El documento describe los elementos y fórmulas para calcular áreas y volúmenes de varias figuras geométricas tridimensionales como pirámides, cilindros, conos y esferas. Incluye ejemplos numéricos para hallar áreas laterales, totales y volúmenes usando las fórmulas dadas para cada figura.

1. ÁREAS LATERALES TOTALES Y VOLUMENES DE
PIRAMIDE
ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE.
La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que
une la base con el vértice.
La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de
cualquiera de sus caras laterales.
Aristas laterales. Son las que concurren en el vértice.
Aristas básicas. Son las aristas de la base.
Fórmula para calcular la Apotema de la pirámide 𝐴 𝑝=ℎ2+𝑎 𝑝
2
2
ÁREA LATERAL:
𝑃𝑏=𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴
𝑙=
𝑃 𝑏.𝐴 𝑝
2
ÁREA TOTAL.
𝐴 𝑏 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏
VOLUMEN: 𝑉 =
𝐴 𝑏𝑥ℎ
3

2. Ejemplos.
1. Hallar el área lateral, total y volumen de una pirámide cuadrangular de lado 10cm, de apotema
principal 13cm y de altura 12cm.
Área lateral: 𝐴𝑙 =
𝑃 𝑏 𝑥𝐴 𝑝
2
=
4𝑥10𝑐𝑚𝑥13𝑐𝑚
2
=
520𝑐𝑚2
2
= 260𝑐𝑚2
Área de la base: 𝐴 = 𝑙2
=(10𝑐𝑚)2
=100𝑐𝑚2
Área total = 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏 = 260𝑐𝑚2
+ 100𝑐𝑚2
= 360𝑐𝑚2
Volumen: 𝑉 =
𝐴 𝑏𝑥ℎ
3
=
100𝑐𝑚2 𝑥12𝑐𝑚
3
=
1200𝑐𝑚3
3
= 400𝑐𝑚3
2. Hallar el área lateral, total y volumen de una pirámide hexagonal de 16cm de arista básica y
28 cm de arista lateral.
Apotema : 282
= 𝐴 𝑝
2
+ 82
784 = 𝐴 𝑝
2
+ 64 784 − 64 = 𝐴 𝑝
2
720 =𝐴 𝑝
2
√720 = 𝐴 𝑝 26.83 = 𝐴 𝑝
. Área lateral: 𝐴𝑙 =
𝑃 𝑏 𝑥𝐴 𝑝
2
=
6𝑥16𝑐𝑚𝑥26,83𝑐𝑚
2
=
2575.68𝑐𝑚2
2
=
1287,84𝑐𝑚2
Apotema de la base: 162
= 𝑎 𝑝
2
+ 82
256 = 𝑎 𝑝
2
+ 64 256 − 64 = 𝑎 𝑝
2
192 = 𝑎 𝑝
2
√192 = 𝑎 𝑝 13,86 = 𝑎 𝑝
Área de la base:
𝐴 𝑏 =
𝑃𝑥𝑎 𝑝
2
=
6𝑥16𝑐𝑚𝑥13,86𝑐𝑚
2
=
1330,56𝑐𝑚2
2
=
665,28𝑐𝑚2
Área total = 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏 = 1287,84𝑐𝑚2
+
6𝑥16𝑐𝑚𝑥13,86𝑐𝑚
2
= 1287,84𝑐𝑚2
+
665,28𝑐𝑚2
= 1953,12𝑐𝑚2
Altura de la pirámide: (26,83)2
=
(13,86)2
+ ℎ2
719,84 − 192,09 = ℎ2
527,75 = ℎ2
√527,75 = ℎ 22,97 = ℎ
Volumen: 𝑉 =
𝐴 𝑏𝑥ℎ
3
=
665,28𝑐𝑚2 𝑥22,97𝑐𝑚
3
=
15281,48𝑐𝑚3
3
= 5093,83𝑐𝑚3

