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UNIDAD 3
MÉTODO SIMPLEX
OBJETIVO.- Resolver mediante la regla de Gauss
REQUISITO.- Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan
Forma de Pivote.- es el número que se interseca entre la fila y la columna.
EJERCICIO # 1
2 3 4 3
4 5 2 2
7 9 4 4
X1 X2 X3
-2/5 0 14/5 9/5
4/5 1 2/5 2/5
-1/2 0 2/5 2/5
EJERCICIO # 2
5 2 2 2 3
2 3 3 4 2
4 3 2 2 5
5 7 2 9 2
EJERCICIO # 3
7 2 4 6 5 3
4 3 3 5 2 3
5 6 7 8 4 2
8 9 7 6 3 3
4 3 5 2 7 4
(-3) 4/5 1 2/5 2/5
2 3 4 3
-2/5 0 14/5 9/5
(-9) 4/5 1 2/5 2/5
7 9 4 4
-1/5 0 2/5 2/5
25/7 0 10/7 -4/7 17/7
-1/7 0 15/7 1/7 8/7
13/7 0 8/7 -13/7 29/7
5/7 1 2/7 9/7 2/7
13/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2
7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4
5/8 ¾ 7/8 1 ½ ¼
17/4 9/2 7/4 0 0 3/2
11/4 3/2 13/4 0 6 7/2
EJERCICIO # 4
3 2 9 7 2
5 3 8 3 3
7 4 6 5 5
4 3 5 6 7
EJERCICIO # 5
3 4 2 5 3 2
4 2 3 6 2 3
2 8 4 7 9 4
3 5 9 8 3 2
8 3 2 5 3 2
-15/2 -4 0 -1/2 -11/2
-13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3
7/6 2/3 1 5/6 5/6
-11/6 -1/3 0 11/6 17/6
-5 1 0 0 0 0
-8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0
-14 2 0 -3 3 0
-33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7
4 3/2 1 5/2 3/2 1
Pivote.- el Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente.
Vector Entrante.- es la columna que contiene el número más pequeño.
Vector Saliente.- número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos
independientes para el vector entrante.
Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización
requieren otro tratamiento.
Z = 20A + 30B
SA
2A +2B≤ 5
A + B ≤ 3
Z A B H1 H2 VALOR
Z -20 -30 0 0 0
H1 2 2 1 0 5
Vector Entrante: B
Vector Saliente: H1
Pivote: 2
H2 1 1 0 1 3
El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z sean ≥ 0
Z = 3X1 + 4X2 + 9X3
Vector entrante: X3
Vector Saliente: H3
Pivote: -7
SA
2X1 + 2X2 ≤ 10
2X2 + 5 X3 ≤ 16
3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9
CT. X1, X2, X3 ≥ 0
Convertir en igualdades
Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2X1+2X2 = 10
2X2 + 5X3 = 16
3X1 – 2X2 -7X3 = 9
Xj ≥ 0 j=1…3
Variables Holgura
1) Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2) 2X1+2X2 +H1 = 10
3) 2X2 + 5X3 +H2 = 16
4) 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9
Xj, Hj j1…3≥0
MAXIMIZAR
Z= 3X1 + 2X2
2X1 + X2 ≤ 18
2X1 + 3X2 ≤ 42
3X1 + X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3
2X1 + X2 + H1 ≤ 18
2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42
3X1 + X2 + H3 ≤ 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
VB EC Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR
Z 0 1 -3 -4 -9 0 0 0 0
H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10
H2 2 0 0 2 5 0 1 0 16
H3 3 0 3 2 -7 0 0 1 9
VE= X1
VS= H3
PIVOTE= 3
VE= X2
VS= H1
PIVOTE= 1/3
VE= H3
VS= H2
PIVOTE= 4
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0
2X1 + X2 + H1 = 18
2X1 + 3X2 + H2 = 42
3X1 + X2 + H3 = 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z= 33
Valores Óptimos X1=3 H1=0
X2=12 H2=0
H3=3
MAXIMIZAR
Z= 3000X1 + 4000X2
X1 + X2 ≤ 5
X1 - 3X2 ≤ 0
10X1 + 15X2 ≤ 150
20X1 + 10X2 ≤ 160
30X1 + 10X2 ≤ 150
VB
VARIABLES
VALOR
Z X1 X2 H1 H2 H3
Z 1 -3 -2 0 0 0 0
H1 0 2 1 1 0 0 18
H2 0 2 3 0 1 0 42
H3 0 3 1 0 0 1 24
Z 1 0 -1 0 0 1 24
H1 0 0 1/3 1 0 - 2/3 2
H2 0 0 2 1/3 0 1 - 2/3 26
X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 1 0 0 3 0 -1 30
X2 0 0 1 3 0 -2 6
H2 0 0 0 -7 1 4 12
X1 0 1 0 -1 0 1 6
Z 1 0 0 1 1/4 1/4 0 33
X2 0 0 1 - 1/2 1/2 0 12
H3 0 0 0 -1 3/4 1/4 1 3
X1 0 1 0 3/4 - 1/4 0 3
VE= X2
VS= H1
PIVOTE=1
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5
X1 + X2 + H1 ≤ 5
X1 - 3X2 + H2 ≤ 0
10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150
20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160
30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
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X1 + X2 + H1 = 5
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10X1 + 15X2 + H3 = 150
20X1 + 10X2 + H4 = 160
30X1 + 10X2 + H5 = 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z= 2000
Valores Óptimos X1=0 H1=0 H4= 110
X2=5 H2=15 H5= 100
H3=75
VB
VARIABLES
VALOR
Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5
Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0
H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0
H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150
H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160
H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150
Z 1 1000 0 4000 0 0 0 0 20000
X2 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15
