Libro 2 autodidacta (1)2016

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LIBRO 2 - PREUNIVERSITARIO AUTODIDACTA, A DISTANCIA Y VIRTUAL
Una publicación de INSTRUIMOS.
Sede principal: Carrera 43 54-53 - Teléfono: (4)215 15 10 - Medellín - Colombia
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio sin permiso escrito
de INSTRUIMOS.
Este módulo didáctico fue compilado por los profesores del Departamento de Matemáticas y
Lenguaje de INSTRUIMOS.
Revisión ortográfica y gramatical realizada por el Departamento de Español de INSTRUIMOS.
Diagramado por el Departamento de Publicaciones de INSTRUIMOS.
Impreso por INSTRUIMOS.
Impreso en Colombia - Printed in Colombia.
Medellín - 2015

RAZONAMIENTO LÓGICO
• OBJETIVOS ................................................................................................................................... 5
• JUSTIFICACIÓN............................................................................................................................. 6
• ACERTIJOS.................................................................................................................................... 7
Actividad evaluativa 1...................................................................................................... 21
• GEOMETRÍA ................................................................................................................................ 37
• ANÁLISIS COMBINATORIO ........................................................................................................ 63
• PROBABILIDAD........................................................................................................................... 74
• ANÁLISIS DE SITUACIONES...................................................................................................... 88
COMPETENCIA LECTORA
• OBJETIVOS ............................................................................................................................... 101
• JUSTIFICACIÓN......................................................................................................................... 102
• SINÓNIMOS Y ANTÓNIMOS...................................................................................................... 103
Actividad evaluativa 6 ................................................................................................... 113
• ANÁLISIS DE LAS ANALOGÍAS............................................................................................... 116
Actividad evaluativa 7.................................................................................................... 122
• CONECTORES........................................................................................................................... 125
• FRASEOLOGÍA.......................................................................................................................... 136
• COMPRENSIÓN DE LECTURA................................................................................................. 148
Actividad evaluativa 10.................................................................................................. 153
• EXAMEN DE ADMISIÓN U. DE A.
(Razonamiento Lógico - aplicado el primer semestre de 2008).................................... 163
• EXAMEN DE ADMISIÓN U. DE A.
(Competencia Lectora aplicado el primer semestre de 2009)....................................... 170
• PSICOORIENTACIÓN
Aprender a aprender...................................................................................................... 176
• BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA ............................................................................................. 183
TABLA DE CONTENIDO
TEMA PÁGINA

RAZONAMIENTO
LÓGICO
OBJETIVOS
• Identificar los diferentes tipos de acertijos y las estrategias requeridas para su solución.
• Adquirir las destrezas necesarias para comprender reglas y enunciados en situaciones
complejas que requieran la elaboración de estrategias y toma de decisiones.
• Interiorizar algunas técnicas que permitan la correcta solución de los problemas de
razonamiento lógico.
• Desarrollar un razonamiento espacial objetivo y selectivo que permita ubicarse
correctamente en la vida, ubicar los objetos y manejarlos eficazmente.
• Diferenciar las figuras planas de las espaciales.
• Calcular el perímetro y el área de los polígonos más importantes y de las figuras con
sectores sombreados.
• Calcular el volumen de los sólidos más importantes y de algunas figuras que se forman
con ellos.
• Obtener conclusiones válidas a partir de evidencias fidedignas y claramente ciertas.
• Identificar los diferentes tipos de conteo y sus usos respectivos.
• Usar en el contexto preciso cada técnica de conteo para resolver problemas cotidianos.
• Calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio usando las propiedades
principales de la probabilidad.

JUSTIFICACIÓN
En este libro los temas que trabajaremos, buscan que el estudiante
desarrolle destrezas en la solución de los problemas tipo acertijos y de
análisis de situaciones, los cuales son de gran importancia en la evolución
del razonamiento lógico, que cada uno debe tener para afrontar de la
mejor forma el examen de admisión. Por otra parte se trabajara el tema
de la geometría, en la cual resolveremos problemas en los cuales se nos
pide hallar el perímetro, el área o el volumen de figuras planas y de tres
dimensiones. En los exámenes de admisión la geometría es una temática
que hace alusión a la ciencia de calcular, generalizar y medir el espacio y
las formas.
Además en este libro, veremos dos temas que están íntimamente ligados,
como lo son los problemas de análisis combinatorio (técnicas de conteo) y
los de probabilidad (ocurrencia de eventos aleatorios).

7PREUNIVERSITARIO AUTODIDACTA, A DISTANCIA Y VIRTUAL • LIBRO 2
ACERTIJOS
RELACIONES DE ORDEN PARCIAL O TOTAL
1. Cuando se posee información implícita o indirecta, que ordenándola puede solucionar el
problema.
Son problemas en los que interviene cierta cantidad de actores (sujetos, objetos, ideas) que
pueden ser ordenados por alguna cualidad o detalle.
Para esto, se hace uso de los símbolos <, >, ≤, ≥ (menor que, mayor que, menor o igual que y mayor
o igual que, respectivamente) que obedecen según la cualidad. Por ejemplo, Carlos es más alto que
Andrés se puede ver cómo Carlos > Andrés, o Andrés < Carlos. Así mismo, si Diana tiene menor o
igual cantidad de ropa que Ana, se puede simbolizar como Diana ≤ Ana, o Ana ≥ Diana.
Primero debemos identificar, por separado, cada desigualdad que da el problema (después de
elegir la convención a trabajar), y luego, simplemente colocamos cada pieza en su lugar. De ser
posible, se traza una recta orientada y ubicamos en ella cada elemento, según el orden.
Ejemplo Javier, Ana, María y Jorge son hermanos que recibirán una herencia, donde el mayor
recibirá 1/3 de la herencia, el menor 1/6 y los otros dos lo que queda en partes iguales.
Si Javier no es el menor pero tampoco es el mayor y Ana es mayor que Jorge pero menor que
Javier, quienes reciben 1/3 y 1/6, respectivamente, son
A. Ana y Javier
B. María y Jorge
C. María y Ana
D. no es posible saberlo
Otro método para solucionar este tipo de problemas es ubicar las iniciales de los personajes del
problema sobre la recta numérica, teniendo en cuenta que mientras más a la derecha se ubique
la inicial será mayor y mientras más a la izquierda se ubique la inicial será menor. Ubicando en
principio la información más explícita o segura.
Para este ejemplo en particular se comienza por “Ana es mayor que Jorge pero menor que Javier”.
Esta información asegura que Ana está entre Jorge y Javier, estando Jorge hacia el lado más
izquierdo y Javier al derecho, así:
Por simplicidad, con las iniciales
Por último se lee la otra parte de la información: Javier no es el menor pero tampoco es el mayor.
En la recta debe ir alguien a la derecha de Javier, para que este no sea el mayor, la única persona
que falta es María, por tanto María es la mayor.
La respuesta correcta es la opción B.
Jorge Ana Javier
Jo A Ja
Jo A Ja M
Solución:
Ana resuelve el problema, ya que está en medio de Javier y
Jorge, donde el primero no es el mayor; por lo tanto, la mayor
es María y el menor es Jorge. Observemos que las cantidades
en que se reparte la herencia no se necesitan en principio para
resolver el problema. Veamos: María > Javier > Ana > Jorge,
dando como respuesta B

PREUNIVERSITARIO AUTODIDACTA, A DISTANCIA Y VIRTUAL • LIBRO 28
2. Problemas lógicos
Si la información ordenada no es suficiente, es porque necesita un método de transitividad más
analítico que el anterior; uno de los métodos más utilizados es cruzar información en una tabla.
Frecuentemente, se presenta cuando se necesita relacionar roles, actividades o atributos, con
personas, objetos, animales, ciudades, etc.
Ejemplo
Pedro, Juan, José y Andrés tienen cada uno una profesión entre médico,
abogado, político y profesor. Con la siguiente información, encuentre las
respectivas profesiones:
1. Se sabe que el político y el abogado son amigos.
2. Juan no es profesor ni abogado.
3. Pedro no es amigo del político.
4. José conoce al abogado, pero no son amigos.
5. El profesor conoce a Andrés y a Pedro, pero no son amigos.
Solución:
Se construye una tabla Personas vs. Profesiones y con la información dada
se llena la tabla paso a paso. Se utilizaron los símbolos equis (x) y un ovalo
( ) para descartar o validar respectivamente. En este caso a cada persona
le corresponde sólo una profesión. Cuando se valida una casilla, todo lo
restante de ese renglón y columna se descarta colocando (x). Veamos:
Profesión
Nombre
Juan
Pedro
José
Andrés
Político Abogado Médico Profesor
En la tabla anterior y por el numeral 2 se sabe que Juan no es profesor ni
abogado. Por ello se colocan equis en ambas profesiones para Juan
Profesión
Nombre
Juan
Pedro
José
Andrés
Por el numeral 3, Pedro no es político.
Por el numeral 4, José no es abogado.
Por el numeral 5, Andrés y Pedro no son profesores.
Profesión
Nombre
Juan
Pedro
José
Andrés

Esta información es suficiente para saber que José es el profesor. Por ello en el cruce
José-Profesor colocamos un ovalo y equis para los demás en la fila y en columna, tomando
como referencia esta casilla.
Profesión
Nombre
Juan
Pedro
José
Andrés
Por el numeral 3, “Pedro no es amigo del políticoˮ y por el numeral 1, “el político y el
abogado son amigosˮ; entonces Pedro no puede ser abogado. Al colocar equis en el
cruce Pedro- Abogado, sólo queda la opción de que el abogado es Andrés. Colocamos
ovalo en el cruce Andrés-Abogado y equis al resto de casillas de la fila correspondiente a
Andrés. Con esto, el político sólo puede ser Juan y colocamos círculo en el cruce Juan-
Político y equis en el resto de profesiones para Juan. Así, el médico es Pedro.
Profesión
Nombre
Juan
Pedro
José
Andrés
Respuesta:
El abogado, el político, el médico y el profesor son respectivamente Andrés, Juan, Pedro,
y José.
Ejemplo
3. Tablas
Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la misma
cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Milton sapos y
murciélagos. Nartis tiene cinco mascotas, una es un murciélago y tiene la misma cantidad
de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que tiene Milton. Si Milton
tiene siete mascotas, encontrar la cantidad de animales de cada especie que cada uno
de ellos tiene.
Solución:
Paso 1:
Se ubica el total de mascotas y la información de Milton teniendo en cuenta que las
cantidades de arañas y murciélagos no se conocen, pero como son iguales podemos
asumir una variable x, la cual prácticamente resuelve el acertijo ya que Milton tiene siete
mascotas, es decir, x = 2.

