Ingeniería de control: Tema 2. compensación RF

w w w . m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional
de México
Instituto Tecnológico
de Matamoros
CONTROL II
TEMA II: COMPENSACIÓN UTILIZANDO RF

Diseño de compensadores: Enfoque de
la Respuesta en Frecuencia.
El diseño basado en herramientas como los
diagramas de Bode o Nyquist se emplea cuando
las especificaciones vienen dadas en términos de
la respuesta frecuencial, tales como:
• Ancho de banda, margen de ganancia,
margen de fase, error en régimen
permanente.
El objetivo general es imponer restricciones sobre
las curvas de magnitud y fase modificando su
forma con ayuda de compensadores.

Características básicas de los tres
tipos de compensadores
• La compensación de adelanto, produce en esencia, un
mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y
un cambio pequeño en la precisión en estado estable.
Puede acentuar lo efectos del ruido de alta frecuencia.
• La compensación en atraso produce un mejoramiento
notable en la precisión en estado estable a costa de
aumentar el tiempo de respuesta transitoria. Suprime
el efecto del ruido a altas frecuencias.
• La compensación en atraso-adelanto combina ambas
características .
• El uso de un compensador de atraso o de adelanto
aumenta el orden de un sistema en 1 y el uso de un
compensador atraso-adelanto lo eleva en 2.

2.5 Compensador en adelanto usando
RF
Consideremos un compensador de adelanto con la
siguiente función de transferencia:
Tiene un cero en s=-1/T y un polo en s=-1/(T) y como
01, el cero siempre se ubica a la derecha del polo en
el plano complejo. El valor mínimo de  se ubica en 0.05
(el adelanto de fase máximo del compensador es de
65).
La siguiente figura muestra la traza polar de:
con Kc=1
1
<
<
0
con
T
s
T
s
K
+
Ts
+
Ts
K
=
(s)
G c
c
c



 ,
1
1
1
1



1
1
+
T
j
+
T
j
K
=
)
(j
G c
c





Además:
Traza de Bode del
compensador de
adelanto con Kc=T=1
y =0.1
,
2
1
2
1





+
1
-
1
=
)
sen( m 




T
1
=
m

En la traza de Bode anterior se observa que el
compensador en adelanto de fase es básicamente
un filtro pasa altas (pasan las frecuencia altas, pero
se atenúan las frecuencias bajas)
La función principal del compensador de adelanto
es volver a dar forma a la curva de respuesta en
frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto
de fase suficiente para compensar el atraso de
fase excesivo asociado con los componentes del
sistema fijo.

Procedimiento de diseño del
compensador en adelanto
1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:
Se define: Kc=K de modo que:
La función de transferencia en lazo abierto del sistema
compensado es:
en donde G1(s)=KG(s)
1
<
<
0
con
T
s
T
s
K
+
Ts
+
Ts
K
=
(s)
G c
c
c



 ,
1
1
1
1



1
1
+
Ts
+
Ts
K
=
(s)
Gc

)
(
1
1
)
(
1
1
)
(
1
1
)
( 1 s
G
+
Ts
+
Ts
s
KG
+
Ts
+
Ts
s
G
+
Ts
+
Ts
K
=
s
(s)G
Gc






El problema es determinar el valor de K que
satisfaga el requerimiento sobre la corriente
estática de error determinada.
2. Usando la ganancia K determinada se dibujan
las trazas de Bode de G1(j), el sistema con la
ganancia ajustada pero sin compensar. Calcular
el valor del margen de fase.
3. Se determina el ángulo de adelanto de fase 
necesario para agregar al sistema.
4. Determinar el factor de atenuación . Se
establece la frecuencia a la cual la magnitud del
sistema no compensado G1(j) es igual -
20log(1/√). Se selecciona esta como la nueva
frecuencia de cruce máxima. Esta frecuencia
corresponde a m=1/(√T), y el cambio de fase
máximo m ocurre en ella.

