7,0,1
𝑥2 = 𝑥1 𝑛 + 2
𝑥3 = 𝑥1 𝑛 − 2
Solución: Usando la propiedad de desplazamiento temporal
𝑋2 𝑧 = 𝑧2 𝑋1 𝑧 = 𝑧2 + 2𝑧 + 5 + 7𝑧−1 + 𝑧−3
ROC: todo 𝑧 excepto en ∞ y en 0.
y
𝑋3 𝑧 = 𝑧−2
𝑋1 𝑧 = 𝑧−2
+ 2𝑧−3
+ 5𝑧−4
+ 7𝑧−5
+ 𝑧−7
ROC: todo 𝑧 excepto en 0.

Ejemplo 3.8: Determine la transformada 𝑧 de la señal
𝑥 𝑛 =
1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1
0, en otro caso
Solución: Usando la definición de la transformada 𝑧
𝑋 𝑧 =
𝑛=0
𝑁−1
1𝑧−𝑛 = 1 + 𝑧−1 + ⋯ + 𝑧− 𝑁−1
=
𝑁, si 𝑧 = 1
1 − 𝑧−𝑁
1 − 𝑧−1
, si 𝑧 ≠ 1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑧 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑧 = 0.

Ejemplo 3.8:
Utilizando las propiedades de linealidad y desplazamiento
𝑥 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 𝑁
Entonces
𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑢(𝑛) − 𝑍 𝑢 𝑛 − 𝑁 = 1 − 𝑧−𝑁 𝑍 𝑢 𝑛
Y como
𝑍 𝑢(𝑛) =
1
1 − 𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
lo que nos lleva a la misma solución
𝑋 𝑧 =
𝑁, si 𝑧 = 1
1 − 𝑧−𝑁
1 − 𝑧−1
, si 𝑧 ≠ 1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑧 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑧 = 0.

Como antes se había mencionado, la ROC de señales combinadas queda
determinada por la naturaleza finita de la señal resultante, no por las ROC de
las transformadas individuales.

Si una secuencia 𝒙 𝒏 tiene su correspondiente 𝑇𝑍
𝑥 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑟1 < 𝑧 < 𝑟2
entonces
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛
𝑧
𝑋 𝑎−1
𝑧 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑎 𝑟1 < 𝑧 < 𝑎 𝑟2 (𝟑. 𝟖)
para cualquier constante 𝒂 real o compleja.
Para comprender mejor el significado y las implicaciones de la propiedad de
cambio de escala, expresamos 𝒂 y 𝒛 en forma polar como 𝒂 = 𝒓 𝟎 𝒆𝒋𝝎 𝟎, 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝝎
,
e introducimos una nueva variable compleja 𝒘 = 𝒂−𝟏
𝒛. Por tanto, 𝒁 𝒙 𝒏 = 𝑿 𝒛
y 𝒁 𝒂 𝒏
𝒙 𝒏 = 𝑿 𝒘 . Podemos ver fácilmente que
𝑤 = 𝑎−1
𝑧 =
1
𝑟0
𝑟 𝑒 𝑗 𝜔−𝜔0
Cambio de escala en el dominio de 𝑍

Este cambio de variables da lugar al estrechamiento (si 𝑟0 > 1) o a la
expansión (si 𝑟0 < 1) del plano 𝑧 en combinación con una rotación (si 𝜔0 ≠
2𝑘𝜋) del plano 𝑧. Esto explica porqué tenemos un cambio en la ROC de la
nueva transformada donde 𝑎 < 1. El caso 𝑎 = 1, es decir, 𝑎 = 𝑒 𝑗𝜔0 tiene
un interés especial, ya que solo se corresponde con la rotación del plano 𝑧.

Ejemplo 3.9: Determine la transformada 𝑧 de las señal
𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
Solución: A partir de la ec. 3.6 y 3.8, obtenemos
𝑎 𝑛
cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
𝑧 1 − 𝑎𝑧−1
cos 𝜔0
1 − 2𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑎2 𝑧−2
, 𝑧 > 𝑎 (𝟑. 𝟗)