Paso 2:
La información subrayada son los datos suministrados y la información en negrilla son
los datos hallados.
Mascotas
Personas
Sapos Arañas Murciélagos Total
Milton 3 x = 2 x = 2 7
Mortus 2 3 + x = 5 1 8
Nartis 2 2 1 5
Total 7 9 4 20
4. Distribución de redes
Existen problemas en los que se busca el tiempo mínimo necesario para cumplir a cabalidad
con ciertas tareas de las que se conocen los tiempos de duración y cuáles son prerrequisito o
correquisito. Una manera de solucionar este problema es identificar todas las posibles trayectorias
y escoger la que más tiempo se gasta.
Ejemplo
El estudiante de Instruimos, dentro de los diversos tópicos en los que se instruye, ve los
siguientes temas:
Comienza con una introducción a la lógica aristotélica, durante dos semanas. Luego, y
sólo después de saber lógica toma simultánea e independientemente una introducción a
la teoría clásica de conjuntos, y un análisis de silogismos por medio de diagramas lógicos,
los cuales se llevan dos y tres semanas respectivamente. Después de los silogismos,
está habilitado para enfrentar problemas de razonamiento deductivo, que se supera en
tres semanas. Por último, sólo después de haber superado la teoría de conjuntos y
los silogismos, el estudiante se capacita en combinatoria y probabilidad, durante dos
semanas. El tiempo mínimo que el estudiante se demora para cumplir con todos los
objetivos mencionados es:
A. 6 semanas
B. 8 semanas
C. 7 semanas
D. 9 semanas
Solución:
Lo primero es convenir un diagrama de flechas. De la tarea que sale la flecha, significa
que es prerrequisito de la tarea a la que llega dicha flecha. En este caso:
Lógica
Silogismos
Conjuntos
Razonamiento deductivo
Combinatoria y probabilidad

Ahora, encontramos todos los caminos posibles.
Lógica-Conjuntos-Combinatoria y Probabilidad, este camino se lleva seis semanas.
Lógica-Silogismos-Razonamiento, ocho semanas.
Lógica-Silogismos-Combinatoria y Probabilidad, siete semanas.
Por último, se escoge el tiempo más largo, ya que esto asegura haber terminado todas
las tareas por completo.
Luego, la respuesta es la B.
Otro método es por medio de contadores. Esta forma es más conveniente cuando existe
más de una pregunta del problema en las que intervienen modificaciones.
Considere las siguientes tareas:
TAREA TIEMPO DE DURACIÓN
A 3
B 5
C 5
D 7
E 3
F 1
Se sabe que:
• A y B pueden realizarse simultáneamente y de manera independiente
• C sólo puede cumplirse después de terminar A y B
• D se debe comenzar al finalizar B
• E se inicia después de C
• F sólo se realiza al terminar C o al terminar D
1. El tiempo mínimo para concluir todas las tareas es
A. 11 horas
B. 12 horas
C. 13 horas
D. 14 horas
Nuevamente convenimos un diagrama de flechas. En este problema la flecha continua
señalará que es un prerrequisito obligatorio, y la flecha discontinua denotará que vienen
de una disyunción. Así, si debo escoger entre la tarea X o la tarea Y para terminar lo más
pronto posible, escojo la tarea de menor duración, mientras que si se debe esperar a
terminar las tareas X y Y, entonces nos quedamos con el tiempo mayor.
En el ejemplo, C tiene como prerrequisitos a A y a B, que son simultáneas, esto es
A
B
C
Ejemplo

En cada tarea utilizaremos un contador de tres entradas. El primer valor es el tiempo que
ha trascurrido hasta antes de iniciar la tarea. El segundo valor es el tiempo de duración de
dicha tarea, y el tercer valor es la suma de los dos primeros que es el tiempo acumulado
hasta el momento de terminar la tarea en cuestión. Por ejemplo, el contador de A es
[0, 3, 3], para B es [0, 5, 5] y para C es [5, 5, 10], con todo esto, el diagrama queda así:
A [0, 3, 3]
B [0, 5, 5]
C [5, 5, 10]
D [5, 7, 12]
E [10, 3, 13]
F [10, 1, 11]
Nótese que en F se comenzó con 10 y no con 12.
Otra forma de realizar este tipo de ejercicios es con el método de la línea de tiempo:
Se comienza poniendo la(s) tarea(s) que pueda(n) realizarse sin ninguna restricción, para
el ejemplo, las tareas A y B.
A
B
3
5
Y se pone al final su duración total. Luego, dependiendo de las condiciones para las
tareas que siguen, se van poniendo luego de que las primeras terminan.
La tarea C, debe empezar luego de haber terminado las tareas A y B, por lo que la tarea
C comienza cuando hayan terminado las dos tareas.
C 10
A
B
3
5
La tarea D debe empezar luego de que B termine, quedando así:
C
D
10
12
A
B
3
5
Debe tenerse en cuenta que no hay restricciones para que C y D se realicen de forma
simultanea.

Para la tarea E, esta debe iniciar después de terminar C,así
C
D
10
12
A
B
3
5
13E
Por último para la tarea F, esta solo se realiza si termina C o D, por lo que comienza
cuando termine la primera, en este caso, termina primero C.
C
D
10
12
A
B
3
5
13
11
E
F
Ahora dependiendo de la pregunta hago el análisis sobre la línea de tiempo.
C
D
10
12
A
B
3
5
13
11
E
F
Termina A
Termina B
Termina C
Termina F
Termina D
Termina E
Fin de todo
el proceso
La respuesta es C (el mayor tiempo).

Ejemplo
FRACCIÓN DECIMAL PORCENTAJE
10
100
= 10%
2
100
= 2%
4
100
= 4%
1%
20%
40%
60%
1
100
1
25
1
50
1
10
2
5
1
5
1
9
3
5
0.04
0.02
0.2
0.4
0.6
0.1
0.01
0.111
TABLA DE EQUIVALENCIAS
FRACCIÓN DECIMAL PORCENTAJE
2
3 0.666
1
3 0.333
80%
4
5
0.8
5
8
7
8
3
8
1
8
0.875
0.625
0.375
0.125
87.5%
62.5%
37.5%
12.5%
11 / %1
9
331/3%
662/3%
NOTA: Esta tabla le será muy útil al estudiante para
identificar las equivalencias de un mismo número y poder
enfrentar las operaciones con éstos de una forma más
rápida y precisa.
El número de triángulos que hay en la figura es
A. 15
B. 19
C. 20
D. 16
Solución
Este tipo de ejercicios, de conteo de figuras puede llegar a ser confuso, debido a que el estudiante
no emplea un método organizado para el conteo de las figuras.
Lo primero que se hace es etiquetar cada región. Para este ejemplo en particular se tiene ocho
regiones. Recuerda llevar un orden.
a
h
b
g
c
f
d
e
Unavezetiquetadastodaslasregionesseprocedealconteodelasfiguras,enestecasotriángulos,
comenzando por los que están formadas
por una zona, luego los que están formados
por dos zonas, y así sucesivamente hasta
contarlos todos.
En total hay 16 triángulos, que es la suma
de los triángulos formados.
Zona
Número
de triángulos
a,b,c,d,e,f,g,h 8
bc, de, fg, ha 4
bcde, defg, fgha, habc 4

Ejemplo
...
En la anterior secuencia la figura que aparece en la posición 1612
A.
B.
C.
D.
Solución
Cuando se presentan secuencias con figuras se verifica cada cuanto se repiten. En este
ejemplo, las figuras se repiten cada ocho, así el triángulo aparece en la posición 1, 9, 17 y así
sucesivamente. El cuadrado en la posición 2,10,18 y así sucesivamente. Aunque el cuadrado
vuelve a aparecer dos veces antes de que se vuelva a repetir el triángulo se puede ver que la
secuencia se puede partir en paquetes de ocho figuras y estos paquetes tienen las mismas
figuras en las mismas posiciones.
Paquete 1 Paquete 2 Paquete 3
Por lo que esos paquetes de 8 figuras se repetirán durante las primeras 1612 figuras 201
veces. Esto resulta de dividir 1612 entre 8.
1612
012
4
8
201
Luego de hacer la división decimos que los paquetes de ocho figuras se repiten 201 veces y
sobran 4 figuras. Ahora a partir de la primera (incluyéndola) se cuentan cuatro figuras.
1 2 3 4 5 6 7 8
Por lo tanto la figura 1612 es el rombo, que es la respuesta C

Ejemplo
A una figura de entrada se le aplican tres operaciones dada por la secuencia de tres
números, en donde 0 significa que no se aplica la operación y 1 significa que si se aplica
la operación. Las operaciones se realizan en orden.
Figura operación salida
111
A la salida se obtiene la figura modificada y las tres operaciones son las siguientes
Operación 1: Rotar 90° a la derecha
Operación 2: Rotar 180°
Operación 3: pintar la figura
Como ejemplo. Si ingresamos la siguiente figura y tenemos el código 101 se obtiene.
101
Operación 1 Operación 3
Se realizan las operaciones 1 y 3 respectivamente.
operación 1
operación 3
Si la figura que se introduce es y el código es 111. La figura a la salida será
A.
B.
C.
D.
Solución
Se recomienda dibujar el paso a paso de la figura, cada vez que pasa por una operación,
como se verá a continuación.
Se deben aplicar las tres operaciones, pues esto significa el código 111.

Ejemplo
Al aplicar la primera operación.
Rotar 90° hacia
la derecha
Esta figura será la nueva para aplicarle la operación 2.
Rotar 180°
Esta nueva figura es la entrada para la operación 3.
Pintar la ﬁgura
Esta figura es la salida después de aplicar las tres operaciones.
Se debe tener en cuenta que cada vez que se realiza una operación la figura cambia
y esta nueva figura es la figura base para la siguiente operación. Además, el orden es
importante tenerlo en cuenta, ya que no es lo mismo aplicar primero la operación 2 y
luego la 1 que primero la operación 1 y luego la 2.
Se tienen 21 monedas y una de ellas es falsa, la moneda falsa pesa un poco menos
que las demás, imperceptible para pesarlas en la mano. Se cuenta con una balanza
de precisión, que logra poner en evidencia esta diferencia de pesos. Cuántas pesadas
como mínimo se debe hacer para encontrar la moneda falsa.
A. 2
B. 5
C. 4
D. 3
Solución
El grupo de monedas se divide a su vez en tres grupos, tratando de que el número de
monedas en cada grupo sea igual o muy cercano, y se realiza la pesada de dos de ellos.

Cada grupo quedará entonces compuesto por 7 monedas, se escogen dos grupos y se
pesan.
Se pueden dar tres casos:
Caso 1: La balanza quede equilibrada. La moneda falsa estará entonces en el grupo
que no fue pesado.
Caso 2: La balanza se incline hacia la derecha. La moneda falsa estará entonces en el
grupo que esta en el brazo izquierdo de la balanza.
Caso 3: La balanza se inclina hacia la izquierda. La moneda falsa estará entonces en el
brazo derecho de la balanza.
Siguiendo con este mismo procedimiento ahora el nuevo grupo de monedas es de 7, lo
dividimos en tres grupos nuevamente.
Por lo que quedaría un grupo de tres monedas y dos grupos de dos monedas. Se
someten nuevamente a la balanza. Hay que tener en cuenta que el número de monedas
que se someta a la balanza debe ser igual en ambos brazos, por lo que se escogen los
dos grupos de dos monedas.
7 monedas 7 monedas
7 monedas
2 monedas 2 monedas
3 monedas

Cualquiera de los tres casos que se represente deja dos monedas o tres monedas para
la siguiente pesada veamos con dos monedas.
1 moneda 1 moneda
Con tres monedas
1 moneda 1 moneda
1 moneda
Igual al caso anterior, y además si la balanza queda en equilibrio, la moneda falsa es la
que no se pesa.
La respuesta correcta es la C.
Si la balanza se inclina hacia la
izquierda, la moneda falsa estará en el
brazo derecho y viceversa.
Ejemplo
Juan y Rocío tienen tres hijos solamente: Pedro, Lucía y María. Juan es el abuelo
materno de kevin quien solo tiene una hermana, Vicky y no es hijo de María.
El parentesco entre Vicky y Pedro es, respectivamente
A. sobrina - tío
B. hija - padre
C. nieta - abuelo
D. hermana - hermano

Solución
La forma más adecuada de resolver este tipo de ejercicios es realizar el árbol genealógico
y encontrar el tipo de relaciones entre cada uno de los integrantes.
Se comienza por la información más clara y se hace el menor número de suposiciones
posibles.
(Esposos)
Rocío
Pedro Lucía María
Juan
Cuando en el ejercicio dicen que Juan es el abuelo materno de Kevin, se deduce que
Kevin debe ser hijo de Lucía o de María, una vez el ejercicio dice que no es hijo de María
se sabe que es hijo de Lucía. Se termina de llenar el árbol genealógico.
(Esposos)
Rocío
Pedro Lucía María
Juan
Hermanos
HermanosKevin Vicky
Teniendo el árbol genealógico completo, se puede inferir la información entre el
parentesco de Vicky y Pedro. Ellos son respectivamente sobrina y tío.
La respuesta correcta es la A.