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  • 1. UNIDAD 3 MÉTODO SIMPLEX OBJETIVO.- Resolver mediante la regla de Gauss REQUISITO.- Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan Forma de Pivote.- es el número que se interseca entre la fila y la columna. EJERCICIO # 1 2 3 4 3 4 5 2 2 7 9 4 4 X1 X2 X3 -2/5 0 14/5 9/5 4/5 1 2/5 2/5 -1/2 0 2/5 2/5 EJERCICIO # 2 5 2 2 2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 5 5 7 2 9 2 EJERCICIO # 3 7 2 4 6 5 3 4 3 3 5 2 3 5 6 7 8 4 2 8 9 7 6 3 3 4 3 5 2 7 4 (-3) 4/5 1 2/5 2/5 2 3 4 3 -2/5 0 14/5 9/5 (-9) 4/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4 -1/5 0 2/5 2/5 25/7 0 10/7 -4/7 17/7 -1/7 0 15/7 1/7 8/7 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 5/7 1 2/7 9/7 2/7 13/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4 5/8 ¾ 7/8 1 ½ ¼ 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2
  • 2. EJERCICIO # 4 3 2 9 7 2 5 3 8 3 3 7 4 6 5 5 4 3 5 6 7 EJERCICIO # 5 3 4 2 5 3 2 4 2 3 6 2 3 2 8 4 7 9 4 3 5 9 8 3 2 8 3 2 5 3 2 -15/2 -4 0 -1/2 -11/2 -13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3 7/6 2/3 1 5/6 5/6 -11/6 -1/3 0 11/6 17/6 -5 1 0 0 0 0 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0 -14 2 0 -3 3 0 -33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7 4 3/2 1 5/2 3/2 1 Pivote.- el Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente. Vector Entrante.- es la columna que contiene el número más pequeño. Vector Saliente.- número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos independientes para el vector entrante. Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización requieren otro tratamiento. Z = 20A + 30B SA 2A +2B≤ 5 A + B ≤ 3 Z A B H1 H2 VALOR Z -20 -30 0 0 0 H1 2 2 1 0 5 Vector Entrante: B Vector Saliente: H1 Pivote: 2 H2 1 1 0 1 3 El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z sean ≥ 0 Z = 3X1 + 4X2 + 9X3
  • 3. Vector entrante: X3 Vector Saliente: H3 Pivote: -7 SA 2X1 + 2X2 ≤ 10 2X2 + 5 X3 ≤ 16 3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9 CT. X1, X2, X3 ≥ 0 Convertir en igualdades Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2X1+2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1 – 2X2 -7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3 Variables Holgura 1) Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2) 2X1+2X2 +H1 = 10 3) 2X2 + 5X3 +H2 = 16 4) 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3≥0 MAXIMIZAR Z= 3X1 + 2X2 2X1 + X2 ≤ 18 2X1 + 3X2 ≤ 42 3X1 + X2 ≤ 24 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 2X1 + X2 + H1 ≤ 18 2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42 3X1 + X2 + H3 ≤ 24 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 VB EC Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR Z 0 1 -3 -4 -9 0 0 0 0 H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10 H2 2 0 0 2 5 0 1 0 16 H3 3 0 3 2 -7 0 0 1 9
  • 4. VE= X1 VS= H3 PIVOTE= 3 VE= X2 VS= H1 PIVOTE= 1/3 VE= H3 VS= H2 PIVOTE= 4 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0 2X1 + X2 + H1 = 18 2X1 + 3X2 + H2 = 42 3X1 + X2 + H3 = 24 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 TABLA SIMPLEX RESPUESTAS: Solución Óptima Z= 33 Valores Óptimos X1=3 H1=0 X2=12 H2=0 H3=3 MAXIMIZAR Z= 3000X1 + 4000X2 X1 + X2 ≤ 5 X1 - 3X2 ≤ 0 10X1 + 15X2 ≤ 150 20X1 + 10X2 ≤ 160 30X1 + 10X2 ≤ 150 VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H2 H3 Z 1 -3 -2 0 0 0 0 H1 0 2 1 1 0 0 18 H2 0 2 3 0 1 0 42 H3 0 3 1 0 0 1 24 Z 1 0 -1 0 0 1 24 H1 0 0 1/3 1 0 - 2/3 2 H2 0 0 2 1/3 0 1 - 2/3 26 X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8 Z 1 0 0 3 0 -1 30 X2 0 0 1 3 0 -2 6 H2 0 0 0 -7 1 4 12 X1 0 1 0 -1 0 1 6 Z 1 0 0 1 1/4 1/4 0 33 X2 0 0 1 - 1/2 1/2 0 12 H3 0 0 0 -1 3/4 1/4 1 3 X1 0 1 0 3/4 - 1/4 0 3
  • 5. VE= X2 VS= H1 PIVOTE=1 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5 X1 + X2 + H1 ≤ 5 X1 - 3X2 + H2 ≤ 0 10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150 20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160 30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0 X1 + X2 + H1 = 5 X1 - 3X2 + H2 = 0 10X1 + 15X2 + H3 = 150 20X1 + 10X2 + H4 = 160 30X1 + 10X2 + H5 = 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0 TABLA SIMPLEX RESPUESTAS: Solución Óptima Z= 2000 Valores Óptimos X1=0 H1=0 H4= 110 X2=5 H2=15 H5= 100 H3=75 VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150 H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160 H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150 Z 1 1000 0 4000 0 0 0 0 20000 X2 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15 H3 0 -5 0 -15 0 1 0 0 75 H4 0 10 0 -10 0 0 1 0 110 H5 0 20 0 -10 0 0 0 1 100