Si una secuencia 𝑥 𝑛 tiene una 𝑇𝑍
𝑥 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑟1 < 𝑧 < 𝑟2
entonces
𝑥 −𝑛
𝑧
𝑋 𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶:
1
𝑟2
< 𝑧 <
1
𝑟1
𝟑. 𝟏𝟎
La 𝑅𝑂𝐶 para 𝑥 𝑛 es la inversa de 𝑥 −𝑛 . Esto significa que si 𝑧0 pertenece a la
𝑅𝑂𝐶 de 𝑥 𝑛 , entonces 1 𝑧0 pertenece a la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑥 −𝑛 .
Otra forma intuitiva de explicarlo es la siguiente: si reflejamos una señal, el
coeficiente de 𝑧−𝑛
se convierte en el coeficiente de 𝑧 𝑛
. Por tanto, reflejar una
señal es equivalente a reemplazar 𝑧 por 𝑧−1
en la fórmula de la transformada 𝑧.
En otras palabras, la reflexión en el dominio del tiempo se corresponde con la
inversión en el dominio de 𝑧.
Inversión temporal

Ejemplo 3.10: Determine la transformada 𝑧 de la señal
𝑥 𝑛 = 𝑢 −𝑛
Solución: A partir de la ec. 3.4 sabemos que
𝑢 𝑛
𝑧 1
1 − 𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
Utilizando la ec. 3.10 obtenemos fácilmente
𝑢 −𝑛
𝑧 1
1 − 𝑧
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 1
Inversión temporal

Si una secuencia 𝑥 𝑛 tiene su correspondiente transformada 𝑍
𝑥 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧
Entonces
𝑛𝑥 𝑛
𝑧
− 𝑧
𝑑𝑋 𝑧
𝑑𝑧
𝟑. 𝟏𝟏
La región de convergencia es la misma que 𝑋 𝑧 .
Diferenciación en el dominio 𝑍

Ejemplo 3.11: Determine la 𝑇𝑍 de la señal
𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛 𝑢 𝑛
Solución: La señal 𝑥 𝑛 puede expresarse como 𝑛𝑥1 𝑛 , donde 𝑥1 𝑛 =
𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 . Si la 𝑇𝑍 de 𝑥1 𝑛 es
𝑥1 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛
𝑧
𝑋1 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 𝟑. 𝟏𝟐
Por tanto, utilizando la ec. 3.11, obtenemos
𝑛𝑎 𝑛
𝑢 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 = −𝑧
𝑑𝑋1 𝑧
𝑑𝑧
=
𝑎𝑧−1
1 − 𝑎𝑧−1 2
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 𝟑. 𝟏𝟑
Si hacemos 𝑎 = 1 en ec. 3.13, obtenemos la 𝑇𝑍 de la señal rampa unidad
𝑛𝑢 𝑛
𝑧 𝑧−1
1 − 𝑧−1 2
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 𝟑. 𝟏𝟒
Diferenciación en el dominio 𝑍

Si dos secuencias 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 tienen su correspondiente 𝑇𝑍
𝑥1 𝑛
𝑧
𝑋1 𝑛
𝑥2 𝑛
𝑧
𝑋2 𝑛
entonces
𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 𝟑. 𝟏𝟓
La 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋 𝑧 es, al menos, la intersección de las regiones de
convergencia de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧 .
Convolución de dos secuencias

La propiedad de la convolución es una de las propiedades mas potentes de
la 𝑇𝑍, porque convierte la convolución de dos señales en (en el dominio del
tiempo) en la multiplicación de sus transformadas. Los pasos para calcular la
convolución son:
1. Calcular las transformadas 𝑍 de las señales que se van a convolucionar
2. Multiplicar las dos transformadas 𝑍
3. Hallar la transformada 𝑍 inversa de 𝑋 𝑧
Este procedimiento es, en muchos casos, mas fácil de calcular que la
evaluación directa de la convolución.

Ejemplo 3.12: Calcule la convolución 𝑥 𝑛 de las señales
𝑥1 𝑛 = 1, −2,1
𝑥2 𝑛 =
1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 5
0, en otro caso
Solución: A partir de la ec. 3.1, tenemos
𝑋1 𝑧 = 1 − 2𝑧−1
+ 𝑧−2
𝑋2 𝑧 = 1 + 𝑧−1 + 𝑧−2 + 𝑧−3 + 𝑧−4 + 𝑧−5
De la ec. 3.15, realizamos la multiplicación de 𝑋1 𝑧 por 𝑋2 𝑧
𝑋 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 = 1 − 𝑧−1 − 𝑧−6 + 𝑧−7
Por lo tanto
𝑥 𝑛 = 1, −1,0,0,0,0, −1,1

Ejemplo 3.12:
El mismo resultado puede obtenerse fijándose en que
𝑋1 𝑧 = 1 − 𝑧−1 2
𝑋2 𝑧 =
1 − 𝑧−6
1 − 𝑧−1
Entonces
𝑋 𝑧 = 1 − 𝑧−1 1 − 𝑧−6 = 1 − 𝑧−1 − 𝑧−6 + 𝑧−7