3. CILINDRO
Es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados
ELEMENTOS
EJE: Es el lado fijo alrededor del cual gira el
rectángulo
GENERATRIZ: Es el lado opuesto al eje, y es el
lado que engendra el cilindro.
BASES: Son los círculos que engendran los
lados perpendiculares al eje.
ALTURA: Es la distancia entre las dos bases,
esta distancia es igual a la generatriz.
r = radio g = Generatriz h = Altura
Área lateral: 𝐴𝑙 = 2𝜋𝑟𝑥ℎ
Área de las bases (2 círculos): 𝐴 𝑏=2𝜋𝑟2
Área total = 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏=2𝜋𝑟𝑥ℎ+2𝜋𝑟2
Volumen: 𝑉 = 𝐴 𝑏 𝑥ℎ = 𝜋𝑟2
𝑥ℎ
EJEMPLOS:
1. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de radio 10cm y de altura
el doble del radio.
R= 10cm, h = 2R = 2x10cm = 20cm.
𝐴𝑙= 2𝜋𝑟𝑥ℎ = 2x𝜋x10cmx20cm = 400𝜋𝑐𝑚2
𝐴 𝑏=2𝜋𝑟2=2𝑥𝜋(10𝑐𝑚)2=2𝜋𝑥100𝑐𝑚2=200𝜋𝑐𝑚2
Área total : 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏=400𝜋𝑐𝑚2+200𝜋𝑐𝑚2=600𝜋𝑐𝑚2
Volumen: 𝑉 = 𝐴 𝑏 𝑥ℎ = 𝜋𝑟2
𝑥ℎ = 𝜋(10𝑐𝑚)2
𝑥20𝑐𝑚 = 𝜋𝑥100𝑐𝑚2
𝑥20𝑐𝑚 = 2000𝜋𝑐𝑚3
2. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de diámetro 5√2cm y de
altura 10√2𝑐𝑚.
D = 2r , 𝑟 =
𝐷
2
=
5√2
2
𝑐𝑚
𝐷
2
= 𝑟
𝐴𝑙= 2𝜋𝑟𝑥ℎ = 2𝜋
5√2
2
𝑐𝑚𝑥10√2𝑐𝑚 =
2𝜋𝑥5𝑥10𝑥√22 𝑐𝑚2
2
=
100𝜋𝑥2𝑐𝑚2
2
= 100𝜋𝑐𝑚2
𝐴
𝑏=2𝜋𝑟2=2𝑥𝜋(
5√2
2
𝑐𝑚)
2
=2𝜋𝑥
(52√22)
22 𝑐𝑚2=2𝜋
25𝑥2
4
𝑐𝑚2=
100𝜋
4
𝑐𝑚2=25𝜋𝑐𝑚2
Área total : 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏=100𝜋𝑐𝑚2+25𝜋𝑐𝑚2=125𝜋𝑐𝑚2

4. Volumen: 𝑉 = 𝐴 𝑏 𝑥ℎ = 𝜋𝑟2
𝑥ℎ = 𝜋 (
5√2
2
𝑐𝑚)
2
𝑥10√2𝑐𝑚 = 𝜋
(52√22)
22 𝑐𝑚2
𝑥10√2𝑐𝑚 =
𝜋
25𝑥2
4
𝑐𝑚2
𝑥10√2𝑐𝑚 =
100𝜋
4
𝑐𝑚2
𝑥10√2𝑐𝑚 = 250√2𝜋𝑐𝑚3
3. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de radio 2bcm y de altura
11bcm. 𝐴𝑙= 2𝜋𝑟𝑥ℎ = 2𝜋 𝑥2𝑏𝑐𝑚𝑥11𝑏𝑐𝑚 = 44𝑏2
𝜋𝑐𝑚2
𝐴 𝑏=2𝜋𝑟2=2𝑥𝜋(2𝑏𝑐𝑚)2=2𝜋𝑥4𝑏2 𝑐𝑚2=8𝑏2 𝜋𝑐𝑚2
Área total : 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏=44𝑏2 𝜋𝑐𝑚2+8𝑏2 𝜋𝑐𝑚2=52𝑏2 𝜋𝑐𝑚2
Volumen: 𝑉 = 𝐴 𝑏 𝑥ℎ = 𝜋𝑟2
𝑥ℎ = 𝜋𝑥(2𝑏𝑐𝑚)2
𝑥11𝑏𝑐𝑚 = 4𝑏2
𝜋𝑐𝑚2
𝑥11𝑏𝑐𝑚 = 44𝑏3
𝜋𝑐𝑚3
CONO
Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de
uno de sus catetos.
ELEMENTOS
Eje: Es el cateto fijo
alrededor del cual gira el
triángulo.
Base: Es el círculo que
forma el otro cateto.
Generatriz: Es la hipotenusa
del triángulo rectángulo.
Altura: Es la distancia del
vértice a la base.
r = radio g = Generatriz h = Altura
Teorema de Pitágoras, para hallar generatriz
𝑔2
= ℎ2
+ 𝑟2
Área lateral: 𝐴𝑙 = 𝜋𝑥𝑟𝑥𝑔
Área de las bases (círculos): 𝐴 𝑏=𝜋𝑟2
Área total = 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏=𝜋𝑥𝑟𝑥𝑔+𝜋𝑟2
Volumen: 𝑉 =
𝐴 𝑏 𝑥ℎ
3
=
𝜋𝑟2 𝑥ℎ
3

