Este documento trata sobre geometría y ángulos. Explica que un ángulo está formado por dos rayos que tienen el mismo origen. Luego describe el sistema de medidas sexagesimales utilizado para medir ángulos y define los diferentes tipos de ángulos según sus medidas y posiciones de sus lados. Finalmente, presenta teoremas y propiedades sobre ángulos paralelos, perpendiculares y complementarios.

1. MÓDULO 03 : GEOMETRÍA
SESIÓN 13: ÁNGULOS Y ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
ANGULO
Es una figura geométrica formada por dos rayos que tiene el mismo origen.A dichos rayos se
les denomina lados y al origen común vértice del ángulo.
SISTEMA DE MEDIDAS SEXAGESIMALES
Es el sistema de medidas más utilizado en el mundo para las aplicaciones de ingeniería,
topografía y navegación.
En este sistema definimos al ángulo como la enésima parte de 360, es decir: n/360.
La unidad de medida es el Grado Sexagesimal (°).
EQUIVALENCIAS:
1° <> 60’
1’ <> 60´’
1° <> 3600’’
Ejemplo 01: Un ángulo mide 80°, expresar dicha medida en grados, minutos y segundos.
80° = 79° + 1°
80° = 79° + 60’
80° = 79° + 59’ + 1’
80° = 79° + 59’ + 60’’
Rpta. 80° = 79°59’60”.
a) Según sus medidas:
Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°.

2. Angulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°
Angulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida
es mayo que 90° y menor que 180°.
Ángulo Llano: Es aquel ángulo que mide 180°.
Angulo de una vuelta: Es aquel ángulo que mide 360°.
b) Según la posición de sus lados:
Ángulos Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados
a distinto lado de un lado común.
c) Según la suma de sus medidas.
Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90°.
Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos
cuya suma de sus medidas es igual a 180°.

3.   
vecesn""
90CCCCCCC..... 



  
vecesn""
SSSSS...SS
TEOREMAS IMPORTANTES
Si: C = complemento y S = suplemento, entonces, se cumple que:
1° Cuando “n” es impar”
2° Cuando “n” es par
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es aquel rayo ubicado en la región interior del ángulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo
y que forma con sus lados, ángulos de igual medida.
Ángulos Consecutivos: Se denominan así a dos o más ángulos que son adyacentes con su
inmediato.
Ángulos Opuestos por el Vértice: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además los
lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario.
  
vecesn""
-180SSS...SSSSS 



  
vecesn""
CCCCCC...CC

4. 
 40
278
|50
175
150
...... SSSCCSSCCCCCCSSSSS
vecesveces
    
EJEMPLO 01: Halla el complemento del
complemento del complemento de 65°.
Resolución:
Sea: Complemento = C, entonces:
CCC (65°) = CC (25°) = C (65°) = 25°
EJEMPLO 02: Halla el suplemento del
suplemento del suplemento de 78°.
Resolución:
Resolución:
Sea: Suplemento = S, entonces:
SSSS (78°) = SSS (102°) = SS (78°)
= S (102°) = 78°
EJEMPLO 03:
Resolución:
a) (175 veces S-impar) 180° - 150°= 30°
b) (278 veces C- par) 90° - 50° = 40°
c) SSSCCSSC40° = SSSCCSS (50°)
= SSSCC (50°)
= SSS (50°)
= 130°.
d) Finalmente, se obtiene:
30° + 40° + 130° = 200°.
EJEMPLO 04:
Halla el valor de “x” en la siguiente gráfica:
Resolución:
Por ser un ángulo de una vuelta, se tiene:
x + 2x + x + 30° + 100° + 110° = 360°
4x = 360° - 240° = 120°
x = 30°
Z0NA DE ACTIVIDADES

