1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 1
Dpto. de Matemáticas - Goretti
ANGULO en geometría se define ángulo, al conjunto de puntos que se encuentran en una región
comprendida entre el corte de dos rayos o semirrectas.
SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS
Los ángulos se pueden medir en tres sistemas de medición a saber: A) El Sistema Sexagesimal,
B) El Sistema Centesimal y C) El Sistema Radial o Circular.
A) Sistema Sexagesimal:
La circunferencia se divide a en 360 partes iguales y cada una de estas partes se la denomina
un grado sexagesimal.
El grado se divide en 60 partes iguales y a cada una de ellas, se le llama un minuto
El minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes, se la llama un segundo.
Por lo tanto:
1 grado (1°) = 60 minutos (60’) y
1 minuto (1´) = 60 segundos (60”).
Dados = 74° 16´ 54”, = 28° 45´ 13” y = 124° 34´ 54” calcular:
a) + , b) + , c) + , d) - , e) - , f) - , g) 3 , h) 4 , i) /2, j) +
Solución
a) + = (74° 16´ 54”) + (28° 45´ 13”) =102° 61´ 67” = 102° + 61´ +1´ + 7”
= 102° 62´ 7” = 103° 2´ 7”
b) + = (74° 16´ 54”) + (124° 34´ 54”) = 198° 50´ 108” = 198°+50´+60´´+ 48”=198°51´ 48”
c) + = (28° 45´ 13”) + (124° 34´ 54”) = 152° 79´ 67” = 152° 80´ 7” =153° 20´ 7”
d) - = (124° 34´ 15”) – (74° 56´ 54”)= (124° 33´ 75”)- (74° 56´ 54”)
hhhhh= (123° 93´ 75”)- (74° 56´ 54”) = 49° 37´ 21”
e) - = (74° 16´ 54”) - (28° 45´ 13”) = (73° 76´ 54”)- (28° 45´ 13”) = 45° 31´ 41”
f) - = (124° 34´ 54”) – (28° 45´ 13”) = (123° 94´ 54”)-(28° 45´ 13”)=95° 49´ 41”
g) 3 = 3(74° 16´ 54”) =222° 48´ 162” = 222° + 48´ + 120” + 42” =222° 50´ 42”
h) 4 = 4(124° 34´ 54”) = 496° 136´ 216”= 496º 136´ 3´ 36´´ =496º 139´ 36”= 498º 19´ 36”
i) /2 = (74° 16´ 54”)/2 = 37° 8´ 27”
j) + = (28° 45´ 13”) + (124° 34´ 54”)= 152° 79´ 67”= 152°+60´+19´+60”+7”= 152° 80´ 7”
= 153° 20´ 7”
TALLER
Dados los siguientes ángulos: = 34° 46´ 24”, = 108° 25´ 03” y = 42° 23´ 55” calcular:
a) + , + , + , - , - , - , - , 3 , 4 , /2.

2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 2
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B) Sistema Centesimal:
En este sistema la circunferencia se divide a en 400 partes iguales y cada una de estas partes se
la denomina un grado Centesimal.
En este sistema de medición angular la circunferencia, la circunferencia queda dividida en cuatro
G
cuadrantes iguales de 100 cada uno llamado Gradian.
Por lo tanto:
1 grado (G) = 100 minutos (M)
1 minuto (M) =100 segundos (S).
C) Sistema Circular o Radial
En este sistema la circunferencia se divide en cuatro cuadrantes, donde cada uno de ellos es igual
a /2 radianes.
La unidad de medida es el radian (rad).
ANGULO EN POSICION NORMAL: Un ángulo se encuentra en posición normal, cuando el vértice
del ángulo coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial del ángulo coincide con el
semieje positivo del eje de las X.
ANGULO COTERMINALES: Dos ángulos son coterminales sí tienen el mismo lado inicial y el
mismo lado final, pero los valores numéricos de los dos ángulos son diferentes.
Para calcular el valor de un ángulo coterminal, se aplica la siguiente ecuación.
Angulo Coterminal = + 360°
: Angulo dado.
.
Ejemplo.
Dado un ángulo de 30°, encontrar el valor del ángulo coterminal.
Dato
= 30°
Angulo Coterminal = + 360°
Remplazamos: Angulo Coterminal = 30°+360° = 390°

