Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.

1. EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA
ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA
Clase Nº 2: SISTEMA DE ECUACIONES
Prof. Christian Farinango
www.eduvirtual.tk
14/10/2010
A breves rasgos, con ejemplos sencillos y ejercicios de afianzamiento, se pretende introducir al
estudiante en el mundo de los sistemas de ecuaciones por los métodos de Eliminación,
Sustitución, Igualación y Gráfico, muy necesarios como base en el estudio del algebra. Este
documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere decir que puede hacer uso del
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2. Sistemas de Ecuaciones Lineales:
1. Método de Eliminación: Consiste en Eliminar una incógnita del sistema de ecuaciones
dado.
Ejemplo:
a) 3 2 13
b) 2 3 12
Para eliminar la incógnita “Y” debemos multiplicar a cada ecuación:
(-3) 3 2 13
(2) 2 3 12
Quedando de la siguiente manera:
9 6 39
4 6 24 Procedemos a restar:
5 15 Despejamos:
X=3
ESTE VALOR DE LA INCÓGNITA LOS REEMPLAZAMOS EN CUALQUIER ECUACIÓN Y
DESPEJAMOS:
3 2 13
2 13
2 13
2. Método de Sustitución:
i) Despejar una incógnita en cualquier ecuación.
ii) Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación y
resolvemos.
Ejemplo:
a) 3 2 13
b) 2 3 12
Despejamos “Y” en la ecuación a)
Sustituimos en la ecuación b) m.c.m. = 2 2 3 12
Resolvemos: 2 2 3 12

3. 4 + 3 13 − 3 = 24
4 + 39 − 9 = 24
−5 = 24 − 39
−5 = −15
=3
Una vez encontrado el valor de una incógnita procedemos como el caso anterior a
reemplazarla en cualquier ecuación o en la ecuación despejada y resolvemos.
13 −
=
2
13 −
=
2
=
2
=
3. Método de Igualación:
i) Despejar una incógnita en las 2 ecuaciones.
ii) Igualar las dos ecuaciones despejadas y resolver.
Ejemplo:
− =
− + =
Despejamos: = − =
Igualamos: =
m.c.m. = 2 − =
Resolvemos: − = +
− = +
− = +
=
Reemplazamos para encontrar Y: = −
= −
= −
=

4. 4. Método Gráfico.- Graficamos cada ecuación y los puntos (X ; Y) donde se intersecan las
rectas, son las soluciones al sistema.
Ejemplo:
a) 3 2 13
b) 2 3 12
Construimos las tablas de cada ecuación:
Dando Valores de 0 para X y 0 para Y en cada Ecuación.
Ecuación a) Ecuación b)
X Y X Y
0 13/2 = 0 4
6,5 6 0
13/3 = 0
4,33
Ejemplos de Cálculo:
Ecuación a): Ecuación b):
X=0 X=0
3(0)+2y=13 2(0)+3y=12
2y=13 3y=12
Y=13/2 y=12/3
Y = 6,5 y=4
Y=0 Y=0
3x+2(0)=13 2x+3(0)=12
3x=13 2x = 12
X=13/3 x=12/2
X = 4,33 x=6
Graficamos:
Solución: X=3 Y=2 Estos son los puntos donde se intersecan las ecuaciones.

5. Casos particulares:
EL SISTEMA TIENE VARIAS SOLUCIONES: Cuando las rectas de sus dos ecuaciones coinciden en
todos sus puntos. Ejemplo:
2 3 6
4 6 12
EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN: Cuando las rectas de las ecuaciones no se intersecan.
Ejemplo:
3 4 12
4 4 24

6. EJERCICIOS:
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR LOS 4 MÉTODOS ESTUDIADOS:
− =
+ =
i)
, + , = ,
, + , =
ii)
, − = ,
, = , +
iii)
− =
+ =−
iv)
− =
− =
v)
Referencias:
MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –
Argentina, Volumen I, 1991.
SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado I, Printer-GO, Quito-Ecuador, 2007.
http://fooplot.com, Trazador de ecuaciones online.
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