Programacion Lineal

1
EL MÉTODO SIMPLEX
ALGEBRAICO:
MINIMIZACION
M. En C. Eduardo Bustos Farías

2
EJEMPLO 1
Uso de variables artificiales

3
Minimizar Z= 30X1 + 10X2
SUJETO A:
2X1 +4X2 <= 80
X1 + X2 = 25
8X1 + 6X2 >=120
X1, X2 >=0

4
Multiplicamos por -1 a Z
Maximizar Z= -30X1 - 10X2
SUJETO A:
2X1 +4X2 <= 80
X1 + X2 = 25
8X1 + 6X2 >=120
X1, X2 >=0

5
AÑADIMOS UNA VARIABLE DE HOLGURA Y
RESTAMOS UNA DE EXCEDENTE PARA
IGUALAR
Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 =120
X1, X2, S1, S2 >= 0

6
AGREGAMOS LAS VARIABLES
ARTIFICIALES
Maximizar
Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
X1, X2, S1, S2, A1, A2 > = 0, M valor muy grande

7
Llenado de la tabla 1 del simplex

8
Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80

9
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25

10
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

11
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120
Zj -9M -7M

12
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120
Zj -9M -7M
0 M

13
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120
Zj -9M -7M
0 M -M -M -145M

14
SUJETO A:
2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120
Zj -9M -7M
0 M -M -M -145M
CJ-Zj -30+9M -10+7M
0 -M -1+M -1+M

15
TABLA 1 (resumen)
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120
Zj -9M -7M
0 M -M -M -145M
CJ-Zj -30+9M -10+7M
0 -M -1+M -1+M

16
TABLA 1: variable que entra y
variable que sale de la base
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120
Zj -9M -7M
0 M -M -M -145M
CJ-Zj -30+9M -10+7M
0 -M -1+M -1+M

17
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 2 4 1 0 0 0 80
-M A1 1 1 0 0 1 0 25
-M A2 8 6 0 -1 0 1 120
Zj -9M -7M 0 M -M -M -145M
CJ-Zj -30+9M -10+7M
0 -M -1+M -1+M
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 0 5/2 1 -1/4 0 -1/4 50
-M A1 0 1/4 0 1/8 1 -1/8 10
-30 X1 1 3/4 0 -1/8 0 1/8 15
Zj -30 -45/2-
M/4
0 15/4-M/8
-M 15/4-M/8 -450-
10M
CJ-Zj -9M -25/2-29M/4
0
-15/4+7/8M
-2M
15/4+7M/8
Le cambio
El signo al
Cj-zj y se
lo sumo
A Zj

18
TABLA 2
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 0 5/2 1 -1/4 0 -1/4 50
-M A1 0 1/4 0 1/8 1 -1/8 10
-30 X1 1 3/4 0 -1/8 0 1/8 15
Zj -30 -45/2-
M/4
0 15/4-M/8
-M 15/4-M/8 -450-
10M
CJ-Zj -9M 25/2+M
/4 0 -15/4-
17/8M -M 15/4-M/8

19
TABLA 2
Cjn
VAR DE
SOLUCIÓN
X1 X2 S1 S2 A1 A2
CANT.
SOLUCIÓN
0 S1 0 5/2 1 -1/4 0 -1/4 50
-M A1 0 1/4 0 1/8 1 -1/8 10
-30 X1 1 3/4 0 -1/8 0 1/8 15
Zj -30 -45/2-
M/4
0 15/4-M/8
-M 15/4-M/8 -450-
10M
CJ-Zj -9M 25/2+M
/4 0 -15/4-
17/8M -M 15/4-M/8
50/2.5=20
10/.25=40
15/.75=20

20
Solución
X1=10
X2=15
S1=0
S2=50
Z=$450 (la expresamos con signo positivo)
Las variables artificiales al no quedar en la base
valen cero.

23
SOLUCIÓN
Xi= valor proporcional que indica la medida
en que se financia el proyecto durante los 3
años (en miles de unidades monetarias)
i= 1,2,3
Donde
Xi= 1 (significa que si se financia el proyecto)
Xi=0 (significa que no se financia el proyecto)

24
SOLUCIÓN
Max Z= 100x1+90x2+75x3+80x4
Sujeto a:
6x1+2x2+9x3+5x4 <=50 (año 1)
14x1+8x2+19x3+2x4 <= 24 (año 2)
5x1+14x2+18x3+9x4 <= 30 (año 3)
X1+X2+X3+X4<=1 (para garantizar que cada
proyecto no sobrepase el 100% del mismo)
Xi >= 0, i= 1,2,3,4

25
Problema de la dieta
• En un centro de nutrición se desea obtener la dieta de coste mínimo con unos
determinados requisitos vitamínicos para un grupo de niños que van a asistir a
campamentos de verano.
• El especialista estima que el contenido de vitamina A es de al menos 32 unidades, de
vitamina B un máximo de 25, un máximo de 30 de C, y, a lo sumo, 14 de vitamina D.
• La tabla nos da el número de unidades de las distintas vitaminas por unidad de alimento
consumido para seis alimentos elegidos, denominados 1, 2, 3, 4, 5, 6, así como su costo
por unidad
Se desea construir un modelo de
programación lineal para conocer
la cantidad de cada alimento que
hay que preparar y que satisfaga los
requisitos propuestos con costo mínimo

• Se desea construir un modelo de programación lineal para conocer la
cantidad de cada alimento que hay que preparar y que satisfaga los
requisitos propuestos con costo mínimo
26

28
Definimos las variables de decisión
• Xi, que representan la cantidad de alimento
i = 1, …, 6, que se utiliza para la dieta en un
período de tiempo dado.