5. 01. Transformar las siguientes medidas de ángulos a grados sexagesimales.
1. 54º57’36’’ 7. 9º31’16’’
2. 95º42’59’’ 8. 39º29’18’’
3. 5º36’ 9. 27º32’25’’
4. 146º35’34’’ 10. 167º36’28’’
5. 62º28’42’’ 11. 146º59’47’’
6. 57º25’15’’ 12. 290º38’50’’
02. Transformar las siguientes medidas de ángulos a grados, minutos y segundo
sexagesimales.
1. 26,345º 7. 45,600º
2. 55,2º 8. (26,53/2)º
3. 189,25º 9. 158, 58º
4. 54, 30º 10. 169,211º
5. 175,325º 11. 585,18º
6. 365,0185º 12. 12, 525º
03. Calcular:
1. La medida del complemento de 63º
2. La medida del suplemento de 147°
3.El complemento del suplemento de 158°
4.El suplemento del complemento de 26°
5.El CS 2
1
100° (el complemento de la mitad del suplemento de 100º)
6. º18C2 (La raíz cuadrada del doble del complemento)
7. S - C + 10°
8. 725
1503
C
ºS
9. SC (4x)
04. Resolver:
a) ¿Qué Ángulo gira el minutero de un reloj en 36 minutos?
b) ¿Qué ángulo genera el minutero de un reloj en 18 minutos?
c) ¿Qué ángulo genera el minutero de un reloj en72 minutos?
d) La mitad de un ángulo es igual a cinco veces la medida de su complemento. ¿Cuánto
mide el ángulo?
e) Uno de los ángulos formados por dos rectas que se cortan mide 36º36’ ¿Cuánto
mide el ángulo?
f) ¿Cuál es el suplemento de un ángulo cuyo complemento es el cuádruple del ángulo?
g) La diferencia de dos ángulos complementarios es de 64º26’, determina el valor del
ángulo mayor.
h) Halla el complemento del suplemento de un ángulo de 125º24’.

6. i) ¿Cuánto mide el ángulo que mide igual que su complemento?
j) Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 10º para agregarle al otro,
este último ángulo resulta ser 5 veces lo que queda del primero. ¿Cuánto mide cada
ángulo?
k) Dos ángulos complementarios son entre si como 8 y 12. ¿Cuánto mide los ángulos?
05. Calcular el valor de “” en:
 + C + CC CCC + CCCC= 215
06. La diferencia de las medidas de los complementos de dos ángulos es 40 y la suma de las
medidas de sus suplementos es 260º. Hallar la medida del menor.
07. El doble de la medida del suplemento del doble de la medida del complemento de un
ángulo es igual a 38 averiguar la medida del complemento de la mitad de la medida del
suplemento de dicho ángulo.
08. Las medidas de dos ángulos son como 2:3 y las medidas de sus complementos son como
6:7. Calcular la relación que existe entre las medidas de sus suplementos.
09. Encuentra imágenes geométricas diversas, pégalas en tu cuaderno y señala los ángulos
que puedas encontrar.
ÁNGULOS ENTRE RECTAS
Rectas Paralelas Rectas Secantes Rectas Perpendiculares
Dos o más rectas
son paralelas si no
tienen ningún punto
común.
Dos o más rectas son secantes si
tienen un punto en común entre
ellas, pueden ser oblicuas o
perpendiculares
Dos rectas son secantes y
perpendiculares cuando su
intersección forma un ángulo recto
(90°).
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS Y UNA SECANTE
Dados dos rectas: L1 y L2, intersecadas por una recta L3:
Se generan los siguientes ángulos:
Correspondientes Alternos Conjugados
La medida de estos
ángulos son iguales.
1 = 5
2 = 6
4 = 8
3 = 7
Los ángulos que se encuentran
dentro de las paralelas se
denominan alternos internos y los
que están fuera alternos externos.
Se caracterizan porque tienen
igual medida
- alternos internos:
3 = 5
4 = 6
La suma de dos ángulos
conjugados miden 180°. Los que
están dentro de las paralelas son
conjugados internos y los que
están fuera de ella conjugados
externos
- Conjugados internos:
3 + 6 = 4 + 5 = 180°
- Conjugados externos:

