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MÉTODO DE DOS
FASES Minimizar: Z = 4 X1 + X2 s.a: 3 X1 + X2 = 3 4 X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0 SOLUCION: Min Z = 4 X1 + X2 + MR1 + MR2 s.a: 3 X1 + X2 + R1 + = 3 4 X1 + 3X2 - X3 + R2 + = 6 X1 + 2X2 + X4 = 4 FASE I: Minimizar r = R1 + R2 s.a: 3 X1 + X2 + R1 + = 3 4 X1 + 3X2 - X3 + R2 + = 6 X1 + 2X2 + X4 = 4 X1, X2, X3, X4, R1, R2 ≥ 0 Tabla: V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución r 0 0 0 -1 -1 0 0 R1 3 1 0 1 0 0 3 R2 4 3 -1 0 1 0 6 X4 1 2 0 0 0 1 4 Nuevo renglón r = Renglón r anterior + [1 x Renglón R1 + 1 x Renglón R2] Tabla: V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución r 7 4 -1 0 0 0 9 R1 3 1 0 1 0 0 3 R2 4 3 -1 0 1 0 6 X4 1 2 0 0 0 1 4 N.E.P = 1 1/3 0 1/3 0 0 1 Nueva Ecuación r:
2.
Ec. r anterior
7 4 -1 0 0 0 9 -7 (N.E.P) -7 -7/3 0 -7/3 0 0 -7 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2 Nueva Ecuación R2: Ec. R2 anterior 4 3 -1 0 1 0 6 -4 (N.E.P) -4 -4/3 0 -4/3 0 0 -4 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 Nueva Ecuación X4: Ec. X4 anterior 1 2 0 0 0 1 4 -1 (N.E.P) -1 -1/3 0 -1/3 0 0 -1 0 5/3 0 -1/3 0 1 3 Tabla: V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución r 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2 X1 1 1/3 0 1/3 0 0 1 R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 X4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3 N.E.P = 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 Nueva Ecuación r: Ec. r anterior 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2 -5/3 (N.E.P) 0 -5/3 1 4/3 -1 0 -2 0 0 0 -1 -1 0 0 Nueva Ecuación X1: Ec. X1 anterior 1 1/3 0 1/3 0 0 1 -1/3 (N.E.P) 0 -1/3 1/5 4/15 -1/5 0 -2/5 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 Nueva Ecuación X4: Ec. X4 anterior 0 5/3 0 -1/3 0 1 3 -5/3 (N.E.P) 0 -5/3 1 4/3 -1 0 -2 0 0 1 1 -1 1 1 Tabla Óptima: V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución r 0 0 0 -1 -1 0 0 X1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 R2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 X4 0 0 1 1 -1 1 1
3.
FASE II: Después
de eliminar las columnas artificiales, se reescribe el problema original Minimizar = 4 X1 + X2 s.a: X1 + 0X2 – X3 + X4 = 0X1 + X2 – X3 + X4 = X3 + X4 = 1 X1, X2, X3, X4, ≥ 0 Armando Tabla: V. Básica X1 X2 X3 X4 Solución r -4 -1 0 0 0 X1 1 0 1/5 0 3/5 X2 0 1 -3/5 0 6/5 X4 0 0 1 1 1 Nuevo renglón Z = Renglón Z anterior + [4 x Renglón X1 + 1 x Renglón X2] Reemplazando: V. Básica X1 X2 X3 X4 Solución Z 0 0 1/5 0 18/5 X1 1 0 1/5 0 3/5 X2 0 1 -3/5 0 6/5 X4 0 0 1 1 1 N.E.P 0 0 1 1 1 Nueva Ecuación Z: Ec. Z anterior 0 0 1/5 0 18/5 -1/5 (N.E.P) 0 0 -1/5 -1/5 -1/5 0 0 0 -1/5 17/5 Nueva Ecuación X1: Ec. X1 anterior 1 0 1/5 0 3/5 -1/5 (N.E.P) 0 0 -1/5 -1/5 -1/5 1 0 0 -1/5 2/5 Nueva Ecuación X2: Ec. X2 anterior 0 1 -3/5 0 6/5 -(-3/5) (N.E.P) 0 0 3/5 3/5 3/5 0 1 0 3/5 9/5
4.
Reemplazando: V. Básica X1
X2 X3 X4 Solución Z 0 0 0 -1/5 17/5 X1 1 0 0 -1/5 2/5 X2 0 1 0 3/5 9/5 X4 0 0 1 1 1 Así, las soluciones óptimas para el problema serían: X1 = 2/5 X2 = 9/5 Z = 17/5
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