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Simplex
Este documento presenta un ejemplo de resolución de un problema de programación lineal mediante el método simplex. Se maximiza la función objetivo Z = 4x1 + 3x2 sujeto a tres restricciones. Se lleva el problema a forma estándar y se construye la tabla simplex inicial. Luego, a través de iteraciones donde se selecciona la razón mínima y se realizan las operaciones de pivote, se llega a la solución óptima.
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Simplex
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- 2. Ejemplo de Simplex: MaximizarZ Max = 4x1 + 3x2 Sujeto a: x1 + 2x2 ≤ 22 3x1 + 2x2 ≤ 45 3x1 + x2 ≤ 23 x1 , x2 ≥ 0
- 3. FORMA ESTANDAR: x1 +2x2 + s1 = 22 3x1 + 2x2 + s2 = 45 3x1 + x2 + s3 = 23 Variables de Holgura
- 4. 2. Igualar lafunción objetivo a cero y después agregar la variables de holgura del sistema anterior: Z - 4 x1 - 3 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 = 0
- 5. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 S2 3 2 0 1 0 45 S3 3 1 0 0 1 23 Z -4 -3 0 0 0 0
- 6. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 S2 3 2 0 1 0 45 S3 3 1 0 0 1 23 Z -4 -3 0 0 0 0 Número más negativo de “Z”
- 7. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 S2 3 2 0 1 0 45 S3 3 1 0 0 1 23 Z -4 -3 0 0 0 0
- 8. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 S2 3 2 0 1 0 45 S3 3 1 0 0 1 23 Z -4 -3 0 0 0 0 Razón
- 9. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 S3 3 1 0 0 1 23 Z -4 -3 0 0 0 0 Razón=Solución / Elemento de columna pivote
- 10. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 45/3=15 S3 3 1 0 0 1 23 23/3=7.6 Z -4 -3 0 0 0 0 Razón=Solución / Elemento de columna pivote
- 11. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 45/3=15 S3 3 1 0 0 1 23 23/3=7.6 Z -4 -3 0 0 0 0 Razón=Solución / Elemento de columna pivote
- 12. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 45/3=15 S3 3 1 0 0 1 23 23/3=7.6 Z -4 -3 0 0 0 0 Seleccionamos el Menor
- 13. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 45/3=15 S3 3 1 0 0 1 23 23/3=7.6 Z -4 -3 0 0 0 0
- 14. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 45/3=15 S3 3 1 0 0 1 23 23/3=7.6 Z -4 -3 0 0 0 0 Variable que entra
- 15. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 45/3=15 S3 3 1 0 0 1 23 23/3=7.6 Z -4 -3 0 0 0 0 Variable que sale
- 16. Tabla Simplex 1 Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 1 2 1 0 0 22 22/1=22 S2 3 2 0 1 0 45 45/3=15 S3 3 1 0 0 1 23 23/3=7.6 Z -4 -3 0 0 0 0 Elemento Pivote
- 17. Fila Pivote 3 10 0 1 23
- 18. Fila Pivote 3 10 0 1 23 3 3 3 3 3 3
- 19. Fila Pivote 3 10 0 1 23 3 3 3 3 3 3
- 20. Fila Pivote 3 10 0 1 23 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3
- 21. Nueva fila S1 12 1 0 0 22
- 22. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1
- 23. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3
- 24. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 -x 1 - 1 x 1 = 1 - 1 = 0
- 25. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 -x 1 - 1 x 1 = 1 - 1 = 0
- 26. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 5/3 -x 2 - 1 x 1/3 = 2 - 1/3 = 5/3
- 27. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 5/3 1 -x 1 - 1 x 0 = 1 - 0 = 1
- 28. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 5/3 1 0 -x 0 - 1 x 0 = 0 - 0 = 0
- 29. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 5/3 1 0 -1/3 -x 0 - 1 x 1/3 = 0 - 1/3 = -1/3
- 30. Nueva fila S1 12 1 0 0 22 1 1 1 1 1 1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 -x 22 - 1 x 23/3 = 22 - 23/3 = 66/3 - 23/3 = 43/3
- 31. Nueva fila S2 32 0 1 0 45
- 32. Nueva fila S2 32 0 1 0 45 3 3 3 3 3 3
- 33. Nueva fila S2 32 0 1 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3
- 34. 3 2 01 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 Nueva fila S2 -x 3 - 3 x 1 = 3 - 3 = 0
- 35. 3 2 01 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 1 Nueva fila S2 -x 2 - 3 x 1/3 = 2 - 1 = 1