7. - alternos externos:
1 = 7
2 = 8
1 + 8 = 2 + 7 = 180°
ÁNGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
1° Ángulos de lados paralelos
Caso 01 Caso 02 Caso 03
ÁNGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
2° Ángulos de lados perpendiculares
Caso 01 Caso 02 Caso 03
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

8. EJEMPLO 01).-En la figura calcula “x”, si

21 L//L .
Solución:
180° - 4x° + 180 – 5x° = 90°
360° - 9x° = 90
270° = 9x°
30° = x°
EJEMPLO 02). Calcula “x”, si :

21 L//L .
Solución:
* Aplicando“serrucho” :
20° + x° + 30° = 60° + 50°
50° + x° = 110°
x° = 60°
EJEMPLO 03). Calcula “x”, si :

21 L//L .
Solución:
* Por ángulos conjugados externos:
Paso I Paso II
4 + 8 = 180° 10 + x = 180°
12 = 180° 150° + x = 180°
 = 15° x = 30°
EJEMPLO 04). Calcula “x”, si :

21 L//L .
Solución:
* Por ángulos conjugados internos:
2 + 2 = 180°
 +  = 90°
* Por propiedad:
x =  +
x = 90°
4x°
5x°
180° - 4x°
180° - 5x°
4x°
5x°
20°
50°
30°
8 10
4 x
x°





9. EJEMPLO 05). Calcula “x”, si :

21 L//L .
Solución:
Se pide “x”:
2 + 2 = 90°
 +  = 45°
 +  = x° ; x = 45°
01. Calcula el valor de: “”, si: L1 // L2.
02. Si: L1 // L2, calcula el valor de “x”.
03. En la gráfica, L1 // L2, calcula “x”.
04. Calcula el valor de “x”, si: L1 // L2.
2
2 
2

2
 2

10. 05. Halla: “”, si: L1 // L2.
06. Calcula “x”, si: L1 // L2.
07. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC que se diferencian en 38°. Calcula la
medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB.
08. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Siendo: 2(AOB) = 3(COD); AOD =
92° y BOD = 76°. Halla la medida del ángulo BOC.
09. Halla BOZ, si: AOB – BOC = 30°
10. Si: L1 // L2, calcula: x/y.

11. 11. Calcula el valor de “x”, si: L1 // L2.
12. Calcula “”, si: L1 // L2.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).-Halla “x”, si OB es bisectriz del ánguloAOC.
Solución:
Se pide “x”
4x° 20°
A
B
C
D
0
4x°
4x° 20°
A
B
C
D
0

12. A




B
C
P
R
4x + 4x +20 = 180°
8x = 160°
x = 20°
2).-La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es igual a 140°. Calcula la medida del
ángulo mencionado.
Solución:
Que sea “x” el ángulo
CX + SX = 140°
90° – x +180° – x = 140°
130° = 2x
65° = x
3).-Si el suplemento del complemento de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el suplemento
y el complemento del mismo ángulo. Calcula la medida del ángulo.
Solución:
Que sea “x” el ángulo.
SC(X) =
2
3
(S(X) – C(X))
180° - (90° - x) =
2
3
(180° - x –(90° - x))
90° + x =
2
3
(90°)
90° + x = 135°
x = 45°
4).-Calcula la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos adyacentes suplementarios.
Solución:

13. Se pide “ +”
2 + 2 = 180°
 +  = 90°
5).-Dos ángulos son complementarios.Si a uno de ellos se le suma 14° y al otro 6°, este ultimo es los 6/5
de lo que resulta al primero. Calcula el complemento del mayor ángulo.
Solución:
*Sean los ángulos:  y 90° - 
*  + 14° * 90° -  + 6°
 + 14° = 6/5(90° -  + 6°)
5 + 70° = 576 - 6
11 = 506°
 =
11
506
 = 46°
 90° - 46° = 44°
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02
1).-Calcula el complemento de 20°, más el suplemento de 110°.
a) 140° b) 130° c) 120°
d) 90° e) 70°
2).-Si el complementodel suplemento de la medida de un ángulo es igual a 10. Calcula la medida de dicho ángulo.
a) 80° b) 90° c) 100°
d) 50° e) 40°