5. Se determinan las frecuencias de esquina del
compensador en adelanto de modo siguiente:
Cero del compensador en adelanto: =1/T
Polo del compensador en adelanto: =1/T
6. Usando el valor de K del paso 1 y de  establecido
en el paso 4, se calcula la constante Kc a partir de:
Kc=K/
7. Se verifica el margen de ganancia para asegurar
de que es satisfactorio. De no ser así se repite el
proceso de diseño modificando la ubicación de
polos y ceros del compensador hasta obtener un
resultado satisfactorio.

Ejemplo:
Considere un sistema cuya función de transferencia de
lazo abierto es:
Diseñar una compensación que proporcione un
margen de fase mayor que 50, margen de ganancia
mayor que 10 dB, y constante de velocidad Kv=20 s-1.
SOLUCIÓN
Se usará un compensador en adelanto de la forma:
El sistema compensado tendrá una función de
transferencia en lazo abierto Gc(s)G(s)
)
2
(
4
)
(


s
s
s
G
T
s
T
s
K
+
Ts
+
Ts
K
=
(s)
G c
c
c


 1
1
1
1




Definimos:
En donde K=Kc
1. Se ajusta K para cumplir con la especificación de
desempeño en estado estable, o bien proporcionar
la constante de error estático de velocidad
requerida.
O bien: K=10
Con este valor de K el sistema compensado cumple
con los requerimientos de estado estable.
2. Se grafican las trazas de Bode de G1(s) con K=10 para
encontrar el valor del margen de fase:
num=[0 40]; den[1 2 0];
margin(num, den), grid
)
2
(
4
)
(
)
(
1



s
s
K
s
KG
s
G
20
2
)
2
(
4
lim
)
(
1
1
lim
)
(
)
(
lim
0
1
0
0











K
s
s
K
s
s
G
Ts
Ts
s
s
G
s
sG
K
s
s
c
s
v


Se obtiene Mf=18 y Mg= (Un margen de fase de
18 implica un sistema muy oscilatorio) Esto se
comprueba con la respuesta al escalón del
sistema en lazo cerrado.

4. Se requiere un Mf50 como se tiene 18 el
compensador debe aportar 32 para obtener
cuando menos 50 sin disminuir el valor de K.
Tomaremos 38 para garantizar el resultado. Con
esto se obtendrá el valor de .

5.Para determinar las frecuencias de esquina del
compensador en adelanto se sabe que:
Se busca en la traza de Bode del sistema no
compensado an que frecuencia ocurre esa
magnitud y se obtiene: =8.95rad/s
24
.
0
38
1
38
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1




















sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
m
m
m
m
m
m
m













dB
1
j
G 2
.
6
24
.
0
1
log
20
log
20
)
(
1 








Esta frecuencia corresponde a:
5. Se determinan las frecuencias de esquina del
compensador :
6. Se determina Kc
7. El compensador queda diseñado con la siguiente
función de transferencia:
23
.
0
24
.
0
)
95
.
8
(
1
1
1





T
T
T m
m




polo
T
cero
T








11
.
18
)
23
.
0
)(
24
.
0
(
1
1
34
.
4
23
.
0
1
1



67
.
41
24
.
0
10




K
Kc
11
.
18
34
.
4
67
.
41
)
(



s
s
s
Gc

• El sistema compensado queda como:
• Verifiquemos la respuesta en frecuencia:
num=[166.68 723.4];
den=[1 20.11 36.22 0];
margin(num,den), grid
Se observa que Mg= y
Mf=50.4 con lo que
cumple los requeri-
mientos de diseño
)
2
)(
11
.
18
(
4
.
723
68
.
166
)
2
(
4
11
.
18
34
.
4
67
.
41
)
(
)
(






















s
s
s
s
s
s
s
s
s
G
s
Gc

La respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado
del sistema compensado es:
num=[166.68 723.4];
den=[1 20.11 202.9 723.4];
step(num,den), grid
Se observa que la
respuesta del sistema
compensado mejora
notablemente el
amortiguamiento y el
tiempo de establecimiento

2.6 Compensador en atraso utilizando
RF.
Su función principal es proporcionar una
atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin
de aportar un margen de fase suficiente al sistema.
Consideremos un compensador en atraso con la
En el plano complejo, un compensador de atraso
tiene un cero s=-1/T y un polo en s=-1/(T). El polo
está a la derecha del cero.
 