1. El número total de triángulos que
tiene la figura siguiente es
A. 20
B. 22
C. 24
D. 18
2. Tres dados, cada uno con caras
numeradas de 1 a 6 se ubican
como se muestra en la figura,
sabiendo que siete de las 18
caras son visibles, y que en un
dado diseñado correctamente
sus caras opuestas deben sumar
siete, la cantidad de puntos que
no son visibles en el diagrama es
A. 39
B. 35
C. 42
D. 44
D X C A
E B Z X
A Z Y F
C Y H D
12 29 ? 23
15
25
18
20
3. En el cuadro cada letra representa un
número y se muestran los totales al sumar
filas y columnas, según esto la suma de C,
Z, Y, H da como resultado
A. 23
B. 15
C. 18
D. 14
4. El ayer de pasado mañana es miércoles. El
pasado mañana de mañana será el día
A. jueves
B. martes
C. viernes
D. sábado
5. El número de triángulos en la figura es
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
Responde las preguntas en la hoja de respuestas virtual.
22
555
9
44ACTIVIDAD EVALUATIVA 1

6. Pedro hace cigarrillos con las colillas.
Si necesita 7 colillas para hacer un
cigarrillo, los cigarrillos que hará
con 49 colillas si de cada cigarrillo
siempre sobra una colilla de igual
tamaño son
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Preguntas 7 y 8.
Johana y Cristian son esposos y solo
tienen tres hijos: Camilo, Lina y Maribel.
Johana y Cristian son los abuelos
maternos de Edwin, quien no es hijo de
Lina, Edwin es hijo de Juan, no tienen
hermanos y Laura es su única hermana.
7. De lo anterior se puede deducir que
Lina y Laura son respectivamente
A. hermanas
B. sobrina - tía
C. tía - sobrina
D. madre - hija
8. La relación entre Juan y Cristian es
respectivamente
A. tío - sobrino
B. suegro - yerno
C. hermanos
D. yerno - suegro
9. En una urna hay 7 bolas rojas y
4 negras. ¿Cuántas bolas como
mínimo debo extraer para tener la
certeza de haber sacado una de
cada color?
A. 3
B. 5
C. 8
D. 12
10. En la anterior figura la cantidad de triángulos
que hay es
A. 13
B. 10
C. 11
D. 12
Responde las preguntas 11 y 12 de acuerdo
con la siguiente información.
En un café se vende un producto diferente de
lunes a viernes. Los productos son: cappuccino,
mocaccino, irlandés, latte, y vienés. El cappuccino
se sirve antes que el mocaccino, el irlandés
y el cappuccino se sirve en días consecutivos,
además el latte no se sirve los martes.
11. Si el jueves se sirve el irlandés, entonces el
café que se sirve el lunes es
A. cappuccino
B. mocaccino
C. latte
D. vienés
12. El café que no se ofrece el viernes es
A. cappuccino
B. mocaccino
C. latte
D. vienés
Responde las preguntas 13 y 14 teniendo en
cuenta el siguiente enunciado.
Elena, Maribel, Lina y Johana tienen cada
una profesión diferente: licenciada, psicóloga,
Ingeniera e historiadora, no necesariamente en
este orden.

Además se sabe que:
• Elena y Lina, ambas con problemas
de depresión, fueron a visitar a la
psicóloga
• Maribel y la Ingeniera han ido a
visitar a la historiadora al trabajo
• La historiadora sale a jugar bolos
con Johana y la licenciada
13. Con la anterior información y
sabiendo que Johana no es
ingeniera, entonces de las
siguientes afirmaciones, de la única
que se tiene certeza es
A. Johana es la psicóloga
B. Elena es la licenciada
C. Lina no es la ingeniera
D. la historiadora no es Lina
14. Unposibleordenparalasprofesiones
de Maribel, Lina, Johana y Elena,
respectivamente es
A. licenciatura, psicología, historia e
ingeniería
B. psicología, licenciatura, ingeniería
e historia
C. ingeniería, licenciatura, historia y
psicología
D. licenciatura, ingeniería, psicología
y historia
Responde las preguntas 15 y 16.
Luis, César y Andrés tienen 18 juguetes
entre carros, aviones y caballos. Se
sabe que Luis tiene seis juguetes de
los cuales dos son caballos y la misma
cantidad de carros que tiene César.
César tiene dos juguetes más que Luis
y tiene la misma cantidad de carros
que de caballos. Por su parte Andrés,
que posee de los tres juguetes, tiene
la misma cantidad de aviones que de
caballos y tiene la misma cantidad de
aviones que Luis.
15. La cantidad de aviones que tienen entre los
tres es
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
16. Los caballos que tiene César son
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Responde las preguntas 17 y 18.
Cuatro parejas de esposos juegan parqués
alrededor de una mesa circular. Se sabe que:
• Las parejas de esposos se sientan juntos
• Hay dos señores que se sientan juntos
• A la derecha de la señora Higuita se sienta la
señora Pérez
• El señor Roldan se sienta junto a la señora
López
• Coincidencialmente las parejas tienen el
mismo apellido
17. Según lo anterior, se puede afirmar con
certeza que
A. el señor López se sienta al lado del señor
Pérez
B. la señora Higuita se sienta a la derecha de su
esposo
C. el señor Pérez se sienta a la izquierda de su
esposa
D. el señor Higuita se sienta al frente de la
señora Roldan
18. Si además se sabe que el señor López está
al frente del señor Higuita, entonces la señora
López está a la
A. izquierda de su esposo
B. derecha del señor Roldan
C. izquierda del señor Roldan
D. izquierda de la señora Higuita

Preguntas de la 19 a la 21.
La siguiente tabla muestra una lista de
actividades que deben realizar Ana y su
madre, para organizar la casa y el tiempo que
se emplea para realizar cada tarea.
Actividad Tiempo (minutos)
A Sacudir ventanas 15
B Sacudir ﬂoreros 10
C Barrer 20
D Trapear 25
E Lavar platos 10
F Lavar ropa 20
Se debe tener en cuenta que:
• Las tareas A y B se pueden realizar
simultáneamente
• La tarea C se puede realizar después
de terminar las tareas A y B
• La tarea D se puede realizar después
de terminar la tarea C
• Las tareas E y F se pueden realizar
en simultaneo después de terminar la
tarea D
19. El tiempo mínimo para la terminación de
todas las actividades es
A. 90 minutos
B. 65 minutos
C. 80 minutos
D. 75 minutos
20. Si el tiempo de la tarea A se reduce en la
tercera parte, entonces el tiempo mínimo
para para terminar las tareas es
A. 70 minutos
B. 65 minutos
C. 80 minutos
D. 75 minutos
21. Si el tiempo de la tarea D se reduce a la
quinta parte, entonces el tiempo mínimo
comparado con el inicial
A. aumenta en 5 minutos
B. disminuye en 20 minutos
C. disminuye en 30 minutos
D. disminuye en 15 minutos
La siguiente secuencia tiene un patrón que
se repite indefinidamente.
22. La figura que se ubica en la posición 577
de la secuencia es
A. B.
C. D.
Una máquina automatica recibe piezas
y las transforma haciendo 4 procesos
fundamentales en el orden requerido por el
usuario.
Proceso 1: pinta la pieza de negro
Proceso 2: corta la pieza por el centro con
un seccionador horizontal.

Proceso 3: corta la pieza por el centro con
un seccionador vertical
Proceso 4: rota la figura sobre su eje en
el sentido de las manecillas del reloj hasta
apoyarse en la cara plana adyacente.
Las operaciones a realizar se escriben en una
columna que la máquina lee automáticamente
de abajo hacia arriba.
Ejemplo:
23. Si se introduce en el ordenador de la
máquina la columna
P4
P3
P2
y una figura de
forma cúbica con un agujero de lado a
lado
La figura resultante sería
A. B.
C. D.
De acuerdo con la siguiente información,
responde las preguntas de la 24 a la 26.
Se tiene un cubo de madera que luego se
procesa de la siguiente forma
1. pintar las seis caras del cubo inicial.
2. dividir el cubo de madera en 27 cúbitos
iguales.
CUBO DE MADERA
1 2
De estos nuevos cúbitos,
24. Los cubos que tienen al menos tres caras
pintadas
A. 0
B. 4
C. 8
D. 10
25. Los cubos que tienen al menos una cara
pintada
A. 26
B. 4
C. 6
D. 8

26. Los cubos que tienen pintadas máximo
dos caras
A. 19
B. 12
C. 8
D. 4
27. El río Danubio es menos largo que el río
Volga, pero en cambio su extensión es
mayor que la del río Colorado. Por otra
parte, si comparamos los kilómetros
que miden los ríos Colorado, Danubio
y Tarim, vemos que a pesar de que el
primero no es tan extenso como el
segundo, supera en kilómetros al Tarim.
El río más largo y el que lo sigue en
longitud son respectivamente
A. Danubio y Tarim
B. Volga y Tarim
C. Danubio y Colorado
D. Volga y Danubio
La construcción de una zona residencial
requiere la ejecución de 6 tareas principales,
así:
Tarea Tiempo
A Limpieza de predios 1 semana
B Adecuación de terrenos 2 semanas
C Edificación 10 semanas
D
Instalación de redes
eléctricas y de
conocimiento
5 semanas
E
Instalación de redes de
acueducto y alcantarillado
8 semanas
F
Construcción de vías de
comunicación
3 semanas
• Las tareas A y B se pueden ejecutar
simultáneamente.
• La tarea C puede comenzar al finalizar
la tarea A o la tarea B.
• Las tareas D y E se pueden ejecutar
simultáneamente luego de terminar la
tarea C.
• La tarea F sólo puede empezar cuando
sean terminadas las tareas D y E.
28. Según las condiciones que requiere
la obra, el tiempo mínimo que tomará
culminar el proyecto residencial es
A. 18 semanas
B. 20 semanas
C. 22 semanas
D. 23 semanas
responde las preguntas 29 y 30.
En un conocido juego, un participante escribe
en secreto un número (N) de tres dígitos. Otro
participante trata de descubrir qué número es
N. Para ello escribe un número de tres dígitos.
El primer participante le informa cuántos
dígitos del número aparecen en N en una
posición distinta (M) y cuántos aparecen en
la misma posición (B). Cada tabla muestra el
resultado en varios intentos
Número dado B M
136 1 0
402 1 1
130 0 0
29. Según la tabla, el número N es
A. 246
B. 624
C. 462
D. 426

Número dado M B
894 1 0
134 0 1
917
746
0
1
0
0
30. Según la tabla, el número N es
A. 836
B. 638
C. 483
D. 384
Un supermercado necesita organizar en su
sección de granos 5 clases de arroz: M, C, D,
R y F, los cuales deben colocarse en una fila de
5 estantes consecutivos, no necesariamente
en este orden.
Las inﬂuencias que uno de ellos tiene sobre
los otros y sus presentaciones, exigen que se
cumplan las siguientes condiciones para su
ubicación, así
• M y C no pueden estar en lugares
contiguos.
• R y M ocupan posiciones contiguas.
• R no está en un extremo y no está
contiguo a F.
• D no está contiguo a C ni a F.
31. De las siguientes, la única que no es
posible es
A. C entre R y F
B. F está en un extremo
C. D está en un extremo
D. D está justo en medio de M y de R
32. De los ordenamientos que se indican,
el único que satisface todas las
condiciones es
A. MRCDF
B. FMRCD
C. DMRCF
D. DFMRC
El señor Hincapié realizó una investigación
y encontró que algunos tipos de leche se
venden más que otros a pesar de que la
publicidad es igual para todos. Los resultados
son los siguientes: la leche pasteurizada se
vende más que la leche entera. La venta de
leche evaporada es mayor que la de leche
condensada, pero menor que la de leche
entera. La leche semidescremada se vende
más que la evaporada, pero menos que la
leche entera. La leche descremada se vende
más que la leche condensada, pero menos
que la evaporada.
33. Las leches segunda, cuarta y sexta que
más se venden son
A. pasteurizada, condensada y evaporada
B. entera, evaporada y condensada
C. pasteurizada, semidescremada y
descremada
D. entera, descremada y evaporada
34. Andrea, Bernardo y César están
viajando en moto. Cada uno de ellos lo
hace con la moto de uno de sus amigos
y lleva el casco de otro amigo distinto
al de la moto. El que lleva el casco de
César viaja en la moto de Bernardo.
La moto de Andrea es conducida por
A. no se puede saber
B. César
C. Bernardo
D. Andrea

35. El día siguiente a pasado mañana está
tan lejos del domingo como el día de ayer
está de pasado mañana. Por tanto, el
mañana de ayer hoy sólo puede ser
A. jueves
B. miércoles
C. lunes
D. martes
36. El número de rectángulos que hay en la
figura es
A. 19
B. 11
C. 30
D. 29
37. El número de cuadrados que hay en la
figura es
A. 19
B. 11
C. 30
D. 29
De acuerdo con el siguiente enunciado,
responda las preguntas 38 y 39.
Elena, María y Susana estudian idiomas y
entre las tres tienen 16 libros de consulta.
De los cuatro libros de Elena, la mitad son
de francés, y uno es de italiano. María tiene
la misma cantidad de libros que Elena pero
sólo tiene la mitad de sus libros de francés
y la misma cantidad de libros de italiano.
Susana tiene solamente un libro de alemán,
pero en cambio tiene tantos libros de italiano
como libros de alemán tiene María.
38. El número de libros de alemán que
tienen entre las tres es
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
39. El número de libros de francés que tiene
Susana es
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
40.
...
1 2 3 4 5 6 7 8 9
En la anterior secuencia la figura correspon-
diente a la posición 1.330 es
A.
B.
C.
D.