5. Ejemplos
1. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá
utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
Datos r = 15cm, g = 25cm
Área lateral: 𝐴𝑙 = 3,14𝑥15𝑐𝑚𝑥25𝑐𝑚 = 1177,5𝑐𝑚2
Total de Cartón= 10x1177,5𝑐𝑚2
=11775𝑐𝑚2
2. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de
la base es de 5 cm.
Datos r = 5cm, g = 13cm h = ?
Área lateral: 𝐴𝑙 = 3,14𝑥5𝑐𝑚𝑥13𝑐𝑚 = 204,1𝑐𝑚2
Área de las bases (círculos): 𝐴 𝑏=𝜋𝑟2=3.14𝑥(5𝑐𝑚)2=3,14𝑥25𝑐𝑚2=78,5𝑐𝑚2
Área total = 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴 𝑏=204,1𝑐𝑚2+78,5𝑐𝑚2=282,6𝑐𝑚2
Falta h = Teorema de Pitágoras. 𝑔2
= ℎ2
+ 𝑟2
→ 132
= ℎ2
+ 52
→ 169 = ℎ2
+ 25 →
169 − 25 = ℎ2
→ 144 = ℎ2
→ √144 = ℎ → ℎ = 12𝑐𝑚
Volumen: 𝑉 =
𝐴 𝑏 𝑥ℎ
3
=
3.14𝑥(5𝑐𝑚)2 𝑥12𝑐𝑚
3
=
3,14𝑥25𝑐𝑚2 𝑥12𝑐𝑚
3
=
942𝑐𝑚3
3
= 314𝑐𝑚3
ESFERA
Superficie esférica: Es la
superficie engendrada por una
circunferencia que gira sobre su
diámetro.
Esfera: Es la región del espacio
que se encuentra en el interior de
una superficie esférica.
ELEMENTOS
Centro: Punto interior que
equidista de cualquier
punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro
a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une
dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa
por el centro.
Polos: Son los puntos del
eje de giro que quedan
sobre la superficie esférica.
Área total: 𝐴 𝑡 = 4𝜋𝑟2
Volumen: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3

6. CIRCUNFERENCIAS EN UNA ESFERA
Paralelos: circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con
planos perpendiculares al eje de revolución.
Ecuador: Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el
plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la
esfera.
Meridiano: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con
planos que contienen el eje de revolución.
Ejemplos.
1. Hallar el área y el volumen de una esfera de radio 20cm.
Área total: 𝐴 𝑡 = 4𝜋𝑟2
= 4𝑥3.14𝑥(20𝑐𝑚)2
= 4𝑥3.14𝑥400𝑐𝑚2
= 5024𝑐𝑚2
Volumen: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
=
4
3
𝑥3.14𝑥(20𝑐𝑚)3
=
4
3
𝑥3.14𝑥400𝑐𝑚3
=
5024
3
𝑐𝑚3
= 1674,6𝑐𝑚3
2. Calcular el volumen de una semiesfera de 10cm de radio.
Volumen: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
=
4
3
𝑥3.14𝑥(10𝑐𝑚)3
=
4
3
𝑥3.14𝑥100𝑐𝑚3
=
1256
3
𝑐𝑚3
= 418.6𝑐𝑚3
Volumen de la semiesfera =
𝑉
2
=
418.6
2
𝑐𝑚3
= 209,3𝑐𝑚3

7. 3. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro
de 2 m de altura.
4. Calcular el área del
círculo resultante de cortar
una esfera de 35 cm de
radio mediante un plano
cuya distancia al centro de
la esfera es de 21 cm.
Área total: 𝐴 𝑡 = 4𝜋𝑟2
=
4𝑥3.14𝑥(1𝑚)2
= 4𝑥3.14𝑥1𝑚2
=
12,56𝑚2
Volumen: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
=
4
3
𝑥3.14𝑥(1𝑚)3
=
4
3
𝑥3.14𝑥1𝑐𝑚3
=
12,56
3
𝑐𝑚3
= 4,18𝑐𝑚3
DATOS
Radio de la esfera 35cm
Distancia del plano al
centro de la esfera 21cm
Radio del círculo no se
conoce.
Por Pitágoras
352
= 212
+ 𝑟2
1225 = 441 + 𝑟2
1225 − 441 = 𝑟2
784 = 𝑟2
√784 = 𝑟
28 =r
𝐴=𝜋𝑟2=3.14𝑥(28𝑐𝑚)2=3,14𝑥784𝑐𝑚2
=2461,76𝑐𝑚2

8. TALLER
1. En la figura hallar. Área lateral, total y
volumen del cilindro y de la esfera.
Que cantidad de volumen queda en el
cilindro sin ocupar por la esfera.
2. Si R=5cm, x= 4cm
Hallar: Área latera, total, volumen de la
esfera y del cono
3. En la figura hallar. Área lateral, total y
volumen del cubo y del cono.
Que cantidad de volumen queda en el
cubo sin ocupar por el cono.
4. En la figura. Hallar Área lateral, total y
volumen.

9. 5. En la figura. Hallar d= , D= , el área
latera, el área total, el volumen y el área
del triángulo formado por las diagonales.
6. En la figura: Hallar área de la esfera,
volumen, área de circulo de radio R, área
del circulo de radio r, si R= 13cm, d=5cm
7. En la figura: hallar el volumen de
papel.
8. En la figura; Hallar el área total y el
volumen total.
9. En la figura: Hallar área lateral, total,
volumen de la esfera y del cilindro.
Que cantidad de volumen queda en el
cilindro sin ocupar por la esfera.

10. 10. En cada una de las siguientes figuras:
Hallar el área lateral, total y volumen
11.
12.
13.
14.
.