29
Las restricciones
• Son consecuencia de los requisitos
vitamínicos exigidos a la dieta, que son:
26>= X1 + X2 + 3X4 + 2X5 + X6 <= 32 (vitamina A)
X1 + 2X2 + X3 + X4 + X5 >= 25 (vitamina B)
X2 + 2X3 + 2X5 + 2X6 >= 30 (vitamina C)
X1 + X4 + X6 <= 14 (vitamina D)
Con Xi>= 0 para i = 1,…, 6.

30
La función objetivo
• Representa el coste total de la dieta, que es:
C = 10X1 + 14X2 + 12X3 + 18X4 + 20X5 + 16X6

31
Por tanto, el programa lineal consiste en determinar
(X1, X2, X3, X4, X5, X6) ∈ ℜ6 tal que:
Min C = 10X1 + 14X2 + 12X3 + 18X4 + 20X5 + 16X6.
s.a.
X1 + X2 + 3X4 + 2X5 + X6 <= 32
X1 + X2 + 3X4 + 2X5 + X6 >= 26
X1 + 2X2 + X3 + X4 + X5 >= 25
X2 + 2X3 + 2X5 + 2X6 >= 30
X1 + X4 + X6 <= 14
Con Xi>= 0 para i = 1,…, 6.

32
PROBLEMA DEL ASERRADERO
• Esta unidad recibió solamente tablas de
importación de 50 cm de ancho.
• Se reciben solicitudes locales de 300 tablas de 28
cm de ancho, 500 tablas de 20 cm de ancho, 200
tablas de 16cm ¿Cuantas tablas deberán utilizarse
y en que forma deberán cortarse para lograr un
mínimo de desperdicio de madera y satisfacer las
solicitudes planteadas?
• Dado que las tablas son de importación, es
necesario utilizarlas al máximo, y por lo tanto la
minimización de los desperdicios se corresponde
con este requisito económico.

34
La construcción del modelo
• En esta situación particular no se
especifican coeficientes de la función
objetivo ni de las restricciones;
• por tanto no podemos definir la variable de
decisión a partir de ellos;
• sino por el contrario, solamente podremos
definir los coeficientes de la función
objetivo y de las restricciones una vez que
conozcamos la definición de las variables.

35
• En el aserradero se dispone de tablas de 50 cms
de ancho solamente:
• luego si se pudieran 2 tablas de 25 cms se
cortarían en dos partes iguales la tabla, no habría
desperdicio alguno y se satisfaría la solicitud.
• Pero en este caso se piden tablas de 28, 20 y 16
cms respectivamente, y por tanto, habrá
desperdicios, los cuales deben ser minimizados.

36
Busquemos las combinaciones racionales
posibles dadas las magnitudes:

37
La definición de las variables de
decisión seria:
x1 – tablas de 50 cm a cortar según la combinación #1
En un período de tiempo dado.
Condición de no negatividad
xj ≥ 0 j = 1...5

38
Restricciones
Las tres restricciones de este problema son de demanda.
Como que se plantea satisfacción, se representaran mediante
ecuaciones.
Analicemos la primera de ellas.
Se requieren exactamente 300 tablas de 28 cms; por lo tanto,
el “b1” será igual a 300 tablas de 28 cms.
En esta restricción solamente aparecerán aquellas variables,
en cuya definición se hayan incluido tablas de 28 cms,
o sea la x1 y la x2.
Dimensionalmente esta restricción se representa de esta
forma:

39
• En la tabla de las combinaciones se aprecia por columna
que, tanto la combinación 1 como la 2, producen una
tabla de 28 cms por una tabla de 50 cm.
• Por lo tanto, al ser la relación de uno a uno, se plantea el
coeficiente unitario, pero en este caso las dimensiones de
las variables de decisión no coinciden con las del “ b “,
según se pudo apreciar del análisis dimensional.

40
Y en este caso la dimensión de las variables si serian la misma que la del bi;
y el coeficiente unitario de las variables respondería a esta circunstancia.

41
La función objetivo:
• Al definir las combinaciones, se calcularon
los desperdicios de tablas de 50 cms que
implicaba cada uno de ellas; es decir, los
coeficientes de la ultima columna de la tabla
de combinaciones expresan centímetros de
desperdicio por tabla de 50 cm.
• Respecto a las combinaciones. Por tanto,
la función objetiva seria
Min z = X1+x2+x3+x4+x5

MG Auto Company
• Tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns.
• Sus centros de distribución principales están ubicados en Denver y Miami.
• Las capacidades de las tres plantas durante el trimestre próximo son de 1000, 1500 y
1200 automóviles.
• Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400
vehículos.
• El costo del transporte de un automóvil por tren es aproximadamente de 3 centavos por
milla.
• El diagrama de la distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución es el
siguiente:
42

Plantear el modelo de programación lineal asociado.
43

45
• Mediante el uso de códigos numéricos para
representar las plantas y centros de distribución,
hacemos que xij represente el número de
automóviles transportados de la fuente i al destino
j, en un trimestre.
• Como la oferta total ( = 1000 + 1500 + 1200 =
3700) es igual a la demanda total ( = 2300 + 1400
= 3700), el modelo de transporte resultante está
equilibrado.
• Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que
representa el problema tiene todas las restricciones
de igualdad.

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