Preguntas 1 y 2.
Gabriel, William, Julián y Alex estudian en
una academia de payasos y deben hacer un
número en parejas para aprobar el curso.
El jefe de vestuario tuvo una confusión y
no sabe cuál peluca (verde, roja, amarilla o
naranja) y cuáles zapatos (bolitas, estrellitas,
triangulitos o cuadritos) corresponden a cada
uno de ellos. Sin embargo recuerda que Alex
no usa los zapatos de triangulitos y no usa la
peluca naranja. El que actúa con William usa
la peluca roja. Julian no actua ni con William ni
con quien usa los zapatos de cuadritos. Alex
y su compañero no se entienden con William,
quien usa los zapatos de bolitas. La peluca
amarilla no la usa el compañero de Julian. la
peluca naranja y los zapatos de triangulitos no
se usan juntos.
1. La peluca verde y los zapatos de
triangulitos son usados respectivamente
por
A. Gabriel y William
B. Alex
C. Alex y Julián
D. Julián
2. Quien usa la peluca amarilla solo puede
ser
A. Alex
B. William
C. Julián
D. Gabriel
3.
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Se desea dividir el reloj en 6 partes no
necesariamente iguales, de modo que en
cada parte la suma sea la misma.
La suma es
A. 12
B. 13
C. 17
D. 18
4. Una jarra metálica contiene 7 bolas
azules, 8 negras y 9 verdes. El menor
número de bolas que es necesario
sacar de la jarra sin mirar su contenido
para tener certeza de tener 3 bolas del
mismo color es
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
22
555
9

La fabricación de un juego de sala requiere la
terminación de cinco procesos. La siguiente
tabla indica la duración de cada proceso y la
secuencia de realización de ellos.
PROCESO
DURACIÓN
EN HORAS
INICIA
A 14
Simultáneamente
B 26
C 29
Cuando finalice el
proceso A
D 25
Cuando finalice el
proceso B
E 28
Cuando finalicen
los procesos B o C
5. El tiempo necesario para fabricar el
juego de sala es
A. 54 horas
B. 71 horas
C. 122 horas
D. 49 horas
6. Si se reduce el proceso E en 13 horas,
entonces las horas en que disminuye el
tiempo de fabricación del juego de sala
son
A. 13 horas
B. 12 horas
C. 3 horas
D. 14 horas
7. Teniendo en cuenta la información de
la pregunta anterior, si se incrementa
el proceso C a 37 horas y se reduce
el proceso B en 11 horas, entonces el
tiempo de fabricación del juego de sala,
con respecto al tiempo inicial
A. se reduce 3 horas
B. se incrementa 3 horas
C. se aumenta 8 horas
D. no se modifica
8. Las cestas contienen huevos; en unas
cestas hay huevos de gallina, en las
otras de pato. Su número está indicado
en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. “Si
vendo esta cesta -meditaba el vendedor-
me quedará el doble de huevos de
gallina que de pato”.
¿Las canastas con huevos de pato son
las que tienen?
A. 12 y 5
B. 14 y 6
C. 12 y 6
D. 23 y 12
A, B, C, D, E, F están organizados en círculos
cogidos de la mano así:
• A no está al lado de B ni de C
• D no está al lado de E ni de C
• B no está al lado de E ni de D
• B sujeta con la mano derecha a F
9. La persona que está a la derecha de D es
A. A
B. B
C. C
D. F
10. María está al Noreste de Juana, Lucas
está al Sureste de María y al este de
Juana
N
E
S
O
Se puede afirmar con certeza que
A. María está al Noreste de Lucas
B. Juana está al Este de Lucas
C. Juana está al Oeste de Lucas
D. Lucas está al Suroeste de María

Responde las preguntas 11 y 12 de acuerdo con
la siguiente información.
El edificio de Instruimos tiene 6 pisos numerados
del 1 al 6 de abajo hacia arriba. Seis profesores:
Leonardo, Wilson, Robinson, Edwin, Camilo y
Manuel tienen sus clases en los seis pisos, no
necesariamente en ese orden, con solo un docente
por piso. Se sabe que
– Robinson está a tantos pisos de Wilson como
Wilson lo está de Manuel.
– Camilo y Manuel no están en pisos adyacentes.
– Manuel está en algún piso más arriba que
Edwin.
– Leonardo está en el quinto piso.
11. De las siguientes afirmaciones son verdaderas:
I. Wilson puede estar en el piso 3 o 4.
II. Manuel puede estar en el piso 1 o 2.
III. Edwin puede estar en el piso 4 o 6.
A. solo I
B. solo I y II
C. solo I y III
D. solo II
12. Si además se conoce que Camilo está en el
primer piso, entonces se puede afirmar que
Edwin está en el piso
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
13. Se tiene la siguiente secuencia:
←↑→↓← ←↓→↑ ←↑→↓← ←↓
que se continua repitiendo indefinidamente, si
comenzara en el sexto símbolo, la figura que
iría en la posición 4390 es
A. ←
B. ↑
C. →
D. ↓
Un pasillo es alumbrado por cinco
lámparas alineadas y numeradas de
izquierda a derecha del 1 al 5. Las
luces de cada lampara son diferentes:
roja, amarilla, verde, azul o blanca. No
necesariamente en ese orden, pero se
sabe que
‒ La luz azul debe colocarse a la
izquierda de la roja.
‒ no debe colocarse la luz blanca
en la lámpara cinco.
‒ La luz verde debe colocarse a la
derecha de la amarilla.
14. Si la luz verde se colocó en
el puesto 4 junto a la lámpara
blanca, entonces se tiene certeza
que
A. en la lámpara 5 se colocó la luz
amarilla
B. la luz roja se coloco en la lámpara
5
C. en la lámpara 2 se colocó la luz
azul
D. la luz amarilla se colocó en la
lámpara 1
15. Un ordenamiento válido de
izquierda a derecha es
A. rojo, azul, blanco, amarillo y verde
B. amarilla, verde, azul, roja y blanca
C. blanca, amarilla, verde, azul y roja
D. blanca, azul, rojo, verde, amarillo
16. Si se sabe que la luz azul se colocó
enlalámpara3,entonceselnúmero
de posibles ordenamientos es
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

17. En las caras de un cubo se han puesto los números del 1 al 6 de forma que dos caras
opuestas suman siete.
2
1
2
6
5
43
Señala el cubo que es idéntico al anterior
A. B. C. D.
3
2
1
6
4
5
1
a
b10
6
18. Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se arreglan a lo largo de un círculo de modo
que la diferencia entre cada par de números vecinos es 1 o 2. En el diagrama se
pueden leer algunos de los números, mientras que los demás están tapados por
cuadritos. La suma de los números correspondientes a a y b es
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

19. Sobre una mesa hay tres cajas, una que
solo tiene manzanas, una que contiene
solo naranjas y otra que tiene manzanas
y naranjas. Las cajas están marcadas en
su exterior como se muestra en la imagen,
pero ninguna etiqueta corresponde con
su contenido. Si solo se puede elegir una
cajaydeallísolosepuedesacarunafruta,
entonces ¿cuál se debe seleccionar para
determinar correctamente el contenido
de todas las cajas?
A. la caja que dice “Naranjas”
B. la caja que dice “Manzanas”
C. la caja que dice “Naranjas y Manzanas”
D. no es posible eligiendo una sola caja
20. Wilson siempre se roba el periódico
de la sala de profesores para inventar
ejercicios para el parcial. El día de
hoy solo nos dejó una de las hojas del
periódico que en una de sus caras tenía
las páginas 5 y 20. El número de páginas
que tenía el periódico es
A. 26
B. 25
C. 24
D. 28
21. Se tienen cuatro monedas, todas
con cara hacia arriba. Un movimiento
consistirá en darle la vuelta a tres
monedas cualquiera a la vez. El menor
número de movimientos necesarios para
poner todas las monedas con sello hacia
arriba es
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
22. Se tienen tres cajones marcados como
se indica en la figura, que guardan dos
libros cada uno. En uno se guardan
dos libros de francés, en otro dos
libro de alemán y en el restante un
libro de alemán y otro de francés. Se
sabe además que los libros están mal
ubicados y que ningún cajón contiene
los libros con que están marcados. Se
desea saber cómo están ubicados los
libros extrayendo sólo un libro de alguno
de los cajones, esto es posible si
A. se toma un libro del cajón FF
B. se toma un libro del cajón AA
C. se toma un libro del cajón FA
D. no es posible saberlo sacando sólo
un libro

Se construye un cubo con 27 cubos unitarios,
luego se perfora hasta la cara opuesta tal
como lo muestra la figura.
23. El material perforado equivale a
A. 3 cubos
B. 4 cubos
C. 5 cubos
D. 6 cubos
Diana y Félix se casaron y solo tuvieron
tres hijos, Luis, Cecilia y Susana. Diana
y Félix son padres de la madre de
Armando. Armando es hijo de Walter y
de la hermana de Cecilia. Mariana es
hermana de Armando y su bisabuelo
materno se llama Renán, quien tuvo
solo un hijo varón pero no tuvo hijas.
24. Se deduce con certeza que
I. Luis es nieto de Renán.
II. Diana es madre de Mariana.
III. Cecilia es tía de Mariana.
A. solo I y II son verdaderas
B. solo I y III son verdaderas
C. solo II y III son verdaderas
D. todas son verdaderas
25. El hijo del abuelo de Luis es
A. Renán
B. Félix
C. Luis
D. Armando
26. El único hijo varón del abuelo materno
de Armando es
A. Félix
B. el tío de la hija de Armando
C. Armando
D. Luis
De acuerdo con la siguiente información
Partiendo de un modelo inicial dado por
se establecen tres reglas A1, A2, A3, las cuales
producenlossiguientescambiossobrelafigura.
A1: rota la figura 90° hacia la derecha.
A2: se invierte el color.
A3: rota la figura 180° hacia la izquierda.
La aplicación de una regla se indica con la
letra x y su no aplicación con y.
Ejemplo:
La aplicación xyx significa que se aplica A1 y
A3, pero A2 no se aplica.
27. La secuencia que produce la forma
partiendo del modelo inicial es
A. yxy
B. xxx
C. xyx
D. yyx
28. Si se aplica la secuencia yxx al modelo
inicial esta irá asociada con la forma
A.
B.
C.
D.

29. En la siguiente secuencia cuál es la
quinta fila
1° → ④⑦⑥①⑫
2° → ⑥⑫⑦④①
3° → ⑦①⑫⑥④
A. ④⑦⑥⑫①
B. ①⑥④⑫⑦
C. ⑦④①⑫⑥
D. ①⑥④⑦⑫
Preguntas 30 y 31.
30. Pedro es mayor que Lucas, pero menor
que Mario. Ramón es menor que Juan,
pero mayor que Lucas. Si cada una de
estas personas, tiene edades diferentes,
entonces de lo único que tenemos
certeza es de
A. Ramón es el mayor
B. Lucas es el menor
C. Pedro es el mayor
D. Ramón es el menor
31. Si además se sabe que Juan es menor
que Pedro, entonces el orden de mayor a
menor edad de estas cinco personas es
A. Mario, Pedro, Ramón, Juan y Lucas
B. Mario, Pedro, Ramón, Lucas y Juan
C. Mario, Pedro, Juan, Ramón y Lucas
D. Mario, Pedro, Juan, Lucas y Ramón
Preguntas 32 y 33.
Ana, Beto, Carlos y Diana practican diferentes
deportes: fútbol, baloncesto, bolos y tenis, no
necesariamente en ese orden. Se sabe que
la novia de Carlos practica bolos. Aunque a
Beto no le gusta el fútbol, acompaña a su
novia a practicarlo.
32. Si Carlos no conoce a Diana, entonces
se tiene certeza que
A. Beto practica baloncesto
B. Carlos no practica tenis
C. Diana practica fútbol
D. Beto no practica baloncesto
33. Si además se sabe que a Carlos no le
gustan los deportes con raqueta, entonces
los deportes que practican Ana, Beto,
Carlos y Diana respectivamente son
A. bolos, tenis, baloncesto y fútbol
B. bolos, tenis, fútbol y baloncesto
C. fútbol, tenis, baloncesto y bolos
D. fútbol, tenis, bolos y baloncesto
Preguntas 34 y 35.
Maribel, Lina y Sandra coleccionan tres tipos
de monedas: yuanes, riyales y rublos. Se
sabe que entre las tres tienen un total de 64
monedas, de las cuales 26 son de Maribel.
De estas ella tiene 14 riyales y tiene la misma
cantidad de rublos que riyales tiene Lina.
Sandra que tiene un total de 18 monedas, tiene
el doble de yuanes que de riyales, además se
sabe que tiene 1 rublo menos que la cantidad
de riyales que tiene Lina, que es la mitad de los
riyales de Maribel. Al contar se dieron cuenta
que entre las tres tienen 16 rublos.
34. Los yuanes de Lina son
A. 5
B. 8
C. 10
D. 14
35. El total de riyales que tienen entre las
tres es
A. 23
B. 18
C. 16
D. 25
Preguntas 36 y 37.
Cuatro amigos: Wilson, César, Robinson y Luis
se sentaron en una mesa redonda a comer
pizza. El que se sentó a la derecha de Wilson
comió pizza de vegetales. César se sentó a
la derecha del que estaba comiendo pizza
napolitana. Quien se sentó al frente de Luis
estaba comiendo pizza de salami, además se
sabe que Wilson no comió hawaiana.