3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 3
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Ejemplo.
Dado un ángulo de 120°, encontrar el valor del ángulo coterminal.
Dato
= 120°
Angulo Coterminal = + 360°
Remplazamos: Angulo Coterminal = 120°+360° = 480°
TALLER
Dados los siguientes ángulos sexagesimales, encontrar el valor del ángulo coterminal de cada uno
de ellos y graficarlos en el plano cartesiano.
a. 30º
b. 125º
c. 75º
d. 45º
e. 234º
ANGULO POSITIVO: Un ángulo es positivo, cuando el lado final de un ángulo en posición normal
gira en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
ANGULO NEGATIVO: Un ángulo es negativo, cuando el lado final de un ángulo en posición nor-
mal gira en el mismo sentido al movimiento de las manecillas del reloj.
A los ángulos se los designa con las letras del alfabeto Griego así: alfa, beta, fi, gamma,
theta, etc.

4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 4
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Ejemplo
Graficar en el plano cartesiano un ángulo de:
a) +30°, b) – 30°
c) +150°, d) -150°
e) +210°, f) -210°

5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 5
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TALLER
Graficar en el plano cartesiano un ángulo de:
a) +45°, b) – 45°
c) +160°, d) -160°
e) +240°, f) -240º
g) + 280º h) - 280º
ANGULOS CUADRANTALES: Se llaman ángulos cuadrantales, cuando el lado final de un ángulo
en posición normal coincide con la amplitud de un ángulo de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.
ANGULO RECTO: Es aquel que mide 90°.
ANGULO LLANO: Es el que mide 180°.
ANGULO AGUDO: Es aquel que mide menos de 90°
ANGULO OBTUSO: Es aquel que mide más de 90° y monos de 180°.
ANGULO CENTRAL: Es un ángulo cuyo vértice coincide con el centro del circulo y el lado inicial y
el lado final del ángulo coincide con los radios del círculo.

6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 6
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ANGULOS COMPLEMENTARIOS: Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de ellos es
igual a noventa grados (90°). Es decir + = 90°
ANGULOS SUPLEMENTARIOS: Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de ellos es
igual a ciento ochenta grados (180°). Es decir + = 180°.

7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 7
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NOTA:
1 minuto = 60 segundos o también 1´=60”
1 grado = 60 minutos o también 1°=60´
1 grado = 60 minutos =60(60segundos) = 3600 segundos o también 1°= 3600”
90° = 89° 60´
90° = 89° 59´ 60”
180° = 179° 60´
180° = 179° 59´ 60”
Ejemplo: Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo complementario .
a) 30°
b) 60°
c) 42° 30´
d) 55° 30´ 12”
e) 64° 21´ 8”
Solución
a) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 30°
Entonces remplazamos: 30°+ = 90°
= 90°- 30°
= 60°
b) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 60°
Entonces remplazamos: 60°+ = 90°
= 90°- 60°
= 30°
c) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 42° 30´
Entonces remplazamos: 42° 30´+ = 90°
= 90°- 42° 30´ pero: 90° = 89° 60´
= 89° 60´- 42° 30´
= 47° 30´
d) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 55° 30´ 12”
Entonces remplazamos: 55° 30´ 12”+ = 90°
= 90°- 55° 30´ 12” pero: 90° = 89° 60´
90° = 89° 59´ 60”
= 89° 59´ 60”- 55° 30´ 12”
= 34° 29´ 48”
e) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 64° 21´ 8”
Entonces remplazamos: 64° 21´ 8”+ = 90°
= 90°- 64° 21´ 8” pero: 90° = 89° 60´
90° = 89° 59´ 60”
= 89° 59´ 60”- 64° 21´ 8”
= 25° 38´ 52”
Ejemplo: Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo suplementario .
a) 10°
b) 20° 15´
c) 150° 25´ 35”
d) 95° 2´ 15”