14. 3).-El triple de la diferencia entre el suplemento de “x” y el complemento de “x” es igual al doble del
suplemento del complemento del doble de “x”.
Calcula “x”.
a) 90° b) 45° c) 30°
d) 60° e) 45/2°
4).-En la siguiente figura calcula la medida del ángulo “x”, s i mAOC = 140° y mBOD = 120°.
a) 80° b) 90 ° c) 100°
d) 120° e) 140°
5).-Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
Si:mBOC= 100°, sabiendoque AOB, BOCyCOD son tres ángulos consecutivos a un lado de una recta.
a) 100° b) 95° c) 130°
d) 140° e) 145°
6).-Calcula la medida de unángulosabiendoque la diferencia entre el suplemento ysu complemento es seis veces
la medida de dicho ángulo.
a) 20° b) 40° c) 50°
d) 30 ° e) 15°
7).-Dos ángulos adyacentessuplementarios están en relación de 4 a 5. Calcula la medida del menor ángulo.
a)100° b) 80° c) 70°
d) 85° e) 75°
A
B C
D
x°
O

15. 8).-Si al suplemento del doble de un determinado ángulo le restamos su complemento, obtenemos la
quinta parte de dicho ángulo. Calcula el suplemento del complemento del ángulo.
a) 95° b) 120° c) 165°
d) 110° e) 80°
9).-Si a unángulose le resta sucomplementoresulta otroá nguloigual a la cuarta parte de susuplemento. Calcula
dicho ángulo.
a) 50° b) 40° c) 80°
d) 60° e) 70°
-
10).-Se tienensucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOC = 80° y mBOD = 60°.
Calcula la medida del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
a) 80° b) 65° c) 70°
d) 50° e) 75°
11).-Se tienensucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que, mAOC = 62°; mBOD = 58°;
mAOD = 92°. Calcula la medida del ángulo BOC.
a) 34° b) 28° c) 30°
d) 22° e) 26°
12).-Calcula “x”.
a) 40°
b) 30°
c) 60°
d) 80°
e) 70°
120°
150°
2x°x°

16. 13).-Calcula “x”.
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
e) 70°
14).- Del gráfico calcula “x”
a) 100°
b) 114°
c) 120°
d) 126°
e) 136°
15).-Siendo la mAOC = 4(mAOB), calcula la mAOB.
a) 12°
b) 36°
c) 30°
d) 18°
e) 15°
6
3
x°
O
36
A
B
C
x
8
3

17. 16).- Si x = 18°, calcula “r”.
a) 5°
b) 9°
c) 10°
d) 8°
e) 30°
17).-¿A qué ángulose le debe sumar sucomplementodel doble del ángulopara obtener el doble del complemento
de dicho ángulo?
a) 80° b) 90° c) 70°
d) 60° e) 45°
18).- En la figura adjunta:x – y= 12°, hallael valor de “a”.
a) 11°
b) 12°
c) 13°
d) 14°
e) 15°
19).- Según el gráfico, calcula “x” , si: m BOD = 40° y x -  = 20°.
a) 25° b) 30° c) 35°
d) 40° e) 45°
20).- Si: ° - ° = 18° y m<COD = 100°. Calcula x.
°
B
°
x°
D
C
A
O
x+4rx
x+3rx+2r
x+r
a
2a y
x

18. a) 49°
b) 57°
c) 68°
d) 59°
e) 71
21).- En la figura mostrada; Calcula la medida del ángulo AOB. Si: m POR = 100°, OP es la
bisectriz del ángulo MOB, ORes la bisectriz del ángulo AON.
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
22).- Según el gráfico, si mAOE = 90°
mAOB + 2(mDOE) = 70°
Calcula “2 - ”
a) 35°
b) 36°
c) 30°
c) 45°
e) 40°
23).- Los ángulos consecutivos AOB y BOC forman un ángulo que mide 130°. Calcula la medida del
ángulo formado por las bisectrices de dichos ángulos.
a) 65° b) 90° c) 55°