36. César se comió la pizza de
A. hawaiana
B. salami
C. vegetales
D. napolitana
37. La pizza de salami se la comió
A. Wilson
B. César
C. Robinson
D. Luis
38. El patrón ΣβαφδΩΣβαφδΩ se repite indefinidamente. El símbolo que se ubica en la
posición 1.014 es
A. α
B. Φ
C. β
D. Ω
Preguntas 39 y 40.
En una fábrica de calzado se tienen que realizar cinco actividades en el transcurso del día. Estas
actividades y su tiempo de ejecución son:
Actividad Tiempo de ejecución (horas)
A 4
B 2
C 6
D 3
E 4
39. El tiempo mínimo para la realización de todas las tareas es
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
40. Si la tarea A se reduce en un 25 %, entonces el tiempo mínimo para realizar todas las
actividades con respecto al tiempo inicial
A. aumenta en una hora
B. disminuye en una hora
C. no se modifica
D. disminuye dos horas
Los instructivos para realizar estas tareas son:
• las tareas A y C se pueden realizar en simultaneo
• la tarea B se puede empezar al culminar las tareasAo C
• cuando se haya cumplido el 50 % de la tarea B puede
iniciar la D
• la tarea E solo se puede iniciar al finalizar B o C

GEOMETRÍA
La geometría es la rama de la matemática que se ocupa de las formas, longitudes, áreas y
volúmenes, de figuras planas y tridimensionales.
CONCEPTOS BÁSICOS
Punto
Describe una posición en el espacio y es
adimensional.
Recta
Un número infinito de puntos alineados uno
detrás de otro, solo posee una dimensión, su
longitud.
Plano
Unión de infinitos puntos que se extienden en
dos dimensiones: largo y ancho.
Segmento
Fracción de recta, delimitada por dos puntos,
que son sus extremos.
Puntos colineales
Son puntos que se encuentran sobre la
misma recta, pueden ser dos o más puntos.
Si decimos que tres puntos son colineales,
quiere decir que se puede trazar una recta y
esta pasa por los tres puntos.
Ángulo
Fracción de plano limitado por dos rectas que
se cortan. Los ángulos se denotan con letras
griegas y tienen nombres de acuerdo con su
medida.
Vértice
Punto en donde se cortan dos rectas. Se
denota por letras mayúsculas.
Rectas secantes
Son rectas que se cortan en algún punto.
Rectas paralelas
Son rectas que no se cortan en algún punto y
van una al lado de la otra. Si se expandieran
de forma infinita nunca se tocarían.
Rectas perpendiculares
Son rectas que se cortan (secantes) y además
forman 4 ángulos de 90 grados.

FIGURAS GEOMÉTRICAS
Polígonos
Un polígono es una figura cerrada, delimitada por segmentos de recta que al intersectarse forman
sus vértices.
Lados
Son los segmentos de recta que delimitan el polígono. Se denotan con letras minúsculas.
Diagonales
Son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.
Los polígonos se dividen en dos conjuntos:
Convexos:
Son polígonos en donde ninguno de sus ángulos internos es mayor a 180
grados, tienen la característica de que al unir dos puntos cualesquiera
en su interior, esta línea que los une estará contenida completamente
en el interior del polígono.
Cóncavos:
Son polígonos en donde al menos uno de sus ángulos internos mide
más de 180 grados; a diferencia de los polígonos convexos, si se unen
dos puntos en su interior en algún lugar habrá una porción de ese
segmento que los une por fuera del polígono.

TRIÁNGULOS
El triángulo es una figura geométrica (polígono) que consta de tres lados y tres ángulos
internos, no posee diagonales y se puede clasificar de acuerdo con la medida de
sus lados y la medida de sus ángulos internos. La suma de estos siempre da como
resultado 180º.
α + β + γ = 180°
Base: la base en un triángulo puede ser cualquiera de sus lados, y es el lado en el cual
descansa el triángulo.
Altura: es la perpendicular medida desde la base del triángulo o su proyección hasta el
vértice opuesto al lado tomado como base.
Clasiﬁcación de los triángulos; según sus lados:
Escaleno
Sus tres ángulos y sus tres lados son diferentes.

Isósceles
Tiene al menos dos ángulos y dos
lados iguales.
Equilátero
Se caracteriza por tener sus tres
lados y sus tres ángulos iguales.
Además, todo triángulo equilátero
es triángulo isósceles.
Para hallar sus ángulos internos
basta con dividir 180 entre tres:
180°
= 60° = α
3
Para la altura de un triángulo
equilátero se tiene la fórmula:
h =
a√3
2
L
altura = L√3
2
Triángulo rectángulo
Tiene uno de sus ángulos internos igual a 90 grados.
Los lados que forman el vértice del ángulo de 90
grados son llamados catetos y el lado opuesto a
este ángulo es llamado hipotenusa. La hipotenusa
siempre es mayor que cualquiera de los dos catetos.
Para hallar el valor de su hipotenusa o de alguno de
sus catetos, teniendo los otros dos valores se utiliza
el teorema de Pitágoras:
H
2
= C2
+ C2
1 2
Donde: H: hipotenusa, C: cateto
CUADRILÁTEROS
Son figuras geométricas delimitadas por cuatro lados,
que forman cuatro ángulos internos. Se clasifican de
acuerdo con la medida de sus lados y de sus ángulos
internos. Poseen dos diagonales. La suma de la medida
de sus ángulos internos da como resultado 360º.
Paralelogramo
Soncuadriláterosquetienenladosopuestosparalelos
dos a dos.

Clasiﬁcación de los cuadriláteros
Rectángulo
Se caracteriza por tener sus cuatro ángulos
rectos. Sus diagonales tienen la misma
medida. Un rectángulo con sus cuatro lados
iguales es un cuadrado.
Altura
Base
90°
Rombo
Tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos
opuestos iguales. Un rombo con sus cuatro
ángulos iguales es un cuadrado.
Cuadrado
Se caracteriza por tener sus cuatro lados
y sus cuatro ángulos internos iguales.
Sus diagonales tienen la misma medida.
Un cuadrado es un rectángulo y rombo al
mismo tiempo.
90°
Trapecios
Solamente tienen dos de sus lados
opuestos paralelos.
POLÍGONOS REGULARES
Son los que tienen sus lados y ángulos
internos iguales.
Para los polígonos regulares de más de cuatro
lados definimos lo siguiente:
Apotema:
Distancia desde el centro hasta la mitad de
uno de los lados del polígono.
POLÍGONOS IRREGULARES
Los que tienen al menos un ángulo o un lado
diferente al resto.

CÍRCULO
Radio
Es la distancia medida desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro
Es la distancia medida entre dos puntos situados en la circunferencia, pasando por el centro.
Ángulo central
Es un ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia y sus lados son dos
radios. Los ángulos centrales se miden en grados o radianes, y la equivalencia es la siguiente:
π rad = 180°
En donde una vuelta completa equivale a:
2π rad = 360°
Ángulo medido en grados Ángulo medido en radianes
1 rad

PERÍMETRO
En una figura el perímetro se calcula recorriendo su contorno, tanto interior como exterior. En
los polígonos el perímetro se halla sumando la longitud de sus lados. Se mide en unidades de
longitud, como metros, centímetros, decímetros, decámetros, etc. Se denota con la letra P.
ÁREA
Es la superficie delimitada por el perímetro de una figura. También se define como el número de
cuadrados de una unidad de medida que caben dentro de la figura; por eso se mide en unidades
cuadradas. Se denota con la letra A.
FIGURA PERÍMETRO ÁREA
P = a + b + c
A =
bxh
2
A = √p(p − a)(p − b)(p − c)
Siendo p el semiperímetro
p =
a + b + c
2
P = 3a A =
a2
√3
4
P = 2a + 2b A = ab
P = 4a A = a2

FIGURA PERÍMETRO ÁREA
P = 2πr A = πr2
P = bn
En donde:
n: número de lados del
polígono regular
b: longitud del lado
A =
Pa
2
En donde:
a: apotema
Hallar el área de un triángulo sabiendo que uno de sus lados mide 20 cm y la
altura correspondiente a él mide 14 cm.
20 cm
14 cm
Solución:
Se tiene que b=20 cm y h=14 cm.
2
cm140
2
cm.14cm20
2
b.h
A ===
Ejemplo

Ejemplo
Hallar el área de un triángulo equilátero de lado L = 5 m.
5m
h
60° 60°
L
Solución:
Por el teorema de Pitágoras encontramos h
L
2
h
60°
L
3
2
L
L
4
3
4
L
L
Lh
2
2
2
2
=
=
-=
-=
2
2
L






( )
2
m3
4
25
A
2
2
3.5mx5m
2
b.h
A
=
==

Ejemplo
Ejemplo
A
B
C
AB y BC son diagonales del cubo
mostrado en la figura.
¿Cuánto mide el ángulo ABC?
Solución:
Un cubo está formado por seis caras
cuadradas, iguales. Por tanto las
diagonales son iguales entre sí.Además
se sabe que en un triángulo con 3 lados
iguales (equilátero) sus ángulos internos
son iguales entre sí, y como su suma
debe ser 180° por tanto ABC = 60°
2
1
La longitud de la circunferencia es
Solución:
La otra diagonal del rectángulo es radio
de la circunferencia, y las diagonales
de todo rectángulo son congruentes.
Luego
L = 2πr = 2π (2) =4π
Ejemplo
Ejemplo
Hallar el área de un rectángulo sabiendo
que sus lados desiguales miden 18 cm
y 15 cm respectivamente.
Solución:
Como los lados desiguales de un
rectángulo son perpendiculares entre
sí, es posible considerar a uno de ellos
como la base y a otro como la altura.
Entonces, siendo b=18 cm y h=15 cm,
se tiene:
A = b.h = (18 cm).(15 cm) = 270 cm2
En la figura siguiente, hallar el área
del cuadrado sabiendo que el radio del
círculo es r = 2 cm.
Lr
r
Solución:
Por el teorema de Pitágoras se sabe que:
L2
= r2
+ r2
L2
= 2r2
Donde L2
es el área del cuadrado y
si r = 2 entonces:
A= L2
= 2(2 cm)2
= 2(4 cm2
)
= 8 cm2

Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Solución:
Área =
22
rL π-
22
)cm4()cm8( π-
22
cm16cm64 π-
2
cm)4(16 π-
=
=
=
=
Perímetro =
=
=
=
=
r2L4 π+
)cm4(2)cm8(4 π+
cm8cm32 π+
cm)4(8 π+
Hallar el área de la región sombreada
b
a
a
2
Solución:
Área =
÷
ø
ö
ç
è
æ p
-=
p
-=
p-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p-=
p-=
16
a
ba
16
a
ab
2
a
4
1
ab
2
a
4
1
ab
r
4
1
ab
2
2
2
2
Hallar el perímetro y el área de la siguiente
figura
2 m
4 m
3 m 3 m
Solución:
Perímetro =
= 3m + 4m + 3m + 2
2πr m
= 10m + π(2m)
= 10m + 2πm
= 2(5 + π)m
Área =
= )r(
2
1
)m3m4( 2
π+·
= 22
)m2(
2
1
m12 π+
= )m4(
2
1
m12 22
π+
= 22
m
2
4
m12 π+
= 12m2
+ 2πm2
= 2(6 + π) m2
Hallar el área y el perímetro de la región
sombreada
8 cm

