Este documento presenta 10 ejercicios resueltos sobre el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica conceptos clave como pivote, vector entrante y vector saliente. Cada ejercicio consiste en definir un objetivo de maximización o minimización sujeto a restricciones, expresarlo en forma estándar y canónica, y aplicar el método de Gauss-Jordan para encontrar la solución óptima.

1. UNIRESIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y
ADMINSITRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA
EJERCICIOS EN CLASE
METODO SIMPLEX
QUINTO SEMESTRE “A”
NOMBRE: JESSICA PÈREZ
DOCENTE: MARLON VILLA VILLA
2014- 2015

2. MÉTODO SIMPLEX

3.  OBJETIVO
Resolver mediante la regla de Gauss.
 REQUISITO
Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan.
Forma de Pivote.- Es el número que se interseca entre la fila y la columna.
• EJERCICIO N°1
2 3 4 3 (-3) 4/5 1 2/5 2/5
4/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4
-1/2 0 2/5 2/5 -1/5 0 2/5 2/5
• EJERCICIO N° 2
5 2 2 2 3 25/7 0 10/7 -4/7 17/7
2 3 3 4 2 - 1/7 0 15/7 1/7 8/7
4 3 2 2 5 13/7 0 8/7 -13/7 29/7
5 7 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7
• EJERCICIO N° 3
7 2 4 6 5 3 3/4 -5/2 -3/8 0 2
3/2
4 3 3 5 2 3 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4
5 6 7 8 4 2 5/8 3/4 7/8 1 1/2 1/4
8 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0
3/2
4 3 5 2 7 4 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2
4 5 2 2 3 4 32
7 9 4 4 2/5 0 14/5 9/5
X1 X2 X3
-2/5 0 14/5 9/5 (-3) 4/5 1 2/5 2/5

4. EJERCICIO N° 4
3 2 9 7
2 5 3 8
3 3 7 4
6 5 5
4 3 5 6
7
EJERCICIO N°5
3 4 2 5
3 2 4 2
3 6 2
3 2 8 4
7 9 4 3
5 9 8
3 2
8 3 2 5 3 2
CONCEPTOS:
-15/2 -4 0 -1/2 -11/2
-13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3
7/6 2/3 1 5/6 5/6
-11/6 -1/3 0 11/6 17/6
-5 1 0 0 0 0
-8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0
-14 2 0 -3 3 0
-33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7
4 3/2 1 5/2 3/2 1
 Pivote.- El Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el
vector saliente.
 Vector Entrante.- Es la columna que contiene el número más pequeño.
 Vector Saliente.- Es aquel número positivo más pequeño que resulta de la
división de los términos independientes para el vector entrante.
Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de
minimización requieren otro tratamiento. Z = 20A + 30B
2A +2B ≤ 5
S.a. A + B ≤ 3
Z A B H1 H2 VALOR
Z -20 -30 0 0 0
H1 2 2 1 0 5
H2 1 1 0 1 3

5. Vector Entrante:B
Vector Saliente:H1
Pivote:2
EJERCICIO N°6
El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z
sean ≥ 0
Z = 3X1 + 4X2 + 9X3 S.a.
2X1 + 2X2 ≤ 10
2X2 + 5 X3 ≤ 16
3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9
C.T. X1, X2, X3 ≥ 0
 Convertir en igualdades Z
- 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2X1+2X2 = 10
2X2 + 5X3 = 16
3X1– 2X2 - 7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3
 Variables Holgura
1. Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2. 2X1+2X2 +H1 = 10
3. 2X2 + 5X3 +H2 = 16
4. 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3 ≥ 0
Vector Entrante:X3

6. Vector Saliente:H3
Pivote:-7
EJERCICIO N°7
MAX: Z= 3X1 + 2X2
S.a. 2X1 + X2 ≤ 18
2X1 + 3X2 ≤ 42
3X1 + X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
FORMAESTÁNDAR:
Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3
2X1 + X2 + H1 ≤ 18
2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42
3X1 + X2 + H3 ≤ 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0
2X1 + X2 + H1 = 18
2X1 + 3X2 + H2 = 42
3X1 + X2 + H3 = 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