𝑥1 𝑛
𝑧
𝑋1 𝑧
𝑥2 𝑛
𝑧
𝑋2 𝑧
Entonces
𝑟𝑥1 𝑥2
𝑙 =
𝑛=−∞
∞
𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 − 𝑙
𝑧
𝑅 𝑥1 𝑥2
𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧−1
𝟑. 𝟏𝟔
La 𝑅𝑂𝐶 de 𝑅 𝑥1 𝑥2
𝑧 es al menor la intersección de las regiones de convergencia
de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧−1
.
Como en el caso de la convolución, la correlación cruzada de dos señales se
calcula mas fácilmente a través de la multiplicación de polinomios de acuerdo a
3.16 y calculando la transformada inversa al resultado.
Correlación de dos secuencias

Ejemplo 3.13: Determine la secuencia de autocorrelación de la señal
𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 , −1 < 𝑎 < 1
Solución: Dado que la secuencia de autocorrelación de una señal es la
correlación consigo misma, (3.16) da
𝑅 𝑥𝑥 𝑧 = 𝑍 𝑟𝑥𝑥 𝑙 = 𝑋 𝑧 𝑋 𝑧−1
A partir de (3.12) la 𝑇𝑍 de la secuencia 𝑥 𝑛 es
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 señal causal
y
𝑋 𝑧−1 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 <
1
𝑎
señal anticausal

Ejemplo 3.13:
Por tanto,
𝑅 𝑥𝑥 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
1
1 − 𝑎𝑧
=
1
1 − 𝑎 𝑧 + 𝑧−1 + 𝑎2
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑎 < 𝑧 <
1
𝑎
Dado que la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑅 𝑥𝑥 𝑧 es un anillo, 𝑟𝑥𝑥 𝑙 es una señal bilateral,
incluso si 𝑥 𝑛 es causal.
La transformada inversa es entonces
𝑟𝑥𝑥 𝑙 =
1
1 − 𝑎2
𝑎 𝑙 , −∞ < 𝑙 < ∞

𝑥1 𝑛
𝑧
𝑋1 𝑧
𝑥2 𝑛
𝑧
𝑋2 𝑧
Entonces
𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑋1 𝑣 𝑋2
𝑧
𝑣
𝑣−1 𝑑𝑣 𝟑. 𝟏𝟕
donde 𝐶 es un contorno cerrado que contiene el origen y se encuentra en la
región de convergencia común a 𝑋1 𝑣 y 𝑋2 1/𝑣 .
Multiplicación de dos secuencias

Para obtener la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋 𝑧 , observe que si 𝑋1 𝑣 converge para 𝑟1𝑙 < 𝑣 <
𝑟1𝑢 y 𝑋2 𝑧 converge para 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟2𝑢, entonces la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋2 𝑧/𝑣 es
𝑟2𝑙 <
𝑧
𝑣
< 𝑟2𝑢
Por tanto, la 𝑅𝑂𝐶 para 𝑋 𝑧 es la menos
𝑟𝑖𝑙 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟1𝑢 𝑟2𝑢 3.18
Esta propiedad es útil en el diseño de filtros basados en las técnicas de
ventana, donde se multiplica la respuesta al impulso de un sistema IIR por
una “ventana” de duración finita, que sirve para truncar la respuesta al
impulso de sistema IIR.

Para las secuencias complejas 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 podemos definir la secuencia
producto como 𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2
∗
𝑛 . La correspondiente integral de
convolución compleja será
𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2
∗
𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑋1 𝑣 𝑋2
∗
𝑧∗
𝑣∗
𝑣−1
𝑑𝑣 𝟑. 𝟏𝟗

Si 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 son secuencias complejas, entonces
𝑛=−∞
∞
𝑥1 𝑛 𝑥2
∗
𝑛 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑋1 𝑣 𝑋2
∗
1
𝑣∗
𝑣−1 𝑑𝑣 𝟑. 𝟐𝟎
siempre que 𝑟1𝑙 𝑟2𝑙 < 1 < 𝑟1𝑢 𝑟2𝑢, donde 𝑟1𝑙 < 𝑧 < 𝑟1𝑢 y 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟2𝑢 son
las 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧 .
Relación de Parseval

Si 𝑥1 𝑛 es causal, es decir, 𝑥 𝑛 = 0 para 𝑛 < 0, entonces
𝑥 0 = lim
𝑧→∞
𝑋 𝑧 𝟑. 𝟐𝟏
Teorema del valor inicial