Hallar el área de un octágono regular cuyo lado mide 6 cm y el apotema 4 cm.
B
A
4
O
6
a: apotema
Solución:
Por tanto el área del octágono es ocho veces el área del ∆ AOB
A octágono = 8 (Área ∆ AOB)
= 8 (12cm2
)
= 96 cm2
Ejemplo

VOLUMEN
Cuando se habla de volúmenes se refiere a figuras en tres dimensiones, llamadas sólidos, que
tienen ancho, alto y profundidad.
FIGURA VOLUMEN FIGURA VOLUMEN
Prisma cuadrado
V = Abase x altura
V = abh
Pirámide
V =
1
Abase x altura
3
V =
1
abh
3
h
a
b
h
Cilindro Volumen Cono Volumen
h
V = Abase x altura
V = (πr2
)h
r
V =
1 (πr2
)h
3
Esfera Volumen Cubo Volumen
V =
4 πr3
3
V = a3
Área superﬁcial
As = 6a2

Ejemplo
Ejemplo
Hallar el volumen de la figura
Solución:
V= A base x Altura
Hallar el volumen de un prisma recto triangular cuya altura es 20 cm; la base del triángulo
es de 15 cm y la altura de este triángulo 13 cm, como se ve en la figura.
A base =
= 32
- 12
= 9 - 1
= 8
V = 8 x 5 = 40

Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Solución:
El área B de la base es el área de un
triángulo que será igual a la mitad del
producto de la base por la altura.
B = área de la base =
(15).(13)
2
= 97,5 cm3
Entonces se tiene que para el volumen
pedido h = 20 cm, B = 97,5 cm2
, luego:
V = h.B = (20 cm). (97,5 cm2
) = 1.950 cm3
Hallar el volumen de un cono cuya altura
mide 12 cm, y el diámetro de la base 8 cm.
Solución:
Se tiene que h = 12 cm, r = 8/2 =4 cm.
Luego:
V =
3
1
.h. r =π
12. 4π2
2
3
= 64 π cm3
¿Cuántos tanques cilíndricos de 2 m de
altura y 6 m de diámetro harán falta para
almacenar 1.131 m3
de agua?
Solución:
Para saber cuántos tanques cilíndricos
harán falta, basta con dividir el total de m3
de agua entre el volumen de cada tanque
cilíndrico.
En efecto, el volumen de cada tanque
cilíndrico es:
V = h . π r2
h=2myr=D/2=6/2=3m,conD=diámetro.
Luego: V = 2.π.32
= 18π m3
= (18) (3,1416) m3
= 56,548 m3
Por tanto, el número de tanques cilíndricos
que harán falta para almacenar 1.131 m3
de agua es:
56,548
1.131
= 20 tanques
Considere una esfera, un cilindro recto de
radio y altura iguales al radio de la esfera,
y un cono de radio y altura iguales al radio
de la esfera.
El volumen de tres de estas esferas
equivalen a
A. 1 cilindro, 3 conos
B. 2 cilindros, 3 conos
C. 4 conos, 3 cilindros
D. 3 conos, 3 cilindros
Volumen de la esfera: 3
r
3
4
π
Volumen del cilindro: πr2
h = πr3
(r = h)
Volumen del cono:
3
1 π r h =2
3
r3
π (r = h)
Observemosqueelvolumende3cilindros+3
conos es igual esferasr4
3
r
3r3 3
3
3
==+( ) 3π
π
π

Polígonos circunscritos en una
circunferencia:
Cuando los lados del polígono son tangentes
a la circunferencia, la apotema es igual al radio
de la circunferencia. Todo polígono regular
puede ser circunscrito en una circunferencia.
Polígonos inscritos en una circunferencia:
Cuando el polígono se encuentra dentro de
la circunferencia, todos sus vértices están
contenidos en ella. Todo polígono regular
puede ser inscrito en una circunferencia. La
distancia del centro a cada uno de los vértices
es igual al radio de esta.
r
Semejanza entre triángulos:
a
=
b
=
c
a' b' c'
Otros conceptos
Un rectángulo, se puede dividir en dos
triángulos rectángulos.
D2
= b2
+ a2
D = a√2

La circunferencia se puede partir en sectores iguales y de acuerdo con estos, se puede hallar su
perímetro y área.
r
r
Este círculo está dividido en 8 sectores iguales,
por lo tanto el área de cada pedazo es un octavo
del área total del círculo.
Siendo:
Ax = área de una partición
At = área total
el área del círculo anterior es
Ax =
At
8
Para saber cuántos grados tiene cada partición simplemente se divide 360° entre el número de
particiones.
α = 60°, n =
360°
= 6
60°
Lo que indica que ángulos de 60° dan 6
particiones iguales
α = 45°, n =
360°
= 8
45°
Lo que indica que de ángulos de 45° se
obtienen 8 particiones.
45°

De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 1 y 2.
A B
2 cm
1. Si la rueda da 3 giros completos en dirección horizontal como se muestra en la figura, la
medida del segmento es
A. 4 cm
B. 4π cm
C. 12π cm
D. 12 cm
2. El perímetro de la rueda es
A. 2 cm
B. 4π cm
C. 8 cm
D. 8π cm
De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 3 y 4.
Un vehículo se desplaza 100 m en dirección este iniciando el recorrido en el punto A, hasta llegar a
una curva semicircular, la cual cruza para llegar a otra similar pero invertida, y continúa el recorrido
en línea recta otros 100 m hasta llegar al punto B, como lo indica la siguiente figura:
A
N
100 m
100
m
B
E
S
O
22
555
9

3. La distancia que recorrería el vehículo si
pudiera continuar su recorrido en línea
recta desde el punto A hasta el punto B es:
A. 400 m
B. 500 m
C. 600 m
D. 700 m
4. La distancia que recorrerá el vehículo si
cumple la trayectoria señalada por las
ﬂechas desde el punto A hasta el punto
B es
A. (200 + 200π) m
B. (100 + 100π) m
C. (400 + 100π) m
D. 600π m
A María le regalan un mantel con las medidas
y la forma que aparece en la figura.
180 cm
150
cm
60 cm 60 cm
5. Si ella desea adornar el perímetro del
mantel con cinta dorada, la cantidad de
cinta que requiere es
A. 2.4 m
B. 9.6 m
C. 12 m
D. 15.5 m
6. Si María desea adornar solo el perímetro
externo del mantel, la cantidad de cinta
que requiere está dada por la expresión
A. 7.8 m + 2 m
B. 9.6 m + 2.4 m
C. 9.6 m - 2 m
D. 12 m - 2.4 m
7. El perímetro de la figura es
A. (34 + 8 2) cm
B. 44 cm
C. 36 cm
D. (34 + 4 2) cm
8. El área de la zona sombreada es
A. 36 cm2
B. 37 cm2
C. 43 cm2
D. 44 cm2

9. El perímetro del cuadrado sombreado en
la figura es
3 cm 3 cm
3 cm
3 cm
A. 12 centímetros
B. centímetros
C. centímetros
D. centímetros
A partir de la gráﬁca, contesta las preguntas
10 y 11.
4 cm
4 cm
10. El perímetro de la parte sombreada es
A. 16 centímetros
B. 12 centímetros
C. 8 centímetros
D. 4 centímetros
11. E l p e r í m e t r o d e l a r e g i ó n n o
sombreada es
A. 16 centímetros
B. 26 centímetros
C. 18 centímetros
D. 12 centímetros
12. Al unir los puntos medios de los
lados del triángulo equilátero ABC
se forma de los lados otro triángulo
equilátero DEF, y si nuevamente se
unen los puntos medios de sus lados
se forma el triángulo equilátero GIH.
Si el perímetro del triángulo ABC
es 192 centímetros, entonces el
semiperímetro del triángulo GHI es
A B
C
D E
F
GH
I
A. 64 centímetros
B. 48 centímetros
C. 32 centímetros
D. 24 centímetros
13. El perímetro de la roseta (región
sombreada de la figura) es
6 cm
A. 6π cm
B. 4π cm
C. 12π cm
D. 8π cm

14. Halla el perímetro de la región sombreada
2 cm2 cm
A. (4π + 2) cm
B. (2π + 8) cm
C. (4π + 8) cm
D. (π + 4) cm
15. Al dividir el círculo, de radio cuatro
centímetros, en ocho sectores
congruentes, podemos afirmar que el
perímetro de la región sombreada es
A. 36 π centímetros
B. (8π + 24) centímetros
C. (4π + 24) centímetros
D. 4(π + 8) centímetros
Cinco amigos piden una pizza a domicilio
y solicitan que esta sea dividida en 5
porciones como muestra la figura; con el
propósito de que los pedazos más grandes
sean para aquellos que tienen más hambre
y los más pequeños para aquellos que no
tienen tanta hambre.
16. Si el tamaño de la porción de Johnny que
tiene mucha hambre, es de 100π cm2
, el
tamaño de la pizza antes de ser dividida
era de
A. 200π cm2
B. 400π cm2
C. 800π cm2
D. 1.000π cm2
17. El borde de la pizza está relleno de queso
y su longitud es de 40π cm, entonces la
longitud del borde de la porción de Mariana
que no tiene tanta hambre, es de
A. 4π cm
B. 5 cm
C. 5π cm
D. 8 cm
De acuerdo con la siguiente ﬁgura, responde
las preguntas 18 y 19.
18. El área de la región sombreada respecto
al área total es
A. 3/9
B. 5/9
C. 2/19
D. 7/25

19. El área de la región no sombreada
respecto al área total es
A. 4/10
B. 3/9
C. 5/9
D. 16/36
1 cm
1 cm
20. El área de la figura es
A. 3 cm2
B. 3π cm2
C. 4 cm2
D. 4π cm2
21. ¿Cuál es eláreadelaregiónnosombreada
sabiendo que el lado del cuadrado mide
4 cm y los vértices están en el centro de
cada círculo?
A. 6π cm
B. 6π cm2
C. 12π cm
D. 12π cm2
22. Las rectas l1 y l2 son paralelas. El área
del triángulo ABC es 12 m2
. El área del
triángulo ABD es
A B
C D l
l
1
2
A. 212 m2
B. 36 m2
C. 12 m2
D. 0,7 x 12 m2
23. En la figura el área del rectángulo
es 300 cm2
, entonces el área
sombreada es
A. 200 cm2
B. 180 cm2
C. 160 cm2
D. 150 cm2

A
F
E
G
D
B
C
AE =
AD
2
AF =
AG
2
24. La razón entre el área sombreada y el
área total del cuadrado ABCD es
A.
4
1
B. 6
2
C.
8
3
D.
16
5
25. El área de la región sombreada de la
figura, donde a = 2 cm es
2a
A. ( 32 − π) cm2
B. ( 34 − π) cm2
C. ( 38 − π) cm2
D. ( 34 − 2π) cm2
26.
4 cm
El perímetro de la región sombreada es
A. (10π + 3) cm
B. 6(π + 1) cm
C. (5π + 8) cm
D. 6π + 8 cm
27. La figura representa un cuadrado de lado
4 cm en el que dos de sus lados se han
dividido en cuatro partes iguales por los
puntos A, B, C, D, E y F respectivamente.
El área de la región sombreada es
A. 2 cm2
B. 3 cm2
C. 6 cm2
D. 5 cm2

28. Calcular el perímetro de la región
sombreada
4 cm
4 cm
A. 2π cm
B. 2/3π cm
C. 6π cm
D. 4π cm
29. El cuadrado ABCD tiene de lado
5 cm y E y F son puntos medios de
sus respectivos segmentos: El área del
cuadrilátero FCEA es
B E
A
A. cm2
B. cm2
C. 8,5 cm2
D. 7 cm2
A B
Q
CD
P
30. En la figura la pista está formada por dos
paralelas y dos semicircunferencias.
Además se sabe que el diámetro
AD = 5 metros y que PQ = 35 metros,
siendo P y Q puntos medios de las
semicircunferencias.
La longitud total de la pista es
A. (5π + 70) metros
B. (10π + 60) metros
C. (5π + 50) metros
D. (5π + 60) metros
31. El volumen de la figura es
2U
2U
4U
6U
A. 4(12 – π) U3
B. 192 – 4π U3
C. 288 – 2π U3
D. 4(72 – π) U3