1
1
1
1
1




 



T
s
T
s
K
+
Ts
+
Ts
K
=
(s)
G c
c
c

La siguiente figura muestra la traza polar del
compensador en atraso
Y las trazas de Bode del compensador para Kc=T=1 y =10
Polo=1/(T)=0.1rad/s
Cero=1/T=1rad/s
Ganancia a frecuencias
bajas=10 (20dB)
Ganancia a frecuencias
altas=1 (0dB)
Se comporta como un
Filtro Pasa-Bajas

Procedimiento de diseño del
compensador en atraso utilizando RF
1. Suponga el siguiente compensador de atraso:
Determine la ganancia K que satisfaga el
requerimiento sobre la constante de error estático
solicitado.
Con esta ganancia K, trace el diagrama de Bode en
lazo abierto y calcule el Mf.
 
1
1
1
1
1




 



T
s
T
s
K
+
Ts
+
Ts
K
=
(s)
G c
c
c

2. Si el sistema no compensado no satisface la
especificación de Mf, encuentre el punto de
frecuencia en el cual el ángulo de fase del
sistema en lazo abierto sea igual a -180º más el
Mf requerido (generalmente se aumentan de 5º
a 12º). Esta será la nueva frecuencia de cruce de
ganancia.
Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el
polo y el cero del compensador deben ubicarse
mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce
de ganancia (hasta una década por debajo).
3. Determine la atenuación necesaria para bajar la
curva de magnitud a 0dB en la nueva frecuencia
de cruce de ganancia. Esta atenuación es de -
20log().
4. Usando el valor de K y de  se determina el valor
de Kc.

Ejemplo:
Considere un sistema cuya función de
transferencia en lazo abierto se obtiene mediante:
Se desea compensar el sistema a fin de que la
constante de error estático Kv=5s-1 y el margen de
fase sea cuando menos 40 y el margen de
ganancia sea cuando menos 10dB.
SOLUCIÓN
Se usará un compensador en atraso de la forma.
)
1
5
.
0
)(
1
(
1
)
(



s
s
s
s
G
 
1
1
1
1
1




 



T
s
T
s
K
+
Ts
+
Ts
K
=
(s)
G c
c
c

Definimos Kc=K
También definimos:
Primero ajustemos K para cumplir con la constante de
error estático de velocidad requerida.
Con este valor de K obtengamos las trazas de Bode del
sistema no compensado y calculemos el Mf.
Se obtiene:
Mg=-4.44dB
Mf=-13
El sistema es inestable.
)
1
5
.
0
)(
1
(
)
(
)
(
1




s
s
s
K
s
KG
s
G
5
)
1
5
.
0
)(
1
(
lim
)
(
1
1
lim
)
(
)
(
lim
0
1
0
0












K
s
s
s
sK
s
G
Ts
Ts
s
s
G
s
sG
K
s
s
c
s
v


Esto se comprueba con la respuesta al escalón del
sistema en lazo cerrado.
>> num=[0 5];
>> den=[0.5 1.5 1 5];
>> step(num,den), grid
Como no se alcanza el Mf requerido que es de
cuando menos 40 (se pueden aumentar de 5 a
12). Consideremos 52 (40+12). Busquemos en la
traza de Bode de G1(s) el punto de frecuencia
donde se alcanza -180+52=-128. Anotemos la
frecuencia y la ganancia en ese punto de
frecuencia.

Se tiene:
=0.467rad/s
Magnitud=19.5dB
Esta será la nueva frecuen
cia de cruce de ganancia.
Con esto se calcula  de acuerdo a:
Como la frecuencia puede estar hasta una década
o una octava por debajo de la frecuencia obtenida
tomemos:
44
.
9
10
20
5
.
19
log
5
.
19
log
20 20
5
.
19









 


s
rad
T
Polo
T
s
rad
T
Cero
/
01
.
0
1
10
/
1
.
0
1








Por último calculemos Kc
El compensador queda como:
El sistema compensado es:
Grafiquemos las trazas de bode para ver si se
cumplen las condiciones de desempeño en cuanto
al margen de ganancia y fase.
53
.
0
44
.
9
5




