1. T R I G O N OM ET R I A
1.- ANGULOS
Existen tres sistemas de medición de ángulos que se emplean comúnmente:
a) Sistema sexagesimal: la unidad de medida es el grado sexagesimal (1°). Esta unidad
corresponde a la medida de un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la
trescienta sesenta ava parte de la circunferencia.
Cada ángulo se subdivide en 60 parte iguales, cada una de las cuales corresponde
a un ángulo de un minuto (1’).
1° = 60’ y 1’ = 60’’ ⇒ 1° = 60’ = 3600’’

2. G
b) Sistema centesimal: la unidad de medida es el grado centesimal (1 ). Esta unidad
equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la cuatrocienta ava
parte de la circunferencia.
G m
Un grado centesimal (1 ) se subdivide en 100 minutos centesimales (100 ).
1 = 100 y 1 =100 ⇒ 1 = 100 = 10.000
G m m s G m s
c) Sistema radial: En este sistema la unidad de medida es el radian ( 1 rad ). Esta
unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual
al radio de la circunferencia.
π
360° = 2π rad ; 180° = π rad ; 90° = rad
2
π π π
60° = rad ; 45° = rad ; 30° = rad
3 4 6

3. Si se consideran las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, se
observa que con ellas se pueden formar 6 razones que es necesario distinguir.
Sea ∆ABC rectángulo en C, de modo que sus lados miden a , b , c y el
ángulo opuesto al cateto de medida a mide α; entonces las razones entre las
medidas de los diferentes lados se denominan:
B
a c
C b A

4. cateto opuesto a α a
sen α = =
hipotenusa c
cateto adyacente a α b
cos α = =
hipotenusa c
cateto opuesto a α a
tgα = =
cateto adyacente a α b
cateto adyacente a α b
cot α = =
cateto opuesto a α a
hipotenusa c
sec α = =
cateto adyacente a α b
hipotenusa c
cos ec α = =
cateto opuesto a α a

5. 3.- Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Para los ángulos agudos α y β de un C
triángulo ABC rectángulo en C, como
el de la figura
Podemos constatar que se cumplen las A B
siguientes igualdades:
a a c
sen α = cos β = tg α = cot g β = sec α = cos ec β =
c b a
b b c
cos α = sen β = cot g α = tg β = cos ec α = sec β =
c a a
π π π
α + β = 90° y 90° = rad α = 90° − β = −β y β = 90° − α = −α
2 2 2

6. Por lo tanto, también podemos escribir :
π  π 
sen α = cos (90° − α )= cos − α  cos α = sen(90° − α )= sen − α 
2  2 
π  π 
tgα = cot g (90° − α )= cot g  − α  cot g α = tg (90° − α )= cot g  − α 
2  2 
π  π 
secα = cosec (90° − α )= cosec   cosecα = sec (90° − α )= sec − α 
 2 2 

7. 4.- La circunferencia goneométrica
Toda circunferencia cuyo radio se considera
de medida unitaria (1u) y que tiene su centro
1
ubicado en el origen O(0,0) de un sistema de
ejes coordenados perpendiculares. senα 1
α
De donde se puede obtener lo siguiente: -1 cos α 1
cos α = x ; sen α = y
sen α cosα
tg α = ; cot gα = -1
cosα sen α
1 1
secα = ; cos ecα =
cosα sen α
1 1
tg α = ; cot gα =
cot gα tg α

8. θ sen θ cos θ tg θ cotg θ sec θ cosec θ
No está No está
0° 0 1 0 definida 1 definida
No está No está
90° 1 0 definida 0 definida 1
No está No está
180° 0 -1 0 definida -1 definida
No está No está
270° -1 0 definida 0 definida -1
No está No está
360° 0 1 0 definida 1 definida

9. 5.- Razones trigonométricas de ángulos notables (30°, 45° y 60°)
Para encontrar los valores de las funciones de 30° y 60° se debe
considerar la construcción de un triángulo equilátero; y para hallar los valores
de las funciones de 45° se construye un triángulo rectángulo isósceles
De dicho análisis se obtienen el siguiente cuadro resumen:
θ sen θ cos θ tg θ cotg θ sec θ cosec θ
30° 1 3 3 3 2 3 2
2 2 3 3
45° 2 2 2 2 1 1 2 2
60° 3 1 3 3 2 2 3
2 2 3 3