32. El volumen del siguiente sólido es
A. πR3
B. 2πR3
C. 3πR3
D. 4πR3
33. La jarra cilíndrica contiene jugo que será
servido en copas como las que muestra la
figura. La cantidad de copas que pueden
llenarse con la jarra llena hasta la mitad es
A. 6
B. 18
C. 24
D. 36
34. El volumen de un bloque de concreto
como el de la figura, es 625 cm3
y la
longitud es 25 cm. El área de la región
sombreada es
A. 35 cm2
B. 41,6 cm2
C. 25 cm2
D. 125 cm2
responde las preguntas de la 35 a la 37.
El cilindro, la semiesfera y el cono tienen el
mismo radio. La altura del cilindro y la altura
del cono tienen el mismo valor con R = h.
35. La cantidad de veces que está contenido
el volumen del cono en el volumen del
cilindro es
A. cuatro veces
B. dos veces
C. dos veces y media
D. tres veces

36. La cantidad de veces en que está contenido el volumen del cono en el volumen de la
semiesfera es
A. una vez y media B. dos veces
C. dos veces y media D. tres veces
37. La cantidad de veces en que está contenido el volumen de la semiesfera en el volumen del
cilindro es
A. tres veces B. dos veces y media
C. una vez y media D. cinco veces
38. El número exacto de cubitos de 2 cm de lado que caben exactamente en la caja mostrada
en la figura es
A. 72 cubitos B. 32 cubitos
C. 36 cubitos D. 48 cubitos
39. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10,
el volumen de la pirámide es
A. 40/3 B. 40/
C. 40 D. /3
40. El volumen de un cubo A es cuatro veces el volumen de otro cubo B. Si la suma de las
áreas de todas las caras del cubo B es 150 cm2
, entonces el volumen del cubo A es
Cubo A Cubo B
A. 600 cm3
B. 450 cm3
C. 575 cm3
D. 500 cm3

ANÁLISIS COMBINATORIO
En muchos problemas encontramos la necesidad de saber de cuántas maneras es posible realizar
una operación, pero sin la necesidad de conocer cada una de esas formas. Por ejemplo, cuando
lanzamos un dado tres veces, los resultados serán tripletas ordenadas de números enteros de
1 a 6. Por medio de la combinatoria podemos conocer que el número de tripletas posibles es
216, entre las cuales están las tripletas (1-1-1), (1-3-4), (6-6-6), sin que haya la necesidad de
hacer una descripción de las 216 tripletas.
El objetivo de la combinatoria es simplemente el estudio de las diferentes ordenaciones que se
pueden realizar con los elementos de un conjunto, los distintos grupos que pueden formarse
con dichos elementos y las relaciones entre unos y otros grupos. Simplificando al extremo,
podemos decir que la Combinatoria es el área de las matemáticas donde estudiamos las familias
de subconjuntos de un conjunto dado (el que usualmente es finito) que satisfacen ciertas
propiedades (axiomas). A cada familia de subconjuntos que satisface los axiomas la llamaremos
una solución factible.
Notación factorial
El factorial de un número entero positivo (1, 2, 3, 4, ...) se define como el producto que se
obtiene de multiplicar los números enteros desde 1 hasta el número n indicado en el factorial.
Se denota n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n - 1) x n o también n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1.
Ejemplo
1! = 1
2! = 2 x 1
3! = 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 5 x 4!
7! = 7 x 6!
12!
10!
=
12 x 11 x 10!
10!
= 132






4
5
! no está definido, ya que 





4
5
Z
¿(3 + 4)! = 3! + 4!?

Veamos:
3! + 4! = 3 x 2 x 1 + 4 x 3 x 2 x 1
= 6 + 24
= 30
(3 + 4)! = 7!
= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 5.040
Como podemos observar, (3 + 4)! y 3! + 4! son números distintos y su diferencia es grande.
(El factorial no distribuye con respecto a la suma).
NOTA:
Para el caso de factorial de cero (0!) se toma por convención el valor de 1.Así, 0! = 1
En general, NO se cumplen las siguientes equivalencias.
• (a + b)! = a! + b!
• (a x b)! = a! x b!
• 





b
a
! =
a!
b!
• (a)n
! = (a!)n
• (a!)! = a!!
TEOREMA FUNDAMENTAL
Principio fundamental 1 (aditivo)
Si un suceso A puede ocurrir de n maneras y otro suceso B puede ocurrir de m maneras, entonces
el suceso A o el B (sucede el evento A o sucede el evento B) pueden ocurrir de n + m formas,
siempre y cuando los eventos no puedan suceder simultáneamente.

Ejemplo
Ejemplo
Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Medellín y
Bogotá. Tres empresas de aviación tienen vuelo diario entre Medellín y Bogotá. En
consecuencia, hay 5 + 3 maneras de ir de Medellín a Bogotá en avión o por tierra.
En los problemas de conteo, la palabra “o” se traduce en suma.
En el lanzamiento de un dado, ¿de cuántas maneras se puede obtener un número
inferior a 2 o mayor que 4?
A: número inferior a 2, sucede solo de una manera.
B: número superior a 4, sucede de dos maneras.
A o B: número inferior a 2 o superior a 4, sucede de 1 + 2 = 3 maneras.
Principiofundamental2(multiplicativo)
Si un suceso A puede ocurrir de n maneras y un suceso B de m formas, entonces el
suceso A y B (sucede el evento A y sucede el evento B) puede ocurrir de n*m modos.
El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas maneras
se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?
Podríamos hacer una lista de todas las posibilidades, pero será mucho más
cómodo aplicar el principio de la multiplicación: hay 3 maneras de elegir el plato
caliente y para cada una de ellas hay 4 maneras de elegir el postre. Por lo tanto,
hay 3 x 4 = 12 comidas posibles.
¿Cuántos códigos de una letra y un número de un dígito se pueden formar con las
27 letras del alfabeto y los números 0, 1, 2, ..., 9?
Uno de los métodos podría ser listar todas las posibilidades A0, A1... A9; B0, B1...
B9... Z0, Z1... Z9 hasta obtener 27 filas de 10 códigos en cada una: 27 x 10 = 270.
Es más simple utilizar el principio de la multiplicación: hay 27 maneras de elegir la
letra y para cada una de ellas hay 10 maneras de elegir el número, de modo que
son 27 x 10 = 270 maneras en total.
Ejemplo
Ejemplo

PERMUTACIONES
Son el número de maneras diferentes en que
se puede ordenar todo o parte de un conjunto
de elementos.
Consideremos un conjunto de tres libros
diferentes: física, química y matemáticas. El
número de formas en que pueden ubicarse
en una estantería es una permutación de tres
elementos, tomados de a tres. Representemos
cada uno por su letra inicial.
{F, Q, M}
Las permutaciones posibles para el conjunto
dado son:
F Q M Q M F M F Q
F M Q Q F M M Q F
Es decir que los libros se pueden ordenar de 6
maneras diferentes.
Para calcular el número de permutaciones
para estos tres elementos, sin hacer una
representación de cada caso, podemos usar el
principio multiplicativo.
Hay n1
= 3 maneras de escoger el primer libro que
se va a ubicar en el estante. Una vez escogido
este, quedan n2
= 2 opciones para la segunda
posición y de forma análoga n3
= 1 maneras
de escoger el último elemento. La cantidad de
permutaciones es
n1
x n2
x n3
= 3 x 2 x 1
= 6
Si generalizamos el procedimiento para
un conjunto de n elementos distintos, el
número de formas diferentes en que puede
ordenarse es
n
Pn
= n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1
Esto es
nPn = n!
Ahora supongamos que no se toma el total de
elementos disponibles en el conjunto, sino que
se toman de a dos, de a tres, etc.
Por ejemplo, si se realiza un cuadrangular
de fútbol entre las selecciones de Colombia,
Argentina, México y Uruguay, en el que cada
partido tiene un equipo que juega como local
y el otro es visitante, los diferentes partidos
que se jugarán son:
Local Visitante
Local Visitante
Colombia Argentina
Argentina Colombia
Colombia México
México Colombia
Colombia Uruguay
Uruguay Colombia
Argentina México
México Argentina
Argentina Uruguay
Uruguay Argentina
México Uruguay
Uruguay México

En cada pareja formada interesa el orden en que se disponen los elementos, es decir, cuál selección
jugará como local.
Queremos entonces calcular el número de permutaciones de 4 elementos tomados de a 2.
Usando nuevamente el principio multiplicativo, tenemos 2 posiciones para llenar con n1
= 4 opciones
para la primera y n2
= 3 para la segunda.
4
Local
x 3
Visitante
= 12
Que es la cantidad de encuentros registrados en la tabla anterior.
En general, para calcular el número de permutaciones de n elementos tomados de a r a la vez,
comenzamos a hacer el factorial de n, pero solo tomando los primeros r factores:
n = 6 y r = 3
6
P3
= 6 x 5 x 4 = 120
Una fórmula que permite calcular las permutaciones de n en r es
n
Pr
=
n!
(n - r)!
Ejemplo
Ejemplo
Un comité de cinco personas ha de repartir los cinco puestos directivos de presidente,
vicepresidente, secretario, tesorero y vocal. ¿De cuántas maneras es posible hacerlo?
Solución: se trata de ordenar las cinco personas en los cinco lugares; por lo tanto el
número de maneras es: P5
= 5! = 5*4*3*2*1 = 120
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras n, l, o, e, así no tengan
sentido?
P4 = 4! = 4(3)(2) = 24
nloe, nleo, nelo, neol, nole, noel, lnoe, lneo, leno, leon, lone, loen, elon, elno, enlo, enol,
eoln, eonl, olne, olen, oeln, oenl, onle, onel.

Permutación con elementos iguales
Cuando se quiere ordenar n elementos entre los cuales hay objetos idénticos entre sí, algunos
resultados estarán repetidos un cierto número de veces.
Por ejemplo si se quiere ordenar de maneras diferentes las letras de la palabra COROZO, se
encontrarán 6 resultados repetidos para cada palabra distinta, debido a que la letra O se encuentra
3 veces en la palabra.
Veamos:
R O1
Z O2
C O3
R O1
Z O3
C O2
R O2
Z O1
C O3
R O2
Z O3
C O1
R O3
Z O1
C O2
R O3
Z O2
C O1
Hemos numerado las letras O para diferenciarlas entre sí.
Para conocer el número de palabras diferentes que podemos formar, se calcula la permutación
del total de elementos, en este caso 6, y se divide por la permutación de los elementos que se
encuentran repetidos.
6
P6
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 720
3
P3
= 3 x 2 x 1 = 6
6
P6
= 720 = 120
3
P3 6
En general, si se tiene un grupo de n elementos entre los cuales hay r1
iguales entre sí, r2
iguales
entre sí, etc., el número de permutaciones se calcula usando
Pn
r1, r2...rk
=
n!
r1
! * r2
!...* rk
r1
+ r2
+ ... + rk
= n

¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que
4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están
repetidas) y además n = m, es decir, colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas
para colocar.
3*7*4*9
4!*3!*2!
*5*4!9*8*7*6
4!*3!*2!
9!
P4,3,2
9 === = 1.260
Por tanto, tenemos 1.260 modos de colocarlas.
¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra “terrateniente”?
Solución:
Esta palabra tiene trece letras entre las cuales hay r1
= 3 (tres veces la t),
r2
= 4 (cuatro veces la e), r3
= 2 (dos veces la n), r4
= 2 (dos veces la r). El
total de palabras es
P13
3,4,2,2
= 13!/3!*4!*2!*2!
= 13*12*11*10*9*8*7*6*5*4! / 4!*3!*2!*2!
= 13*12*11*10*9*8*7*6*5* / 3*2*2*2
= 10.810.800
¿Cuántas palabras diferentes, aun sin significado, se pueden formar con las letras
de la palabra AMOROSOS?
1(1)(3!)(1)2!
8(7)(6)(5)(4)3!
P = =
8
(1, 1, 3, 1, 2)
8!
(3!)2!
= 3.360
Ejemplo
Ejemplo

Permutación circulares
Son permutaciones cíclicas de n elementos distintos todas las agrupaciones de esos n elementos,
dispuestos en forma circular, sin que alguno falte o se repita.
En este caso se trata de ordenar n elementos diferentes a lo largo de una circunferencia, lo cual
es igual a
(n - 1)!
Cálculo:
El número de permutaciones cíclicas que pueden realizarse con n elementos (Pn
*
) es:
P*n
= (n - 1)!
Si no importa el sentido en que se dispongan los elementos (horario o antihorario), es:
P*
n =
(n – 1)!
2
¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse circularmente las letras A, B, C y D?
Para representar las posibles configuraciones, comenzamos por tomar una letra
como referencia en el arreglo circular, en este caso la letra A, y permutamos los
3 elementos restantes
A A
C D
D B C B1 2
A A
B D
D C B C3 4
A A
B C
C D B D5 6
Ejemplo
Puesto que el elemento que se toma
como referencia no se cambia de lugar, se
calcula el número de permutaciones de los
elementos restantes.
P*4
= (4 - 1)! = 3! = 6
Se puede verificar que cualquier
configuración adicional es idéntica a alguna
de las 6 que se aprecian en la gráfica.