K
Kc
01
.
0
1
.
0
53
.
0
)
(



s
s
s
Gc
  


















1
5
.
0
1
1
01
.
0
1
.
0
53
.
0
)
(
)
(
s
s
s
s
s
s
G
s
Gc

num=[0.53 0.053];
den=[0.5 1.505 1.015 0.01 0];
margin(num,den), grid
Se observa que se cumplen
con las condiciones de
desempeño en cuanto a los
márgenes de ganancia y fase
Como ambos márgenes resultaron positivos el
sistema es estable.
Comprobemos con la respuesta al escalón del
sistema compensado en lazo cerrado.

num=[0.53 0.053];
den=[0.5 1.505 1.015 0.54 0.53];
step(num,den), grid
Se observa que se mejora
notablemente la respuesta
transitoria del sistema
compensado

2.7 Compensador en atraso-adelanto
usando RF
Un compensador en atraso-adelanto combina los
efectos de un compensador en adelanto con los de
un compensador en atraso. El resultado es un
sistema con una mejora en la respuesta transitoria,
estabilidad y error de estado estacionario. Para
implementar un compensador en atraso-adelanto,
primero se diseña el compensador en adelanto
para lograr la respuesta transitoria y estabilidad
deseadas, y entonces se agrega un compensador
en atraso para mejorar la respuesta de estado
estacionario.

Características del compensador
atraso-adelanto
Consideremos un compensador atraso-adelanto con la
Vemos que:
Red de adelanto
1
>
y
T
>
T
1,
>
donde
T
+
s
T
+
s
T
s
T
+
s
K
s
G
1
2
c
c






























2
2
1
1
1
1
1
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1























s
T
s
T
T
s
T
s

Asimismo:
Red de atraso
Al diseñar un compensador de este tipo es común
seleccionar  =  (esto no es necesariamente una
condición).
La traza polar del compensador en atraso-adelanto
con Kc= y = es:
1
1
1
1
1
2
2
2
2



















s
T
s
T
T
s
T
s

Se observa que para 0<<1 el compensador
funciona como un compensador en atraso,
mientras que de 1<< funciona como un
compensador de adelanto.
La frecuencia 1 es aquella donde el ángulo de fase
es cero y se obtiene mediante:
Las trazas de Bode para el compensador atraso-
adelanto cuando Kc=1, ==10 y T2=10T1
2
1
1
1
T
T



De acuerdo a las trazas de Bode el compensador
funciona como un filtro rechaza-banda.
El diseño del compensador atraso-adelanto se
basa en la combinación de las técnicas de diseño
analizadas en la compensación de adelanto y la
compensación de atraso.
La parte de adelanto de fase altera la curva de
respuesta en frecuencia agregando un ángulo de
adelanto de fase incrementando el margen de fase
en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de
atraso de fase proporciona una atenuación
cercana y por arriba de la frecuencia de cruce de
ganancia y, por tanto permite un incremento de la
ganancia en el rango de frecuencias bajas a fin de
mejorar el desempeño en estado estable.

Ejemplo: (Procedimiento de diseño)
Considere un sistema con retroalimentación
unitaria cuya función de transferencia de lazo
abierto es:
Se requiere una constante de error estático de
velocidad Kv=10s-1, un Mf50 y Mg10dB
SOLUCIÓN:
Se usará un compensador en atraso-adelanto de la
forma:
)
2
)(
1
(
)
(



s
s
s
K
s
G
1
>
y
T
>
T
1,
>
donde
T
+
s
T
+
s
T
s
T
+
s
K
s
G
1
2
c
c






























2
2
1
1
1
1
1
)
(

Sabemos que la función de transferencia del sistema
compensado es Gc(s)G(s)
Dado que la ganancia K de la planta es ajustable
supongamos Kc=1
A partir del requerimiento en la constante de error
estático de velocidad obtenemos:
Con las trazas de Bode del sistema no compensado se
obtienen los Mg y Mf
>> num=[0 20];
>> den=[1 3 2 0];
>> margin(num,den), grid
Mg=-10.5 Mf=-28.1
Sistema inestable
10
2
)
2
)(
1
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0