- 36. 3 2 01 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 1 0 Nueva fila S2 -x 0 - 3 x 0 = 0 - 0 = 0
- 37. 3 2 01 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 1 0 1 Nueva fila S2 -x 1 - 3 x 0 = 1 - 0 = 1
- 38. 3 2 01 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 1 0 1 -1 Nueva fila S2 -x 0 - 3 x 1/3 = 0 - 1 = -1
- 39. 3 2 01 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 1 0 1 -1 22 Nueva fila S2 -x 45 - 3 x 23/3 = 135/3 - 69/3 = 66/3 45 - 23 = 22
- 40. Nueva fila Z -4-3 0 0 0 0
- 41. Nueva fila Z -4-3 0 0 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4
- 42. Nueva fila Z -4-3 0 0 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 1 1/3 0 0 1/3 23/3
- 43. -4 -3 00 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 Nueva fila Z -x -4 - -4 x 1 = -4 - -4 = -4 + 4 = 0
- 44. -4 -3 00 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 -5/3 Nueva fila Z -x -3 - -4 x 1/3 = -3 - -4/3 = -9/3 + 4/3 = -5/3
- 45. -4 -3 00 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 -5/3 0 Nueva fila Z -x 0 - -4 x 0 = 0 - 0 = 0
- 46. -4 -3 00 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 -5/3 0 0 Nueva fila Z -x 0 - -4 x 0 = 0 - 0 = 0
- 47. -4 -3 00 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 -5/3 0 0 4/3 Nueva fila Z -x 0 - -4 x 1/3 = 0 - -4/3 = 4/3
- 48. -4 -3 00 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 -5/3 0 0 4/3 92/3 Nueva fila Z -x 0 - -4 x 23/3 = 0 - -92/3 = 92/3
- 49. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 S2 X1 Z Variable que entra
- 50. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 S2 X1 Z
- 51. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 S2 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z
- 52. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 S2 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z
- 53. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 S2 0 1 0 1 -1 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z 3 2 0 1 0 45 3 3 3 3 3 3 1 1/3 0 0 1/3 23/3 0 1 0 1 -1 22
- 54. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 S2 0 1 0 1 -1 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3
- 55. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 S2 0 1 0 1 -1 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3
- 56. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 S2 0 1 0 1 -1 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3 Número más negativo de “Z”
- 57. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 S2 0 1 0 1 -1 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3
- 58. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 S2 0 1 0 1 -1 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3
- 59. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 129/15 S2 0 1 0 1 -1 22 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 23 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3
- 60. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 129/15 S2 0 1 0 1 -1 22 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 23 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3 Seleccionamos el Menor
- 61. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 129/15 S2 0 1 0 1 -1 22 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 23 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3 Variable que entra
- 62. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 129/15 S2 0 1 0 1 -1 22 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 23 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3 Variable que sale
- 63. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución Razón X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 5/3 1 0 -1/3 43/3 129/15 S2 0 1 0 1 -1 22 22 X1 1 1/3 0 0 1/3 23/3 23 Z 0 -5/3 0 0 4/3 92/3 Elemento Pivote
- 64. Tabla Simplex “2” Variables Básicas Variablede decisión Variable de holgura Solución X1 X12 S1 S2 S3 X2 0 1 3/5 0 -1/5 43/5 S2 0 0 -3/5 1 -4/5 67/5 X1 1 0 -1/5 0 2/5 24/5 Z 0 0 1 0 1 45
- 65. Resultado Variable Valor X1 = 4.8 X2 =8.6 Z = 45