Propiedad Dominio del tiempo Dominio 𝒁 𝑹𝑶𝑪
Notación
𝑥 𝑛
𝑥1 𝑛
𝑥2 𝑛
𝑋 𝑧
𝑋1 𝑧
𝑋2 𝑧
𝑅𝑂𝐶: 𝑟2 < 𝑧 < 𝑟1
𝑅𝑂𝐶1
𝑅𝑂𝐶2
Linealidad 𝑎1 𝑥1 𝑛 + 𝑎2 𝑥2 𝑛 𝑎1 𝑋1 𝑧 + 𝑎2 𝑋2 𝑧
Al menos la intersección de
𝑅𝑂𝐶1 y 𝑅𝑂𝐶2
Desplazamiento
temporal
𝑥 𝑛 − 𝑘 𝑧−𝑘
𝑋 𝑧
La de 𝑋 𝑧 , excepto 𝑧 = 0 si
𝑘 > 0 y 𝑧 = ∞ si 𝑘 < 0
Cambio de escala
en el dominio 𝑧
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛 𝑋 𝑎−1
𝑧 𝑎 𝑟2 < 𝑧 < 𝑎 𝑟1
Inversión temporal 𝑥 −𝑛 𝑋 𝑧−1
1
𝑟1
< 𝑧 <
1
𝑟2
Conjugación 𝑥∗
𝑛 𝑋∗
𝑧∗
𝑅𝑂𝐶
Parte real Re 𝑥 𝑛
1
2
𝑋 𝑧 + 𝑋∗
𝑧∗ Incluye la 𝑅𝑂𝐶
Parte imaginaria Im 𝑥 𝑛
1
2
𝑗 𝑋 𝑧 − 𝑋∗
𝑧∗ Incluye la 𝑅𝑂𝐶
Tabla de propiedades de la transformada 𝑍

Propiedad Dominio del
tiempo
Dominio 𝒁 𝑹𝑶𝑪
Diferenciación en
el dominio 𝑧
𝑛𝑥 𝑛 −𝑧
𝑑𝑋 𝑧
𝑑𝑧
𝑟2 < 𝑧 < 𝑟1
Convolución 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧
Al menos, la intersección de
𝑅𝑂𝐶1 y 𝑅𝑂𝐶2
Correlación
𝑟𝑥1 𝑥2
𝑙 =
𝑥1 𝑙 ∗ 𝑥2 −𝑙
𝑅 𝑥1 𝑥2
𝑧 =
𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧−1
Al menos, la intersección de la
𝑅𝑂𝐶 de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧−1
Teorema del valor
inicial
Si 𝑥 𝑛 es causal 𝑥 0 = lim
𝑧→∞
𝑋 𝑧
Multiplicación 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑋1 𝑣 𝑋2
𝑧
𝑣
𝑣−1
𝑑𝑣
Como mínimo
𝑟1𝑙 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟1𝑢 𝑟2𝑢
Relación de
Parseval
𝑛=−∞
∞
𝑥1 𝑛 𝑥2
∗
𝑛 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑋1 𝑣 𝑋2
∗
1
𝑣∗
𝑣−1
𝑑𝑣
Tabla de propiedades de la transformada 𝑍

Señal, 𝒙 𝒏 Transformada 𝒁, 𝑿 𝒛 𝑹𝑶𝑪
1 𝛿 𝑛 1 Todo 𝑧
2 𝑢 𝑛
1
1 − 𝑧−1
𝑧 > 1
3 𝑎 𝑛
𝑢 𝑛
1
1 − 𝑎𝑧−1
𝑧 > 𝑎
4 𝑛𝑎 𝑛
𝑢 𝑛
𝑎𝑧−1
1 − 𝑎𝑧−1 2
𝑧 > 𝑎
5 −𝑎 𝑛
𝑢 −𝑛 − 1
1
1 − 𝑎𝑧−1
𝑧 < 𝑎
6 −𝑛𝑎 𝑛
𝑢 −𝑛 − 1
𝑎𝑧−1
1 − 𝑎𝑧−1 2
𝑧 < 𝑎
7 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
1 − 𝑧−1
cos 𝜔0
1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2
𝑧 > 1
8 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
𝑧−1
sin 𝜔0
1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2
𝑧 > 1
Tabla de pares de transformadas