8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 8
Dpto. de Matemáticas - Goretti
e) 120° 33´ 45”
Solución
a) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 10°
Entonces remplazamos: 10°+ = 180°
= 180°- 10°
= 170°
b) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 20° 15´
Entonces remplazamos: 20° 15´+ = 180°
= 180°- 20° 15´ pero 180° = 179° 60´
= 179° 60´- 20°15´
= 159°45´
c) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 150° 25´ 35”
Entonces remplazamos: 150° 25´ 35” + = 180°
= 180°- 150° 25´ 35´ pero 180° = 179° 59´ 60”
= 179° 59´ 60´- 150° 25´ 35”
= 29° 34´ 25”
d) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 95° 2´ 15”
Entonces remplazamos: 95° 2´ 15” + = 180°
= 180°- 95° 2´ 15´ pero 180° = 179° 59´ 60”
= 179° 59´ 60´- 95° 2´ 15”
= 84° 57´ 45”
e) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 120° 33´ 45”
Entonces remplazamos: 120° 33´ 45” + = 180°
= 180°- 120° 33´ 45´ pero 180° = 179° 59´ 60”
= 179° 59´ 60´- 120° 33´ 45”
= 59° 26´ 15”
TALLER
1.- Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo complementario .
a) 35°
b) 75°
c) 53° 22´
d) 75° 10´ 52”
e) 84° 11´ 8”
2.- Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo suplementario .
a) 40°
b) 35° 24´
c) 124° 35´ 15”
d) 35° 12´ 25”
e) 162° 43´ 15”

9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 9
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CONVERSIONES
En el aprendizaje de las conversiones estudiaremos los siguientes casos:
1.- Convertir Grados Decimales, a Grados, Minutos y Segundos. Para ello se tiene las siguientes
igualdades:
1 grado = 60 minutos o también 1°=60´
1 minuto = 60 segundos o también 1´=60”
1 grado = 60 minutos = 60(60segundos) = 3600 segundos o también 1°= 3600”
2.- Convertir un ángulo escrito en Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales. Para ello se
tiene las siguientes equivalencias
1 minuto = o también 1´ = ( °
1 segundo = o también 1” = ( )°
Ejemplo
Convertir los siguientes Grados Decimales a Grados, Minutos y Segundos
a) 38,5543°
b) 13,8345°
c) 78,9372°
SOLUCION
a) 38,5543° = 38° +0,5543° pero 1°=60´
= 38° + 0,5543(60´)
= 38° + 33,258´
= 38° + 33´ + 0,258´ pero 1´=60”
= 38° + 33´ + 0,258(60”)
= 38° + 33´ + 15,48”
= 38° 33´ 15,48”
b) 13,8345° = 13° + 0,8345° pero 1°=60´
= 13° + 0,8345(60´)
= 13° + 50,07´
= 13° + 50´ + 0,07´ pero 1´=60”
= 13° + 50´ +0,07(60”)
= 13° + 50´ + 4,2”
= 13° 50´ 4,2”
c) 78,9372° = 78° + 0,9372° pero 1°=60´
= 78° + 0,9372(60´)
= 78° + 56,232´
= 78° + 56´ + 0,232´ pero 1´=60”
= 78° + 56´ + 0,232(60”)
=78° + 56´ + 13,92”
=78° 56´ 13,92”
Ejemplo
Convertir los siguientes Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales
a) 38° 33´ 55,48”
b) 123° 45´ 43,21”
c) 53° 23´ 58”