C


E
D
A

B
O
M
P
B
A
R
NO
x

B
D
A
C
o

19. d) 60° e) 45°
24).- Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, se cumple que: mAOC = mBOD = 70°.
Calcula la medida del ánguloformadopor lasbisectrices de los ángulos AOB yCOD.
a) 35° b) 80° c) 140°
d) 60° e) 70°
25).- En los ángulos consecutivos AOB yBOCse cumple que mBOC= 30°, ademásla medida del ángulo AOC es el
suplemento del doble del ángulo AOB. Calcula la medida del ángulo AOB.
a) 50° b) 40° c) 60°
d) 80° e) 120°
SABIAS SOBRE: EL ALFABETO GRIEGO
 = alfa  = nu
 = beta ξ = xi
 = gamma  = omicrón
 = delta  = pi
ε = epsilón  = rho
 = zeta  = sigma
 = eta  = tau
 = theta  = ipsilón
 = iota  = phi
 = kappa  = ji
 = lambda  = psi

20.  = mu  = omega
III. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
1. RECTAS PERPENDICULARES
1.1. DEFINICIÓN.
Se dice que dos rectas sonperpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Cada uno es un
ángulo recto. El símbolo de perpendicular es: 
Si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dice que son oblicuas.
2. RECTAS PARALELAS
2.1. DEFINICIÓN
Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarse no tienen ningún punto común.
El paralelismotiene la Propiedad Recíproca, es decir:si una recta es paralela a otra, esta otra es paralela a la
primera.
El símbolode rectas paralelas es // .
Si :  = 90°  1L

// 2L

.



1L

 2L


21. O también las rectas paralelas se pueden expresar de la siguiente manera:
3. RECTAS SECANTES
3.1. DEFINICIÓN
Dos rectas en un plano son secantes cuando tienen un punto en común.
4. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE
Dos rectas paralelas al ser cortadas por una tercera recta (llamada recta secante) determinan ángulos
especiales por la posición de uno respecto al otro.
Si:
Los cuatroángulos determinados en la recta L1 se relacionan conlos cuatro ángulos determinados en la recta L2
formando parejas que reciben nombres específicos.
O OLL 21


1
2
3
4
5
8
6
7
L1
L2
L1 // L2

22. Es importante identificar tales parejas y conocer sus propiedades.
Los ángulos formados son:
4.1.- Ángulos Alternos Internos:
A uno y otro lado de la secante y entre las paralelas. Son pares de ángulos de igual medida.
Estos son: 3 y  5 ;  4 y  6
4.2.- Ángulos Alternos Externos:
A uno y otro lado de la secante y fuera de las paralelas. Tienen igual medida.
Estos son: 1 y  7 ;  2 y  8 .
4.3.- Ángulos Correspondientes:
A un solo lado de la secante, uno fuera y otro entre las paralelas. Tienen igual medida.
Estos son: 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8.
4.4.- Ángulos Conjugados Internos:
A un sololadode la secante yentre las paralelas. Sonsuplementarios.
Estos son: 3 y 6 ; 4 y 5.
4.5.- Ángulos Conjugados Externos:
A un sololadode la secante yfuera de lasparalelas. Sonsuplementarios.
Estos son: 1 y 8 ; 2 y 7.
5. PROPIEDADES
a) Si:

21 L//L
* Generalizando:
x =  + 

x


23. a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = 180°
b) Si:

21 L//L
a1
a2
a3
a4
an
a
x
b
c
z
y
a + b + c = x + y + z

24. PROBLEMAS RESUELTOS
1).-En la figura calcula “x”, si

21 L//L .
Solución:
 Por la 1ra propiedad:
180° - 4x° + 180 – 5x° = 90°
360° - 9x° = 90
270° = 9x°
180° - 4x°
180° - 5x°
4x°
5x°
4x°
5x°