Señal, 𝒙 𝒏 Transformada 𝒁, 𝑿 𝒛 𝑹𝑶𝑪
9 𝑎 𝑛
1 − 𝑎𝑧−1
cos 𝜔0
1 − 2𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑎2 𝑧−2
𝑧 > 𝑎
10 𝑎 𝑛
sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
𝑎𝑧−1
sin 𝜔0
1 − 2𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑎2 𝑧−2
𝑧 > 𝑎
Tabla de pares de transformadas

Ejemplo 3.14: Determine la transformada 𝑍 de una señal que es la suma de
dos exponenciales reales
𝑥 𝑛 =
1
2
𝑛
𝑢 𝑛 + −
1
3
𝑛
𝑢 𝑛
Solución: La transformada 𝑍 es
𝑋 𝑧 =
𝑛=−∞
∞
1
2
𝑛
𝑢 𝑛 + −
1
3
𝑛
𝑢 𝑛 𝑧−𝑛
=
𝑛=−∞
∞
1
2
𝑛
𝑢 𝑛 𝑧−𝑛 +
𝑛=−∞
∞
−
1
3
𝑛
𝑢 𝑛 𝑧−𝑛 (𝟑. 𝟐𝟐)
Ejemplos de la sección

Ejemplo 3.14:
𝑋 𝑧 =
𝑛=0
∞
1
2
𝑧−1
𝑛
+
𝑛=0
∞
−
1
3
𝑧−1
𝑛
=
1
1 −
1
2
𝑧−1
+
1
1 +
1
3
𝑧−1
=
2 1 −
1
12
𝑧−1
1 −
1
2
𝑧−1 1 +
1
3
𝑧−1
=
2𝑧 𝑧 −
1
12
𝑧 −
1
2
𝑧 +
1
3

Ejemplo 3.14:
Para que 𝑋 𝑧 converja, las dos sumas de (3.21) deben converger. Ello
requiere que
1
2
𝑧−1 < 1 y −
1
3
𝑧−1 < 1 simultáneamente. De otra forma,
que 𝑧 >
1
2
y 𝑧 >
1
3
. Por tanto la 𝑅𝑂𝐶 es la región donde se solapan, 𝑧 >
1
2
. La figura muestra el diagrama polo-cero (veremos mas adelante) y la
región de convergencia de la transformada 𝑍 de cada uno de los términos y
de la señal combinada.

Ejemplo 3.14:
1
1 −
1
2
𝑧−1
𝑧 >
1
2
1
1 −
1
3
𝑧−1
𝑧 >
1
3
1
1 −
1
3
𝑧−1
+
1
1 −
1
3
𝑧−1
𝑧 >
1
2

3.1 Determine la transformada 𝑧 de las señales
a) 𝑥 𝑛 = 3 2 𝑛 − 4 3 𝑛 𝑢 𝑛
b) 𝑥 𝑛 = sen 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
c) 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
d) 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑛 𝑢 𝑛
e) 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝑎−𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑎 real
f) 𝑥 𝑛 = −1 𝑛2−𝑛 𝑢 𝑛
g) 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
h) 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛
i) 𝑥 𝑛 = 𝐴𝑟 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 + 𝜙 𝑢 𝑛 , 0 < 𝑟 < 1
j) 𝑥 𝑛 =
1
2
𝑛2
+ 𝑛
1
3
𝑛−1
𝑢 𝑛 − 1
k) 𝑥 𝑛 =
1
2
𝑛
𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 10
Ejercicios de sección

3.2 Determine la transformada 𝑧 de las señales y la 𝑅𝑂𝐶
a) 𝑥1 𝑛 =
1
3
𝑛
, 𝑛 ≥ 0
1
2
−𝑛
, 𝑛 < 0
b) 𝑥2 𝑛 =
1
3
𝑛
− 2 𝑛, 𝑛 ≥ 0
0, 𝑛 < 0
c) 𝑥3 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 4
d) 𝑥4 𝑛 = 𝑥1 −𝑛

3.3 Calcule la convolución de las señales siguientes utilizando la
transformada 𝑍
a) 𝑥1 𝑛 =
1
3
𝑛
, 𝑛 ≥ 0
1
2
−𝑛
, 𝑛 < 0
b) 𝑥2 𝑛 =
1
2
𝑛
𝑢 𝑛
3.4 Determine la señal 𝑥 𝑛 cuya transformada 𝑧 está dada por
a) 𝑋 𝑧 = log 1 + 𝑎𝑧−1 , 𝑧 > 𝑎

Transformada Z aplicaciones

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Transformada Z aplicaciones

Similar a Transformada Z aplicaciones (20)

Más de Juan Palacios

Más de Juan Palacios (7)

Último

Último (20)

Transformada Z aplicaciones

Notas del editor