K
s
s
s
sK
s
sG
s
G
s
sG
K
s
c
s
v
20

K

Comprobemos con la respuesta al escalón del
sistema en lazo cerrado
>> num=[0 20];
>> den=[1 3 2 20];
>> step(num,den), grid
Se selecciona una nueva frecuencia de cruce de
ganancia. A partir de la curva de fase de G(j)
observamos que para -180 se tiene =1.42rad/s. Se
elige esta frecuencia para que ahí el ángulo de fase
sea alrededor de 50

Ahora se determina la frecuencia de esquina de la parte
de atraso de fase del compensador. Se selecciona =1/T2
(cero de la parte de atraso) una década por debajo de la
frecuencia de cruce, es decir: =0.142rad/s  T2=7
Para el compensador en adelanto el ángulo de fase m
se obtiene mediante:
Tomando m=55 tenemos
La frecuencia de esquina =1/T2=0.0142rad/s (polo de la
parte de atraso).
1
1
1













 )
sen(
+
1
-
1
=
)
sen( m
m
 
10
)
55
(
1
)
55
(
1
1
1
1
1
1
1
1






















sen
sen
m
sen
m
sen
sen
sen
sen
sen
sen m
m
m
m
m















Para la parte de adelanto: Como la nueva
frecuencia de cruce ganancia es =1.42rad/s, en esa
frecuencia la ganancia es 10.6 dB.
Por tanto el compensador atraso-adelanto
contribuye con -10.6dB en esa frecuencia, la
nueva frecuencia de cruce de ganancia es la que
se busca . Se dibuja una línea de pendiente
20dB/dec que pase por el punto (-10.6dB,
1.42rad/s). La intersección de esta línea con la de
0dB determina la frecuencia de esquina
=1/T1=0.7rad/s.

=1/T1=0.7rad/s
T1=1.43
Si ==10
=/T1=7rad/s
Finalmente el sistema compensado queda
definido como:
La traza de Bode del sistema
compensado cumple con las
características de diseño



























)
2
)(
1
(
20
7
7
.
0
0142
.
0
142
.
0
)
(
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
G
s
Gc

• Finalmente la respuesta al escalón del sistema
compensado queda como:

Comparación de los tres tipos de
compensadores
• La compensación de adelanto proporciona el
resultado deseado mediante su contribución al
adelanto de la fase, en tanto que la compensación
de atraso logra el resultado a través de su
propiedad de atenuación en frecuencias altas
• La compensación de adelanto se usa para
mejorar los márgenes de estabilidad, además
produce una frecuencia de cruce de ganancia
más alta comparada con la compensación de
atraso. La frecuencia de cruce de ganancia más
alta significa un mayor ancho de banda. Un ancho
de banda grande significa una reducción en el
tiempo de asentamiento.

• La compensación de adelanto requiere de un
incremento adicional en la ganancia a fin de
compensar la atenuación inherente a la red de
adelanto. Esto significa que la compensación de
adelanto requiere de una ganancia mayor que la
que requiere la compensación de atraso.
• La compensación de atraso reduce la ganancia
del sistema en las frecuencias más altas sin
reducirla en las frecuencias mas bajas. Dado que
el ancho de banda del sistema se reduce, éste
responde a una velocidad más lenta. Debido a la
ganancia reducida en la frecuencia alta, la
ganancia total del sistema se incrementa y, por
tanto, también se incrementa la ganancia de
frecuencia baja y mejora la precisión en estado
estable. Asimismo, los ruidos de frecuencia alta
implícitos en el sistema se atenúan.

• Si se desean respuestas rápidas y suficiente
precisión estática, se usa un compensador de
atraso-adelanto. Éste incrementa la ganancia de
frecuencias bajas (lo cual significa un
mejoramiento en la precisión en estado estable) y,
al mismo tiempo, se incrementa el ancho de
banda y los márgenes de estabilidad del sistema.
• Aunque con los compensadores de adelanto, de
atraso o de atraso-adelanto se realiza una mayor
cantidad de tareas prácticas de compensación,
para los sistemas complicados, una
compensación simple mediante estos
compensadores tal vez no produzca resultados
satisfactorios. En este caso, deben emplearse
diferentes compensadores con distintas
configuraciones de polos y ceros.

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