7. DEISY SHAMBI QUINTO SEMESTRE “A”
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 33
VALORES ÓPTIMOS
X1=3
X2=12
H1=0
H2=0
H3=3
EJERCICIO N°8
MAX: Z= 3000X1 + 4000X2
S.a.
X1 + X2 ≤ 5
X1 - 3X2 ≤ 0
10X1 + 15X2 ≤ 150
20X1 + 10X2 ≤ 160
30X1 + 10X2 ≤ 150
X1, X2 ≥ 0 FORMAESTÁNDAR
Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5
X1 + X2 + H1 ≤ 5
X1 - 3X2 + H2 ≤ 0
10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150

8. 20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160
30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0
X1 + X2 + H1 = 5
X1 - 3X2 + H2 = 0
10X1 + 15X2 + H3 = 150
20X1 + 10X2 + H4 = 160
30X1 + 10X2 + H5 = 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
VALOR
Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5
Z 1 0 0 0 0 0 0
H1 0 1 0 0 0 0 5
H2 0 1 -3 0 1 0 0
0
1
0
0
1
0
1
0
H3 0
0
10
20
15 0 0
1
0 1
0
150
H4 10 160
H5 0 30 10 0 0
0
150
VE= X2
VS= H1
PIVOTE= 1
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
VALOR
Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5
Z 1 1000
1
4
-5
10
20
0
1
0
0
0
0
4000 0
0
1 0
0
3 1
0
-15 0
1
-10 1
0
-10 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
20000
X2 0
0
5
H2 15
H3 0
0
75
H4 110
H5 0 100
SOLUCIÓN ÓPTIMA

9. DEISY SHAMBI QUINTO SEMESTRE “A”
Z= 20000
DEISY SHAMBI
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=5
H1=0 H2=15 H3=75 H4=110 H5=100
EJERCICIO N°9
MAX: Z= X1 + X2
S.a.
X1 + 3X2 ≤ 26
4X1 + 3X2 ≤ 44
2X1 + 3X2 ≤ 28
X1, X2 ≥ 0
FORMAESTÁNDAR
Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3
X1 + 3X2 + H1 ≤ 26
4X1 + 3X2 + H2 ≤ 44
2X1 + 3X2 +H3 ≤ 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0
X1 + 3X2 + H1 = 26
4X1 + 3X2 + H2 = 44
2X1 + 3X2 +H3 = 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

10. VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z 1 -1
1
-1 0 0
1 0
0
0
0
H1 0 3 26
H2 0 4 3 0 1 0 44
H3 0 2 3 0 0 1 28
VE= X1
VS= H2
PIVOTE= 4
VE= X2
VS= H3
PIVOTE=3/2
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z 1 0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1/6
1/3
1/2
-1/3
1/6
-11/6
-
0,083333
2/3
12
H1 0 8
X1 0 8
X2 0 4
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 12
VALORES ÓPTIMOS
X1=8 X2=4
H1=08 H2=0 H3=0
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z 1 0
0
1
- 1/4 0 1/4
-1/4
1/4
0
0
0
11
H1 0
0
13/4 1
0
15
X1 3/4 11
H3 0 0 11/2 0 -1/2 1 6

11. EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICADE PENALIZACIÓN, TÉCNICADE VARIABLES
ARTIFICIALES O TÉCNICADE M
 ≤ + H1 (Si) Max -M
 = + A1 (Ri) Min +M
 ≥ - H1+A1
EJERCICIO N°10
MAX: Z= 5X1 + 6X2
S.a.
-2X1 + 3X2 = 3
X1 + 2X2 ≤ 5
6X1 + 7X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
FORMAESTÁNDAR
Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2
-2X1 + 3X2 + A1 = 3
X1 + 2X2 + H1 ≤ 5
6X1 + 7X2 + H2≤ 3
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 5X1 - 6X2 + MA1 - 0H1- 0H2 = 0
2MX1 - 3MX2 - MA1 = -3M
Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M S.a.
-2X1 + 3X2 + A1 = 3
X1 + 2X2 + H1 = 5
6X1 + 7X2 + H2= 3
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

12. VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 2M- 5
-2
1
0 0 0
1
0
(-)3M
A1 0 0 0 3
H1 0 2 1 0 5
H2 0 6 7 0 1 0 3
VE= X2
VS= H2
PIVOTE=7
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 32/7M+ 1/7
-44/7
- 5/7
6/7
0
0
0
1
0 3/7M+ 6/7
0 - 3/7
1 - 2/7
0 1/7
0
1
0
0
(-)12/7M+18/7
A1 0 15/7
H1 0 41/7
X2 0 3/7
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 18/7
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=3/7
H1=41/7 H2=0
EJERCICIO N°11
MAX: Z= 3X1 + 9X2
S.a.
2X1 + 6X2 = 2
5X1 + 4X2 = 3
4X1 + X2 ≤ 5
X1, X2 ≥ 0
FORMAESTÁNDAR
Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1
2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M)
5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M)

13. 4X1 + X2 +H1 ≤ 5
X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1 = 0
-2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M
-5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M
Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1 = -5M S.a.
2X1 + 6X2 +A1 = 2
5X1 + 4X2 +A2 = 3 4X1
+ X2 +H1= 5
X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z 1 (-3-
7M)
0 0 0 (-)5M
A1 0 2 1 0 0 2
A2 0 5 4 0 1 0 3
H1 0 4 1 0 0 1 5
VE= X2
VS= A1
PIVOTE=6
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z 1
(-
)11/3M
0
1
3/2+5/3M 0
1/6 0
0
0
3-5/3M
X2 0 1/3 1/3
A2 0 32/3 0 - 2/3 1 0 12/3
H1 0 32/3 0 - 1/6 0 1 42/3
VE= X1
VS= A2
PIVOTE=32/3
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

14. Z 1 0 0
1
0
0
1
0
0
3/2+2M
5/6
- 1/5
1/2
M 0 3
X2 0 0 0
1/4 0
1/5
X1
0 4/9
H1 0 -1 1 21/6
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 3
VALORES ÓPTIMOS
X1=4/9
X2=1/5
H1=21/6
H2=0
EJERCICIOS DE MINIMIZACIÓN
EJERCICIO N°12
MIN: Z= 3/2X1+2X2
S.a.
2X1 + 2X2 ≤ 8
2X1 + 6X2 ≥ 12
X1, X2 ≥ 0
FORMAESTÁNDAR
Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2
2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8
2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M)
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z – 3/2X1 - 2X2 - MA1 -0H1 - 0H2 = 0
2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M

15. Z+ (2M-3/2) X1 + (6M-2) X2 -0H1 –MH2 = 12M (-1)
-Z-(3/2-2M) X1-(2-6M) X2 +0H1+MH2 = -12M
S.a.
2X1 + 2X2 + H1 = 8
2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR
Z -1 3/2-2M 2-6M 0 0 M (-)12M
H1 0 2 2 0 1 0 8
A1 0 2 6 1 0 -1 12
VE= X2
VS= A1
PIVOTE=6
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR
Z -1 5/6
11/3
1/3
0
0
1
(-1/3+M) 0
- 1/3 1
1/6 0
1/3
1/3
-4
H1 0 4
X2 0 - 1/6 2
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 4
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=2
H1=4
EJERCICIO N°13

16. MIN: Z= 4X1 + 5X2
S.a.
2X1 + 2X2 ≤ 10
2X1 + 6X2 ≥ 18
X1 + X2 = 7
Xi ≥ 0
FORMAESTÁNDAR
Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2
2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10
2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M)
X1 + X2 +A2 = 7 (M)
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0
2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M
MX1 + MX2 +MA2 = 7M
Z +(3M-4) X1+(7M-5) X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)
-Z- (4-3M) X1-(5-7M )X2 +0H1+MH2 = -25M
S.a.
2X1 + 2X2 + H1 = 10
2X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18
X1 + X2 +A2 = 7
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABL ES
Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR
Z -1 4-3M
2
5- 7M
2
0 0
0
0
1
M
0
(-)25M
H1 0 0 10
H2 0 2 6 1 0 0 -1 18
A2 0 1 1 0 1 0 0 7
VE= X2
VS= H2
PIVOTE=6

17. VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLE S
Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR
Z -1
7/3-
2/3M 0
(-
0
5/6+7/6M)
0 5/6-1/6M
-4
H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3
X2 0 1/3 1 1/6 0
- 1/6 1
0
0
- 1/6
1/6
4
A2 0 2/3 0 2
VE= X1
VS= H1
PIVOTE=4/3
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR
Z -1
0
1
0
0
0
0
1
0
(-1/4+M)
- 1/4
1/4
0
(-
0
7/4+1/2M)
0 3/4
0 - 1/4
1 - 1/2
1/4
1/4
- 1/4
0
(-22-2M)
X1 0 3
X2 0 2
A2 0 2
El ejercicio no tiene solución.
EJERCICIO N°14
MAX: Z= 3X1 + 5X2
S.a.
X1 ≤ 4
2X2 ≤ 12
3X1 + 2X2 = 18
Xi ≥ 0
FORMAESTÁNDAR
Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1

18. X1 + H1 ≤ 4
2X2 + H2 ≤ 12
3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M)
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 5X2 -0H1 -0H2 +MA1= 0
-3MX1 -2MX2 - MA1= -18M
Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M S.a.
X1 + H1 = 4
2X2 + H2 = 12
3X1 + 2X2 + A1 = 18
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 0 0 0 (-18M)
H1 0 1 0 1 0 0 4
H2 0
0
0 2 0 1
0 0
0
1
12
A1 3 2 18
VE= X1
VS= H1
PIVOTE=1
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1
0
0
0
1
0
3M+3 0 0
0
(-6M)+12
X1 0
2
1 0 4
H2 0 1 0 12
A1 0 0 2 -3 0 1 6
VE= X2
VS= A1
PIVOTE=2

19. VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1
0
0
1
0 -4 1/2 0 M+5/2 27
X1 0 1 0 0 4
H2 0 0 0 3 1 -1 6
X2 0 0 1 -1 1/2 0 1/2 3
VE= H1
VS= H2
PIVOTE=3
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0 1 1/2
0 -
1/3
1 1/3
0 1/2
M+1 36
X1 1/3 2
H1 - 1/3 2
X2 0 6
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 36
VALORES ÓPTIMOS
X1=2
X2=6
H1=2
H2=0
EJERCICIO N°15
MIN: Z= 3X1 + 5X2
S.a.
X1 ≤ 4
2X2 = 12

20. 3X1 + 2X2 ≥ 18
Xi ≥ 0
FORMAESTÁNDAR
Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1)
-Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 – 0H2 -MA1 - MA2 S.a.
X1 + H1 ≤ 4
2X2 + A1 ≤ 12(-M)
3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M)
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
FORMACANÓNICA O DE ECUACIONES
-Z + 3X1 + 5X2 +0H1 +0H2 +MA1 + MA2 = 0
-2MX2 -MA1 = -12M
- 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M
Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1 +MH2 = -30M S.a.
X1 + H1 = 4
2X2 + A1 = 12
3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
VARIABLES
BÁSICAS
VARIAB LES
Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z -1
1
0 M
0
0
0
0
0
(-30M)
H1 0 0 1 4
A1 0 0 2 0 0 1 0 12
A2 0 3 2 0 -1 0 1 18

21. VE= X2
VS= A1
PIVOTE=2
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z -1 0 0
1
M 2M-
5/2
0 0
0 1/2
0 (-6M-30)
H1 0 1
0
0 0
0
4
X2 0 1 6
A2 0 3 2 0 -1 -1 1 6
VE= X1
VS= A2
PIVOTE=3
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z -1 0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1 M- 3/2
1/3 1/3
0 1/2
- 1/3 - 1/3
M-1 36
H1 0 - 1/3 2
X2 0 0
1/3
6
X1 0 2
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 36
VALORES ÓPTIMOS
X1=2
X2=6
H1=2
H2=0