25. 30° = x°
2).-Calcula “x”, si :

21 L//L .
Solución :
* Aplicando“serrucho” :
20° + x° + 30° = 60° + 50°
50° + x° = 110°
x° = 60°
3) Calcula “x”, si :

21 L//L .
8 10
4 x
20°
60°
x°
50°
30°

26. Solución:
* Por ángulos conjugados externos:
Paso I Paso II
4 + 8 = 180° 10 + x = 180°
12 = 180° 150° + x = 180°
 = 15°
x = 30°
4) Calcula “x”, si :

21 L//L .
Solución:
* Por ángulos conjugados internos:
2 + 2 = 180°
 +  = 90°
* Por propiedad:
x =  +
x = 90°
5).-Segúnel gráfico, calcula “x”,
si:

21 L//L .
x°





27. Solución:
Se pide “x”:
2 + 2 = 90°
 +  = 45°
 +  = x°
2
 2
2 
2

2
 2

28.  45° = x
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03
1).-Calcula “x”, si:

21 L//L
a) 70° b) 75° c) 90°
d) 80° e) 100°
2).-Calcula “x”, si:

21 L//L .
a) 25° b) 20° c) 10° d) 5° e) 15°
3).-Calcula “
y
x
” , si:

21 L//L .
x°
150°
4x°
60°
x°
130°
25°
y°
30°
40°
50°
x°

29. a) 8 b) 3 c) 6
d) 5 e) 2
4).-Calcula “x+ y - w” , si :

21 L//L
a) 40° 45° c)50°
d) 55° e) 60°
5).- Halla “”, si:L1 // L2.
a) 71° b) 75° c) 73°
d) 77° e) 79°
6).-Calcula la suma de “x”, “y” y “w”.
130° w
y
x
1L

2L

°
m+30°
50°
2m+5°

30. a) 210° b) 145° c) 150°
d) 155° e) 160°
7).- En la figura. Si: 21 L//L

, calcula “x”.
a) 18° b) 20° c) 22°
d) 16° e) 24°
8).-Calcula la suma de “x”, “y” y “z”.
a) 140° b) 235° c) 150°
d) 255° e) 260°
9).-Calcula la suma de “r”, “s” y“t”.
w
y
70°
x
55°
x
y
z
40°
60°
r
s
t
x°
2x°
3x°
4x°

31. a) 240° b) 245° c) 300°
d) 295° e) 360°
10).-Calcula“d”.
a) 110° b) 145° c) 150°
d) 155° e) 160º
11).-Calcula “x”, si :

21 L//L .
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
12).-Calcula“”, si :

21 L//L
a) 40° b) 45° c) 50°
d) 55° e) 60°
150°
100°
d
60
°
80
°
2x°
5 + 90°
7

32. 13).-Calcula “x”.
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
14).-Calcula“x”, si:

21 L//L .
a) 20° b) 30° c) 18°
d) 50° e) 60°
15).- Calcula “x” si: 21 L//L

.
a) 30° b) 45° c) 55°
d) 65° e) 60°
16).- En la figura. Si: 21 L//L

, calcula “x”.
a) 15° b) 18° c) 12°
d) 20° e) 30°
16
2
x
(4x – 5)°
(6x + 5)°
30°
x°
x°
2x°
3x°

33. 17).-En la figura. Si: 21 L//L

,calcula“”.
a) 10° b) 12° c) 13°
d) 15° e) 16°
18).- Halla “”, si:L1 // L2
a) 110° b) 120° c) 130°
d) 140° e) 150°
19).- Calcula ”x”.
a) 70° b) 90° c) 80°
d) 100° e) 120°
20).- Calcula “x”, si: 21 L//L

.
°
3
°
2
°
4
°
160°
2
x°
°
65°
a°
40°+a°
15°
x°
3a
100°
a


34. a) 10° b) 15° c) 35°
d) 65° e) 25°
21).- Si: AB// CD . Calcula C(x).
a) 10° b) 15° c) 25°
d) 30° e) 36°
22).- Si: L1//L2, calcula “x”
15
°
130
°
x°
D
BA
C
3x-10
x+1
0
x
L2
L1
x-10
2x-10
x+
5