10. Ejemplo
Hallar el valor numérico de la expresión:
 3   π π
 tg 60° ⋅ sec 30° − ⋅ sen 45° ⋅ sec 45° ⋅ cos ec 60°  ⋅  cos ec + tg 
 2   6 3
=

(

) (
 3⋅2 3 − 3⋅ 2 ⋅ 2⋅2 3 2+ 3 = 2− 3 ⋅ 2+ 3 )( )
 3 2 2 3  
= (2)2 − ( 3) = 1
2

11. 6.- Signos de las funciones trigonométricas
En la tabla siguiente se muestra el signo de los valores de las funciones
trigonométricas en los cuatro cuadrantes:
CUADRANTE SEN θ COS θ TG θ COTG θ SEC θ COSEC θ
I + + + + + +
II + - - - - +
III - - + + - -
IV - + - - + -
y
( +) ( +)
II I
(-) (+ )
(-) 0 (+) x
III IV
( -) (-)

12. 9.- La Función y = sen x

13. 10.- La Función y = cos x

14. 11.- La Función y = tg x

15. 12.- Identidades Trigonométricas
En el siguiente cuadro se reúnen y se nombran las 17 identidades
fundamentales

16. 13.- Expresión de una razón trigonométrica en función de otra
sen cos tg cotg sec cosec
tg α 1 sec α − 1
2 1
α
sen (α) sen α 1 − cos 2 α
1 + tg α 2
1 + cot g α2
sec α cos ec α
1 cot g α 1 cos ec 2α − 1
α
cos (α) 1 − sen 2 α cos α
1 + tg α 2
1 + cot g α2
sec α cos ec α
sen α 1 − cos 2 α 1 1
α
tg (α) tg α sec 2 α − 1
1 + sen α2
cos α cot g α cos ec 2 − 1
1 − sen 2 α cos α 1 1
α
cotg (α) cot g α cos ec 2α − 1
sen α 1 − cos α2
tg α sec 2 − 1
1 1 1 + cot g 2α cos ec α
α
sec (α) 1 + tg 2 α sec α
1 − sen α2
cos α cot g α cos ec 2 − 1
1 1 1 + tg 2 α sec α
α
cosec (α) 1 + cot g 2α cos ec α
sen α 1 − cos α2
tg α sec 2 − 1

17. 14.- Identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos
sen (α + β )=
sen α ⋅ cos β + sen β ⋅ cos α
sen (α − β )=
sen α ⋅ cos β − sen β ⋅ cos α
cos (α + β )=
cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β
cos (α − β )=
cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β
tg (α + β ) = tg α + tg β
1 − tg α ⋅ tg β
tg α − tg β
tg (α − β ) =
1 + tg α ⋅ tg β

18. 1 5 .- Id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s p a r a e l d o b le d e u n á n g u lo
a) sen 2 α = 2 sen α ⋅ cos α
b) cos 2 α = cos 2 α − sen 2
α
2 tg α
c) tg 2 α =
1 − tg 2 α

19. 16 .- Identidades trigonométricas para el valor medio de un
ángulo
α 1 − cos α
a) sen =±
2 2
α 1 + cos α
b) cos =±
2 2
α 1 − cos α
c) tg =±
2 1 + cos α

20. 17.- Suma y diferencia de razones trigonométricas de dos
ángulos
α+β α−β
a ) sen α + sen β = 2 sen ⋅ cos
2 2
α+β α−β
b) sen α − sen β = 2 cos ⋅ sen
2 2
α+β α−β
c) cos α + cos β = 2 cos ⋅ cos
2 2
α+β α−β
d) cos α − cos β = −2 sen ⋅ cos
2 2
sen (α + β )
e) tg α + tg β = −
cos α ⋅ cos β
sen (α − β )
f) tg α − tg β = −
cos α ⋅ cos β