10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 10
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Solución
a) 38° 33´ 55,48” = 38° + 33´ + 55,48” pero 1´ = ( ° y 1” = ( )°
= 38° + 33( )° + 55,48( )°
= 38° + 0,55° + 0,015°
=38,565°
b) 123° 45´ 43,21” = 123° + 45´ + 43,21” pero 1´ = ( ° y 1” = ( )°
= 123° + 45( )° + 43,21( )°
= 123° + 0,75° + 0,012°
= 123,762°
d) 53° 23´ 58” = 53° + 23´ + 58” pero 1´ = ( ° y 1” = ( )
= 53° + 23( )° + 58( )°
= 53° + 0,8833° + 0,016°
= 53,8993°
TALLER
1.- Convertir los siguientes Grados Decimales a Grados, Minutos y Segundos
a) 78,5543°
b) 143,8142°
c) 36,1322°
2.- Convertir los siguientes Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales
a) 48° 53´ 45,18”
b) 156° 10´ 32,21”
c) 51º 34` 34”
DEFINICION DE RADIAN: Un radian es la medida de un ángulo central de un circulo, cuya longi-
tud del arco comprendido entre el lado inicial y el lado final del ángulo central es igual al radio del
círculo. Es decir
(
(
(
a) Si s= r entonces ( = = 1 radian.= 57,29°

11. Luis Gonzalo Revelo Pabón 11
Dpto. de Matemáticas - Goretti
b) Si s= 2r entonces ( = = 2 radian= 114,58°
c) Si s= 3r entonces ( = = 3 radian= 171,87°
d) Si s= 4r entonces ( = = 4 radian= 229,16°
e) Si s= 5r entonces ( = = 5 radian = 286,45°
f) Si s= 6r entonces ( = = 6 radian = 343,74°.
RELACION ENTRE GRADOS Y RADIANES
a) 180° = radianes = 3,1416 radianes
b) 1 radian = (180°/ ) = 57,29°
CONVERSION DE GRADOS A RADIANES Y DE RADIANES A GRADOS
Para convertir grados sexagesimales a radianes o de radianes a grados sexagesimales, simple-
mente se efectúa una regla de tres simple, teniendo en cuenta que: 180° = rad = 3,1416 rad.
Ejemplo:
Convertir los siguientes grados sexagesimales a radianes.
a) 38°
b) 238° 15´ 16”
c) 125° 34´ 34”
Solución:
a) 38° planteamos una regla de tres simple así:
180° rad entonces x= 38° rad/180° =19 rad/90
38° x
X=19(3,1416rad)/90= 0,6632rad

12. Luis Gonzalo Revelo Pabón 12
Dpto. de Matemáticas - Goretti
b) Para convertir 238° 15´ 16” lo primero que se debemos hacer es convertir esta magnitud
angular dada en Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales, ya que al quererlo re-
solver directamente no se lo puede realizar.
238° 15´ 16” = 238° + 15´ + 16”
= 238° + 15( )° + 16( )°
= 238° + 0,25° + 0,0044°
= 238,294°
Ahora 238,294° que son grados decimales los convertimos a radianes
180° 3,1416 rad entonces x = 238,294°(3,1416 rad)/180°
238,294° x
.x =4,1590 rad
c) Para convertir 125° 34´ 34” lo primero que se debemos hacer es convertir esta magnitud
angular escrita en Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales, ya que al quererlo
resolver directamente no se lo puede realizar.
125° 34´ 34” = 125° + 34´ + 34”
= 125° + 34( )° + 34( )°
= 125° + ° + 0,5666° + 0,009°
= 125,5756°
Ahora 125,5756° que son grados decimales los convertimos a radianes
180° 3,1416 rad entonces x = 125,5756°(3,1416 rad)/180°
125,5756° x
.x =2,19 rad

13. Luis Gonzalo Revelo Pabón 13
Dpto. de Matemáticas - Goretti
TALLER
1.- Convertir los siguientes grados sexagesimales a radianes.
a) 34°
b) 123° 25´ 46”
c) 205° 22´ 43”
2.- Convertir los siguientes radianes a grados sexagesimales
a) 2,14 rad
b) 5,345 rad
c) 1,5 rad