35. a) 10° b) 12° c) 15°
d) 20° e) 21°
23).- En la figura: Halla ““. Si: m // n.
a) 15º b) 20º c) 25º
d) 30º e) 40º
24).- Según la figura

21 L//L , calcula “x”.

5
2
m
n
40°
L1
L2
x40°



36. a) 10° b) 5° c) 15°
d) 20° e) 30°
25).- Calcula “” . Si: L1 // L2.
a) 130° b) 110° c) 120°
d) 100° e) 140°
26).- Según el gráfico

21 L//L . Calcula “x”.
x
L1
L2




3x
30° 100°
°
60°
L1
L2

37. a) 18° b) 36° c) 35° d) 20° e) 40°
27).- Halla “x”, si: a + b = 280° y L1 // L2
a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 25º
28).- Si: L1// L2. Halla ““.
180° - x
a°
b°
L1
L2
160° 
L1


L 2
160°


38. a) 10° b) 20° c) 22° d) 24° e) 30°
29).- Calcula ““, si L1 // L2.
a)15º b) 20º c) 30º
d) 36º e) 10º
5
4



L1
L2

39. SESION DOMICILIARIA 13:
ÀNGULOS Y PARALELAS
26).- La suma del suplemento de un ángulocon el complementode suángulo triplees igual a 7/4 del suplemento
del complemento de su ángulo doble. Calcula la medida de dicho ángulo.
a) 18° b) 40° c) 15°
d) 30° e) 28°
27).- Calcula “x”.
a) 120° b) 125° c) 130° d) 135° e) 140°
28).- Si el complemento delsuplementodel suplementodel complemento de cierto ángulo mide 20°. Halla el
suplemento del complemento de dicho ángulo.

°

° 
°
°
X
°

40. a) 18° b) 110° c) 15° d) 30° e) 28°
29).- Si al suplemento del suplementode unángulose le agrega el complementodel complementodel mismo, se
obtiene el cuádruple del complemento de dicho ángulo. Halla la medida de dicho ángulo.
a) 18° b) 40° c) 15° d) 60° e) 28°
30).- Se trazanlos ángulos adyacentesAOB yBOC. Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices de
AOB y AOC. Si: mBOC = 80°
a) 40° b) 30° c) 20°
d) 10° e) 5°
31).- Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC de manera que, si: OM es bisectriz del <BOC y m<AOB +
m<AOC = 136º.
Calcula la m<AOM.
a) 24° b) 36° c) 42°
d) 48° e) 68°
32).- La suma de los suplementos de dos ángulos es 230° y la diferencia de sus complementos es 40 °.
Halla los ángulos.
a) 35º y 75º b) 37º y 77º
c) 44º y 84º d) 45º y 85º
33).- El suplemento de un ángulo “x” es igual al complemento del ángulo “y”. Calcula el complemento de
la diferencia entre los ángulos “x” e “y”.
a) 45° b) 90° c) 0°
d) 120°e) 50°
34).- El suplemento delcomplementode un ánguloexcede en 60° a la mitaddel complementodel suplementode 4
veces el mismo ángulo, halla el ángulo.
a) 30° b) 75° c) 55°
d) 60° e) 36°

41. 35).- Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD . Se trazan OP y OQ bisectrices de AOB y COD
respectivamente. Halla la medida de POQ. Si: AOC + BOD = 80º
a) 30º b) 20º c) 35º
d) 40º e) 15º
36).- Calcula “x”.
a) 120° b) 125° c) 130° d) 135° e) 140°
37).- En la figura OMes bisectriz del ángulo AOC. Calcula la medida del ángulo COD.
A
M
B
D
O
C
3°

°

° 
°
°
X
°

42. a) 90 -
2
3 b) 45 + 3 c) 3 d) 6 e)
2
3