Ejemplo
Diez personas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda de (10-1)! = 9!
maneras distintas.
COMBINACIONES
Son los grupos que se pueden formar con varios elementos tomándolos uno a uno, dos a dos, tres
a tres, etc., de modo que dos grupos que tengan el mismo número de elementos se diferencien
por lo menos en un elemento. Es decir, sin que importe el orden en que se disponen.
Supongamos que se tienen n objetos distintos y se quieren formar grupos de r objetos, sin establecer
orden entre ellos. Cada selección de estos, en las que no se establece orden entre los objetos
escogidos, se llama combinación de r de los n objetos.
En una combinación se prescinde del orden, a diferencia de una permutación. Por ejemplo las
combinaciones de las tres letras a, b, c tomadas de dos en dos, son ab, bc y ac. Cualquiera de
estas es una combinación.
Observa que ab y ba son una misma combinación (se prescinde del orden), mientras que constituyen
dos permutaciones distintas (importa el orden), de las letras a y b.
Supongamos que se va a realizar un torneo de tenis entre cuatro jugadores, en el que jugarán
todos contra todos a una sola ronda.
Puesto que cada encuentro se realizará solo una vez, no nos interesa el orden en que se mencionen
los jugadores. Los partidos a jugar serán:
1. A - B
2. A - C
3. A - D
4. B - C
5. B - D
6. C - D
Se trata de las combinaciones de cuatro elementos en grupos de dos. 4
C2
= 4
2
x 3
1
= 6
Para calcular las combinaciones de n elementos en grupos de r, comenzamos por escribir una
fracción cuyo numerador es n y con denominador r. La siguiente fracción tendrá numerador n - 1 y
denominador r - 1 y continuamos con el mismo procedimiento hasta que se llegue a una fracción
con denominador 1. Estas fracciones se multiplican.

n = 6 y r = 3
6
C3
= 6
3
x 5
2
x 4
1
= 20
Una fórmula para calcular las combinaciones de n elementos en grupos de r es
n
Cr
=
n!
r!(n - r)!
¿De cuántas maneras se puede escoger un comité de 4 hombres de un grupo de 8?
¿Cuántos comités de cuatro personas se pueden formar de un grupo de 9 personas?
Solución:
Cada comité (sin establecer puestos directivos) es una escogencia de cuatro objetos
de un total de nueve. El número de comités es:
C9,4
= 9! / 4!*5! = 9*8*7*6 /4*3*2 = 14*9 =126
El número de saludos que se pueden intercambiar entre doce estudiantes si cada uno
solo saluda una vez a los otros, es:
Solución:
Esto es una combinación de doce elementos tomados de a dos
C12,2
=12! / 2!(12-2)!=12! / 2!*10!=12*11/1*2 = 66
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo

Combinaciones con repetición
Son combinaciones con repetición todas las agrupaciones de k elementos, dispuestos linealmente,
que se pueden formar a partir de n elementos distintos, donde cada uno de los elementos puede
formar parte de la agrupación, tantas veces como sea posible y sin importar el orden de ellos.
Ejemplo
Igual que las combinaciones, pero admitiendo elementos repetidos.
CR
r
n =
n + r – 1
r
=
(n + r – 1)!
r!(n – 1)!
En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas
se pueden elegir cuatro pasteles?
No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con
repetición.
CR
4
5 =
5 + 4 – 1
4
=
8!
4!(5 – 1)!
=
8 • 7 • 6 • 5 • 4!
4! • 4!
= 70
Pautas para la resolución de problemas
• Si en cada agrupación figuran solo algunos de los elementos disponibles, importando el orden
de colocación de estos, entonces es un problema de variaciones. (Permutaciones de n en r).
• Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de
colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones. (Permutaciones de n en r).
• Si en cada agrupación figuran solo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden
de colocación de estos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

PROBABILIDAD
"El azar no visita a los tontos"
Honoré de Balzac
En este capítulo se pretende desarrollar en los estudiantes el pensamiento aleatorio, aquella
capacidad de enfrentar con destreza situaciones problemáticas en presencia del azar; también
que, frente a un problema, consiga evaluar probabilísticamente el riesgo de cada una de varias
opciones que se le presenten y tome una decisión conveniente.
Con respecto a los contenidos conceptuales se procurará mejorar el desarrollo de habilidades
en la manipulación de conceptos teóricos de la estadística y la probabilidad. Con respecto a lo
procedimental se buscará mejorar en el estudiante la habilidad para realizar ejercicios y aplicarlos
en los problemas del mundo real.
Ante determinados fenómenos cuyos resultados son variables, siendo su causa de variación el
azar, surge el estudio del grado de incertidumbre de un suceso que conduce a la probabilidad.
En sus inicios la probabilidad estuvo estrechamente relacionada con los juegos de azar, pero con el
transcurso de los años y el desarrollo de la ciencia se encontró que muchos fenómenos naturales,
biológicos, químicos, físicos, sociales, etc., están gobernados por factores de incertidumbre.
Aquella medida cuantitativa de la incertidumbre se llama probabilidad.
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso)
cuando se realiza un experimento aleatorio. Toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por
ciento, entre 0 % y 100 %). El valor cero corresponde al suceso imposible (lanzamos un dado al
aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero), el valor uno corresponde al suceso seguro
(lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a un
100 %); el resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno.
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la regla de Laplace: se define la probabilidad de
un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
posiblesCasos
favorablesCasos
)( =AP

Tipo de sucesos
A. Independientes: dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de
uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro.
B. Dependientes: cuando la ocurrencia de uno de los dos eventos afecta la probabilidad de
ocurrencia del otro.
C. Compatibles: dos eventos son compatibles cuando pueden ocurrir simultáneamente.
D. Incompatibles: dos sucesos son incompatibles o mutuamente excluyentes cuando no pueden
ocurrir simultáneamente.
E. Complementarios: si dos sucesos ocupan el conjunto de todos los posibles resultados de
un experimento aleatorio (espacio muestral), se dice que uno es complemento del otro. El
complemento del suceso A se simboliza por A’ o Ac
.
Probabilidades de sucesos
Intersección de sucesos
Es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se
intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Ejemplo
Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número
par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos
elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad será por tanto:
%33,3333,0
6
2
)( ===Ç BAP
Unión de dos o más sucesos
La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades
individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso
intersección.

Suceso incompatibles
La probabilidad de la unión de dos sucesos
excluyentes e independientes será igual a la
suma de las probabilidades de cada uno de los
sucesos (ya que su intersección es el conjunto
vacío y por lo tanto no hay que restar).
Suceso complementarios
La probabilidad de un suceso complementario a
un suceso (A) es igual a
P(AC
) = 1 - P(A)
Ejemplo Ejemplo
Ejemplo
Lanzamos un dado al aire y analizamos dos
sucesos: a) que salga número par, y b) que
sea mayor que 3. El suceso unión estaría
formado por los siguientes resultados: el
2, el 4, el 5 y el 6, y el suceso intersección
estaría formado por 4 y 6
%5050,0
2
1
6
3
)( ====AP
%5050,0
2
1
6
3
)( ====BP
%6.666.0
6
4
)AUB(P
))
===
%33,333333,0
6
2
)( ===Ç BAP
Por tanto:
%6,66666,033,0)50,050,0()( ==-+=È BAP
Lanzamos un dado al aire, el suceso
(A) es que salga un número par,
luego su complementario, suceso (B),
es que salga un número impar, o sea,
que no salga número par.
La probabilidad del suceso (A) es
igual a:
casos favorables: 2, 4, 6
5,0
6
3
)( ==AP
Luego, la probabilidad del suceso
(B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A)= 1-0,5 =0,5
Se puede comprobar aplicando la
regla de ”casos favorables / casos
posibles”:
casos favorables: 1, 3, 5
5,0
6
3
)( ==BP
Calcular la probabilidad de, en una
carrera de 12 caballos, acertar los 3
que quedan primeros (sin importar
cuál de ellos queda primero, cuál
segundo y cuál tercero).
Solución:
Se aplica la regla de Laplace. El
caso favorable es tan sólo uno: los 3
caballos que entran en primer lugar.

Los casos posibles se calculan como
combinaciones de 12 elementos tomados
de 3 en 3 (es decir, determinar todas
las posibles alternativas de 3 caballos
que pueden entrar en las 3 primeras
posiciones). Como el orden de estos 3
primeros caballos no importa, utilizamos
combinaciones en lugar de variaciones.
Por lo tanto, los casos posibles son:
12
3C = 220
!3!312
!12
3
12
=
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
( )
Por lo que la probabilidad de acertar los 3
caballos ganadores es:
%455,0105455,4
220
1
)( 3
=´== -
AP
Y si hubiera que acertar no sólo los 3
caballos que ganan, sino el orden de
su entrada en la meta, ¿cuál será la
probabilidad?
Solución:
El caso favorable sigue siendo uno: los
3 caballos que entran en primer lugar,
colocados en su orden correspondiente.
Los casos posibles se calculan ahora
como variaciones (ya que el orden inﬂuye)
de 12 elementos tomados de 3 en 3
(calculamos todas las posibles maneras
en que los 12 caballos podrían ocupar las
3 primeras posiciones).
1.320
!312
!1212
3 =
-
=V
( )
Por lo que la probabilidad de acertar los 3
caballos ganadores es:
%076,000076,0
1.320
1
)( ===AP
Probabilidades condicional
Las probabilidades condicionales se calculan
una vez que se ha incorporado información
adicional a la situación de partida: A es
independiente de B si P (A/B) = P(A) donde P
(A/B) denota: probabilidad de A dado B.
Las probabilidades condicionadas se calculan
aplicando la siguiente fórmula:
P (B/A) =
P (A ∩ B)
P (A)
o esta otra ecuación:
P (A/B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Donde:
La primera es la probabilidad de que se dé el
suceso B condicionada a que se haya dado
el suceso A.
La segunda es la probabilidad del suceso
simultáneo de A y de B.
Se tira un dado y sabemos que
la probabilidad de que salga un
2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si
incorporamos nueva información
(por ejemplo, alguien nos dice que
el resultado ha sido un número par)
entonces la probabilidad de que el
resultado sea el 2 ya no es 1/6.
Ejemplo

P(B/A) es la probabilidad de que salga
el número 2 (suceso B) condicionada
a que haya salido un número par
(suceso A).
P(A ∩ B) es la propiedad de que salga
el dos y número par.
P(A) es la propiedad de que salga un
número par.
Por lo tanto:
6
1
)( =Ç BAP
2
1
)( =AP
3
1
6
2
)/(
2
1
6
1
===ABP
Luego, la probabilidad de que salga el
número 2 si ya sabemos que ha salido
un número par, es de 1/3 (mayor que su
probabilidad de 1/6).
Ejemplo Ejemplo
Ejemplo
Se lanza un dado y se obtiene un par.
¿Cuál es la probabilidad de que el
número obtenido sea múltiplo de 3?
A: Sacar múltiplo de 3, P(A)= 2/6
B: Sacar par, P(B)=3/6
P(A∩B) = 1/6
Se está preguntando por:
3
%33,333333,0)/(
3
1
6
6
1
)(
)(
BP
BAP
BAP
¿Cuál es la probabilidad de obtener 2
caras en dos lanzamientos al aire de
una moneda normal de $500?
A: Obtener cara en la primera tirada,
P(A) = 1/2
B: Obtener cara en la segunda tirada,
P(B) = 1/2
La probabilidad de sacar cara en el
primer lanzamiento es 1/2, y en el
segundo lanzamiento es 1/2; estos
sucesos son independientes, así:
%2525,0)( 4
1
2
1
2
1
====Ç BAP x
Sucesos independientes
los sucesos estatura de los alumnos de una
clase y el color del pelo son independientes:
el que un alumno sea más o menos alto no va
a inﬂuir en el color de su cabello, ni viceversa.
Cuando se tienen dos sucesos independientes:
P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B)

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